人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：14【基础】椭圆综合（文）

椭圆综合
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题；
3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、椭圆的定义及其标准方程
椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
椭圆的标准方程：
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点三、直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
椭圆的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
【典型例题】
例1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知所以，选D
【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同，标准方程的形式不同，另外要注意对应的a,b,c的不同
举一反三：
【变式1】（2018 江西校级一模）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【变式2】已知椭圆过两点求椭圆的标准方程.
【答案】设椭圆的方程为因为在椭圆上
所以有 解得
所以所求椭圆方程为
例2. 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
【解析】由得，且．
∴满足条件的的取值范围是，且．
【总结升华】本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆.
举一反三：
【变式】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是(　　)
A．－4≤m≤4 B．－4C．m>4或m<－4 D．0【答案】B
例3 . 若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.
B. (y≠0)
C. (y≠0)
D. (y≠0)
【答案】　D
【解析】　|AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D.
【总结升华】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
举一反三：
【变式】的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
【答案】
（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．
（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
类型二：直线与椭圆的位置关系
例4.椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中点，若|AB|＝，OC的斜率为，求椭圆的方程．
【解析】　由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则
.
∵，∴.①
设C(x，y)，则，，
∵OC的斜率为，∴.
代入①，得，.
∴椭圆方程为.
【总结升华】处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别；方程的思想是解决这类问题的通法
举一反三：
【变式1】(2018 沂州校级四模)设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P（a,b）满足| F1F2|=| PF2|，设直线PF2与椭圆交于M，N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为点P（a,b）满足| F1F2|=| PF2|，所以
整理得，得
所以,可得椭圆方程为
直线PF2的方程为，
代入椭圆方程，消去y并整理，得解得或
得
所以
所以c=5,
所以椭圆方程为，故选：B。
【变式2】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直经y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
【答案】　(1)∵且，∴，b＝1.
∴椭圆c的方程为.
(2)由题意知点P(0，t)(－1由得
∴圆P的半径为，
又∵圆P与x轴相切，
∴，解得，
故P点坐标为.
类型三：椭圆中的最值问题
例5 . AB为过椭圆中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是(　　)
A．b2 B．bc
C．ab D．ac
【答案】　B
【解析】　S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，
当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.
∴△ABF面积的最大值为bc.
【总结升华】椭圆中的最值问题往往要多结合图形的特征，或是设出有关变量利用函数思想解决.
举一反三：
【变式】设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求的最大值
【答案】依题意可设，则
∵Q在椭圆上
∴
=
=
∵则
当时，去最大值
若，则当时，取最大值2.
【巩固练习】
选择题
1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆
B．线段
C．椭圆、线段或不存在
D．不存在
2．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是(　　)
A． B. C. D．
3．（2018 河北区模拟）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）
A. B. C. D.
4．以椭圆两焦点F1、F2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e等于(　　)
A. B. C. D.
5. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
6. 已知椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
7．(2018 珠海二模改编)已知B(-2,0),C(2,0),A为动点,的周长为10,则动点A的满足的方程为___________.
8．在△ABC中,∠A=90°,tanB=.若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________.
9．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 .
10.若过椭圆内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________．
三、解答题
11.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
12．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程．
13. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
14．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．
15. 已知一直线与椭圆交于A、B两点.
（1）若弦AB的段中点坐标为，求直线AB的方程；
（2）若直线AB的斜率为2，求弦AB的中点M的轨迹方程.
16．(2018 安徽文)设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0),点B的坐标为(0，b),点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为。
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB．
【答案与解析】
1. 答案：　C
解析：　当a>|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为椭圆；
当a＝|F1F2|＝6时，动点P的轨迹为线段；
当a<|F1F2|＝6时，动点P的轨迹不存在．
2. 答案：D
解析：　椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：，
a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝.
3.答案：A
解析：由题意，则，化简后得，故选A.
4. 答案：　B
解析：　由题意得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，
∴.
5.答案：A
解析：由椭圆的定义知∴的周长为
6. 答案：　C
解析：　由题意得c＝4，∵P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积为12，
∴，即bc＝12，
∴b＝3，a＝5，故椭圆方程为.
7．答案:
解析:
点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(除去B、C)，且2a=6,c=2,
顶点A的轨迹方程为。
8．答案:
解析:设|AC|=3x,|AB|=4x,
又∵∠A=90°,∴|BC|=5x.
由椭圆定义知|AC|+|BC|=2a=8x,
那么2c=|AB|=4x,
∴.
9.答案：
解析：由均值不等式得，
10．答案：　x＋2y－4＝0
解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，，
∴所求直线方程为y－1＝－ (x－2)，
即x＋2y－4＝0.
11. 解析：　椭圆方程可化为，
∵，
∴.
即a2＝m，，.
由得，，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为，
∴a＝1，，.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，)，B2(0，)．
12.解析：由于椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设其方程为(a>b>0)．
由椭圆的对称性知，|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形，于是|OB2|＝|OF|，即b＝c.
又即，且a2＋b2＝c2.
将以上三式联立，得方程组，
解得
所求椭圆方程是.
13.解析：　设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根据椭圆定义有m＋n＝20，
又，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
.
14．解析：由9x2＋5y2＝45，得.
其焦点F1(0,2)、F2(0，－2)．
设所求椭圆方程为.
又∵点在椭圆上，∴ ①
又a2－b2＝4②
解①②得a2＝12，b2＝8.
故所求椭圆方程为.
15. 解析：
（1）设点，，则
，,,,
∴,即，
∴，
∴直线AB的方程为.
（2）设直线AB的方程为，代入椭圆方程
消去，得，
∴，解得，
∵，
∴弦AB的中点M：,
消去参数，得，
故弦AB的中点M的轨迹方程：（）.
16. 解析：
(Ⅰ) ∵ |BM|＝2|MA|且A(a，0)，B(0，b)
∴
又∵ OM的斜率为
∴
(Ⅱ)由题意可知N点的坐标为
∴
∴
∴ MN⊥AB