人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：08【提高】全称量词与存在量词

全称量词与存在量词
【学习目标】
1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；
2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“” “?”来表述相关的教学内容；
3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；
4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【要点梳理】
要点一、全称量词与全称命题
全称量词
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.
常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.
全称命题
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.
一般形式：“对中任意一个，有成立”，
记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.
要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.
要点二、存在量词与特称命题
存在量词
定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.
常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“?”表示，读作“存在?”.
特称命题
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
一般形式：“存在中一个元素，有成立”，
记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.
要点诠释：
（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使.
（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.
（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述
要点三、 含有量词的命题的否定
对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题：，
的否定：，；
从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.
对含有一个量词的特称命题的否定?
特称命题：，
的否定：，；
从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.
要点诠释：
(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；
(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.?
(3) 正面词：等于?、 大于??、小于、???是、???都是、??至少一个??、至多一个、??小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、?一个也没有、?至少两个?、?大于.
要点四、全称命题和特称命题的真假判断
①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.
②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.

【典型例题】
类型一：量词与全称命题、特称命题
例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示.
对任意正实数；
对某个大于10的正整数n，.
【解析】
（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命题（1）可以写成“”.
（2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合.命题（2）可写成“.
【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.
举一反三：
【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：
任何一个实数除以1仍等于这个数；
等边三角形的三边相等；
存在实数，使。
【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题
【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题.
（1）xR，x2+1≥1；
（2）所有素数都是奇数；
（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（4）有些整数只有两个正因数.
【答案】
（1）有全称量词“任意”，是全称命题；
（2）有全称量词“所有”，是全称命题；
（3）有存在量词“存在”，是特称命题；
（4）有存在量词“有些”；是特称命题。
类型二：判断全称命题、特称命题的真假
例2.判断下列命题的真假：
（1）；
（2）.
【解析】
（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；
（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.
【总结升华】
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；
（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
举一反三：
【变式1】试判断下列命题的真假
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题
【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定
例3.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假.
（1）三角形的内角和为180°；
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
（3）存在一个四边形不是平行四边形；
（4）；
（5）.
【解析】
（1）是全称命题且为真命题.
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，
即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题.
（2）是全称命题且为假命题.
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题.
（3）是特称命题且为真命题.
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题.
（4）是全称命题且为真命题.
由于都有，故，为真命题；
：，为假命题
（5）是特称命题且为假命题.
因为不存在一个实数，使成立，为假命题；
：，为真命题.
【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.
举一反三：
【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）；
（2）所有的正方形都是矩形；
（3）；
（4）至少有一个实数x0，使得.
【答案】
（1）：（假命题）；
（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；
（3）：（真命题）；
（4）：（真命题）.
【变式2】 “a和b都不是偶数”的否定形式是（ ）
（A） a和b至少有一个是偶数
（B） a和b至多有一个是偶数
（C） a是偶数，b不是偶数
（D）a和b都是偶数
.【答案】A
【变式3】(2018 湖北文)命题“”的否定是
A． B．
C． D．
【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，故选C.
类型四：含有量词的命题的应用
例4．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【解析】
q:x2-2x+1-m2≤0([x-(1-m)][x-(1+m)]≤0
又∵m>0
∴不等式的解为1-m≤x≤1+m
∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”
∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集.

∴实数m的取值范围是
【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.
举一反三：
【变式1】(2018 山东)若“，”是真命题，则实数m的最小值为 。
【答案】1
【解析】若“，”是真命题
则，其中
函数 的最大值为1

