人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：02【提高】命题及其关系

命题及其关系
【学习目标】
1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；
2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；
3．能熟练判断命题的真假性.
【要点梳理】
要点一、命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.
要点诠释：
1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”.
2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“(是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.
3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.
要点二、命题的结构
命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式.其中是命题的条件，是命题的结论.
要点诠释：
一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.
有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.
要点三、四种命题
原命题：“若，则”；
逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；
否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；
逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.
要点诠释：
对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.
要点四、四种命题之间的关系
四种命题之间的构成关系

四种命题之间的真值关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
要点诠释：
（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；
（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.
要点五、反证法：
1. 反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.
2. 反证法的步骤：
（1）假设结论不成立.
（2）从假设出发推理论证得到矛盾
（3）判定假设错误，肯定结论正确.
3. 互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.
要点诠释：
反证法是间接证明的重要方法之一.
【典型例题】
类型一：命题的概念
例1.判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.
(1)；　　　
(2)当时, ；　　
(3) 你是男生吗？　
(4) 求证：是无理数.
【思路点拨】依据命题的定义判断。
【解析】
(1) 不是命题；由于无法确定变量的值，所以无法确定其真假．
(2) 是命题；假命题．　
(3) 不是命题；这是一个疑问句，没有做出判断．
(4) 不是命题；这是一个祈使句，没有做出判断．
【总结升华】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行.
举一反三：
【变式1】下列语句中是命题的是（ ）
A． B．{0}∈N C．元素与集合 D．真子集
【答案】B
【变式2】判断下列语句是否是命题.
（1）这是一棵大树；
（2）sin30(=；
（3）x2+1>0；
（4）梯形是平行四边形.
【答案】（1）不是，无法确定“大”；（2）是；（3）是；（4）是.
【变式3】判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题.
（1）末位是0的整数能被5整除；
（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；
（3）两直线平行，则斜率相等；
（4）△ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；
（5）余弦函数是周期函数吗？
【答案】
（1）是命题，真命题；
（2）是命题，假命题；
（3）是命题，假命题；
（4）是命题，真命题；
（5）不是命题.这是一个疑问句，没有做出判断.
类型二：命题的结构
例2.指出下面命题的条件和结论.
对顶角相等；
四边相等的四边形是菱形.
【思路点拨】
命题都是一定的条件下推出的一定的结果，所以据此确定哪是条件，哪是结论。
【解析】（1）原命题写成：若两个角是对顶角，则这两个角相等.条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.
（2）原命题可写成：如果一个四边形的四边相等，则这个四边形是菱形.条件：一个四边形的四边相等；结论：这个四边形是菱形.
【总结升华】要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论.
举一反三：
【变式】指出下列命题的条件p和结论q.
（1）若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；
（2）若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行.
【答案】
（1）条件p：空间四边形为正四面体；结论q：顶点在底面上的射影为底面的中心.
（2）条件p：两直线a、b都和直线c平行；结论q：直线a和b平行.
例3 .将下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断真假.
（1）偶数能被2整除；
（2）奇函数的图象关于原点对称；
（3）同弧所对的圆周角不相等.
【解析】
（1）若一个数是偶数，则它能被2整除；真命题.
（2）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称；真命题.
（3）若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等；假命题.
【总结升华】命题写成“若……则……”的形式更容易分清命题的结构.
举一反三：
【变式1】将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假.
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
（2）对角线相等的平面四边形是矩形.
【答案】
（1）“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，真命题.
（2）“若一个平面四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形”，假命题.
【变式2】命题“一元二次方程有两个不相等的实数根”；
条件p：___________________，结论q：____________________；是________命题.
【答案】条件p：方程是一元二次方程；结论q：这个方程有两个不相等的实数根；假命题.
类型三：命题的四种形式
例4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等.
【思路点拨】
由原命题写出逆命题，否命题和逆否命题时注意规律：
①交换原命题的条件和结论.所得命题就是逆命题.
②同时否定原命题的条件和结论所得命题就是否命题.
③交换原命题的条件和结论并且同时否定.所得命题就是逆否命题.