即的最小值为1，所以答案应填1.
【变式2】（2018 江苏模拟）若函数，g（x）=a（x－a+3）同时满足以下两条件：
①，f（x）＜0或g（x）＜0；
②，f（x）g（x）＜0。
则实数a的取值范围为________。
【答案】
∵已知函数，g（x）=a（x－a+3），
根据①，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值，
由f（x）≥0，求得x≤－1，
即当x≤－1时，g（x）＜0恒成立，
故，解得：a＞2；
根据②，使f（x）·g（x）＜0成立，
∴g（1）=a（1－a+3）＞0，
解得：0＜a＜4，
综上可得：a∈（2，4），
故答案为：（2，4）
【变式3】已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数.命题q：当时，函数恒成立.如果p或q为真命题，p且q为假命题.求c的取值范围.
【答案】
【解析】由命题p知：0＜c＜1.
由命题q知：，
要使此式恒成立，则，即.
又由p或q为真，p且q为假知，
p、q必有一真一假，
当p为真，q为假时，c的取值范围为.
当p为假，q为真时，c≥1.
综上，c的取值范围为.
【巩固练习】
一、选择题
1．下列命题中，是真命题且是全称命题的是(　　)
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x，
D．对数函数在定义域上是单调函数
2．若命题p：任意x∈R,2x2－1＞0，则该命题的否定是(　　)
A．任意x∈R,2x2－1＜0 B．任意x∈R,2x2－1≤0
C．存在x∈R,2x2－1≤0 D．存在x∈R,2x2－1＞0
3．（2018 河南模拟）已知函数，，则下列命题为真命题的是( )
A．都有
B．都有
C．使得
D．使得
4．（2018秋 芜湖校级月考）设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（ ）
A．，有x∈P B．，有
C．，使得x0∈P D．，使得
5．（2018 福州模拟）已知命题p：“，ex―x―1≤0”，则命题（ ）
A．，ex―x―1＞0 B．，ex―x―1＞0
C．，ex―x―1≤0 D．，ex―x―1＞0
6. 已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
二、填空题
7．已知命题p：“存在x∈R＋，”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________．(填“真”或“假”)
8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
9．下列命题中真命题为________，假命题为________．
①末位是0的整数，可以被2整除　
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等　
③正四面体中两侧面的夹角相等　
④有的实数是无限不循环小数　
⑤有些三角形不是等腰三角形　
⑥所有的菱形都是正方形
10．（2018 陕西校级模拟）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是________
三、解答题
11．写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)p：有的三角形的三条边相等；
(3)p：存在x0∈N，x02－2x0＋1≤0.
12．判断命题的真假，并写出命题的否定．
(1)存在一个三角形，它的内角和大于180°.
(2)所有圆都有内接四边形．
13．写出下列命题的否定：
(1)若2x>4，则x>2；
(2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根；
(3)可以被5整除的整数，末位是0；
(4)被8整除的数能被4整除；
(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
14.已知两个命题p：sin x＋cos x＞m，q：x2＋mx＋1＞0.如果对任意x∈R，p与q有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．?
15.设有两个命题：p：不等式|x|+|x－1|≥m的解集为R；q：函数是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的范围.
【答案与解析】
1. 【答案】　D
【解析】　A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.
2. 【解析】　全称命题的否定为特称命题．命题p的否定为存在一个实数x,2x2－1≤0，故选C.
【答案】　C
3. 【答案】 B
【解析】 函数
显然都有f(x)>g(x),故选：B.
4. 【答案】　B
【解析】∵P∩Q=P，∴
∴A错误；B正确；C错误；D错误。

故选B．
.5. 【答案】A
【解析】∵命题p：“，ex―x―1≤0”，
∴命题，ex―x―1＞0，
故选A．
6. 【答案】　A
【解析】　由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.
7. 【答案】　任意x∈R＋，　假
【解析】　x＞1时，假．
8. 【答案】　?x，y∈R，x＋y>1；?x，y∈R，x＋y≤1；假
【解析】　注意练习符号?、?、?、∧、∨等，原命题为真，所以它的否定为假．
9. 【答案】　①②③④⑤　⑥
【解析】正方形的集合是菱形集合的子集.
10．【答案】　[－2，2].
【解析】　若命题“”为假命题，
则若命题“”为真命题，
则判别式Δ=9a2－4×9≤0，
即a2≤4，得－2≤a≤2，
故答案为：[－2，2]．
11. 【解析】　 (1)?p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故?p为假命题．
(2)?p：所有的三角形的三条边不全相等．
显然?p为假命题．
(3)?p：任意x∈N，x2－2x＋1＞0.
显然当x＝1时，x2－2x＋1＞0不成立，故?p是假命题．
12. 【答案】　
(1)假命题
所有的三角形，它的内角和都不大于180°.
(2)真命题
存在一个圆，没有内接四边形．
13．【解析】
(1)的否定：存在实数x0，虽然满足2x0>4，但x0≤2.
(2)的否定：存在一个实数m≥0使x2＋x－m＝0无实根．
(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.
(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．
(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，则它的四条边中至少有两条不相等．
14．【解析】　∵
∴当p是真命题时，m＜
又∵对任意x∈R，q为真命题，
即x2＋mx＋1＞0恒成立，
有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.
∴当p为真，q为假时，m＜，且m≤－2或m≥2，
即m≤－2，
当p为假，q为真时，m≥且－2＜m＜2，即≤m＜2，
综上，实数m的取值范围是m≤－2或≤m＜2.
15. 【解析】 由不等式|x|+|x－1|≥m的解集为R，得m≤1；
由函数是减函数，得
若这两个命题中有且只有一个真命题，
则