【解析】
【解析】
（1）
原命题：若，则； 假命题
逆命题：若，则； 真命题
否命题：若，则； 真命题
逆否命题：若，则. 假命题
（2）
原命题：若，则； 真命题
逆命题：若，则； 假命题
否命题：若，则； 假命题
逆否命题：若，则. 真命题
（3）
原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等；真命题
逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等；真命题
否命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等；真命题
逆否命题：若一个三角形没有两个角相等，则这个三角形没有两条边相等. 真命题
【总结升华】
①一般地，先将命题改写成“若…，则…”的形式，再写出其他命题形式；某些命题存在大前提，写其它命题时应注意保留.
②互为逆否命题的两个命题是等价的，同为真或同为假，因此在判定真假时，只需判定二者中的一个．
举一反三：
【变式1】(2018 陕西)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A． 真，假，真 B．假，假，真
C． 真，真，假 D．假，假，假
【答案】根据共轭复数的定义，命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|＝|－1|，而1与－1不是互为共轭复数，∴逆命题是假命题；
根据否命题与逆命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，
∴命题的否命题是假命题；逆否命题是真命题．
故选：B．
【变式2】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
(1) 在中，若,则；
(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
(3)当时，若, 则.
【答案】
(1)逆命题：在中，若，则（真命题）；
否命题：在中，若,则（真命题）；
逆否命题：在中，若，则（真命题）.
(2)逆命题：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形（真命题）；
否命题：若一个三角形不是直角三角形，那么该三角形任意两边的平方和不等于第三边的平方（真命题）；
逆否命题：如果一个三角形任意两边的平方和不等于第三边的平方，那么这个三角形不是直角三角形（真命题）.
(3)逆命题：当时，若,则（真命题）；
否命题：当时，若,则（真命题）；
逆否命题：当时，若,则（真命题）.
【变式3】（2018春 荆州校级月考）命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题（ ）
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
【答案】原命题的逆命题为：“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，
若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，又A+B+C=3B=π，解得，所以它是真命题。
若△ABC有一内角为，不妨设，则，所以A+C=2B，即△ABC的三内角成等差数列，所以原命题为真。
所以逆命题与原命题同为真命题。
故选D。
例5．设原命题：若，则中至少有一个不小于1.写出其逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假.
【思路点拨】
判断原命题，逆命题，否命题，逆否命题的真假时，只要判断原命题与逆命题的真假，就可知道其它两个命题的真假，不必一一判断.
【答案】逆命题若中至少有一个不小于1，则.是假命题.
考虑逆否命题：若都小于1（且），则.
显然是真命题，所以原命题是真命题.
【解析】逆命题：若中至少有一个不小于1，则.
很容易判断逆命题为假命题，如，，.
对于原命题，很容易判断其是真命题，但从正面似乎不大容易说清楚理由.考虑利用逆否命题与其同真假来说明.
【总结升华】如果从正面不容易说明命题“若p，则q”的真假，那么可以考虑先说明其逆否命题的真假.这是有效的“以退为进”的间接做法.
举一反三：
【变式1】试写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假．
（1）当集合，时，若，则.
（2）若，则， （3）若，则
【答案】
（1）
原命题：当集合，时，若，则（假命题）；
逆命题：当集合，时，若，则（真命题）；
否命题：当集合，时，若，则（真命题）；
逆否命题：当集合，时，若，则（假命题）.
（2）
原命题：若，则（真命题）；
逆命题：若，则（假命题）；
否命题：若，则（假命题）；
逆否命题：若，则（真命题）.
（3）
原命题：若，则（假命题）；
逆命题：若，则（真命题）；
否命题：若，则（真命题）；
逆否命题：若，则（假命题）.
【变式2】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且a，b∈R，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(1)判断其逆命题的真假，并证明你的结论；
(2)判断其逆否命题的真假，并证明你的结论．
【答案】(1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且a，b∈R，
若f(a)＋f(b)≥ f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)所以f(a)＋f(b)< f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾，所以逆命题为真．
(2)逆否命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且a，b∈R，
若f(a)＋f(b)< f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.为真命题．
用原命题的真假判断逆否命题的真假，证明如下：
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f(a) ≥ f(－b)，f(b)≥f(－a)．
所以f(a)＋f(b) ≥ f(－a)＋f(－b)．所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
【巩固练习】
一、选择题
1.下列命题是真命题的有(　　)
①没有一个无理数不是实数
②空集是任何一个非空集合的真子集
③1＋1<2
④至少存在一个整数x，x2－x＋1是整数
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
2．若A、B是两个集合，则下列命题中真命题是(　　)
A．如果A?B，那么A∩B＝A
B．如果A∩B＝A，那么(?BA)∩B＝?
C．如果A?B，那么A∪B＝A
D．如果A∪B＝A，那么A?B
3．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是(　　)
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
5. (2018 山东文)设m∈R,命题“若m＞0,则方程x2+x－m=0有实根”的逆否命题是( )
? A.?若方程x2+x－m=0有实根，则m＞0
? B.若方程x2+x－m=0有实根，则m≤0
? C.若方程x2+x－m=0没有实根，则m＞0
? D.若方程x2+x－m=0没有实根，则m≤0
6．（2018春 绵阳校级月考）给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；
②若a＞b则am2＞bm2；
③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；
④在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若b2－4ac＜0，则方程有实数根。
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题
7．（2018春 温州校级月考）命题“若m＞0，则方程x2+x－m=0有实数根。”的逆否命题是________．
8．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
9设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是 .
10．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；
(2)奇数不能被2整除．
12.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当时，mx2－x＋1＝0无实根；
(4)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(5)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.
13．命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”是真命题吗？证明你的结论．
14.写出下列命题的否定和否命题．
(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；
(2)0的平方等于0.
15．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【答案与解析】
1. 【答案】　C
【解析】　①的意思为无理数都是实数，②显然正确，④中，只要找到这样的一个整数即可，命题也正确．
2.【答案】　A
【解析】　由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题．
3. 【答案】　B
【解析】　只有②中的命题是真命题．
4. 【答案】　A
【解析】　否命题是对命题的条件和结论都否定，故选A.
5. 【答案】D
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.
6. 【答案】　C
【解析】对于①，原命题是：若ab≤0，则a≤0或b≤0，是真命题，
逆命题是：若a≤0或b≤0，则ab≤0，是假命题，
否命题是：若ab＞0，则a＞0，或b＞0，是假命题，
逆否命题是：若a＞0且b＞0，则ab＞0，是真命题；
对于②，原命题是：若a＞b，则am2＞bm2，是假命题，
逆命题是：若am2＞bm2，则a＞b，是真命题，
否命题是：若a≤b，则am2≤bm2，是真命题，
逆否命题是：若am2≤bm2，则a≤b，是假命题；
对于③，原命题是：在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B，是真命题，
逆命题是：在△ABC中，若A=B，则sinA=sinB，是真命题，
否命题是：在△ABC中，若sinA≠sinB，则A≠B，是真命题，
逆否命题是：在△ABC中，若A≠B，则sinA≠sinB，是真命题；
对于④，原命题是：在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若b2－4ac＜0，则方程有实数根，是假命题，
逆命题是：在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若方程有实数根，则b2－4ac＜0，是假命题，
否命题是：在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若b2－4ac≥0，则方程无实数根，是假命题，
逆否命题是：在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若方程无实数根，则b2－4ac≥0，是假命题；
综上，以上命题中，原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是③。
故选C。
7. 【答案】　真命题
【解析】要使方程x2+x－m=0有实数根，
则判别式Δ=1+4m≥0，
即，
∴当m＞0时，Δ=1＞0，
即原命题为真命题，
∴原命题的逆否命题也为真命题。
故答案为：真命题
．
8. 【答案】　③　①②④⑤
【解析】　对假命题，举反例即可．
对于③，x≤3即x＝3或x<3，故正确．
9. 【答案】　 原命题真，逆命题假
【解析】　因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.
10．【答案】　[－3,0]
【解析】　ax2－2ax－3≤0恒成立，即当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，，解得－3≤a<0.
∴－3≤a≤0.
11. 【解析】
　(1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；
否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；
逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．
(2)逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；
否命题：不是奇数的数能被2整除，假；
逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．
12. 【解析】
(1)若ac>bc，则a>b，假命题．
(2)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，假命题．
(3)若，则mx2－x＋1＝0无实根，真命题．
(4)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0，真命题．
(5)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，真命题．
13．【解析】　是真命题．
∵m>0，∴Δ＝9＋8m>0，∴方程2x2＋3x－m＝0有实根，故原命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”是真命题．
14．【解析】　(1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；
否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
(2)命题的否定：0的平方不等于0
否命题：不等于0的数的平方不等于0.
15. 【解析】　原命题：已知a，x为实数，
如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.
逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．