人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：15【提高】椭圆综合（文）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：15【提高】椭圆综合（文） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 466.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-18 11:42:49 | ||
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文档简介
椭圆综合
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题；
3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、椭圆的定义及其标准方程
椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
椭圆的标准方程：
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点三、直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
椭圆的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
要点四、椭圆的实际应用与最值问题
对于椭圆的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用椭圆定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到椭圆方程，利用方程求解
椭圆中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
利用定义转化
利用椭圆的几何性质
转化为函数求最值
【典型例题】
例1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知所以，选D
【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同，标准方程的形式不同，另外要注意对应的a,b,c的不同
举一反三：
【变式1】已知椭圆过两点求椭圆的标准方程.
【答案】设椭圆的方程为因为在椭圆上
所以有 解得
所以所求椭圆方程为
【变式2】过点(－3,2)且与有相同焦点的椭圆方程是________．
【答案】
例2. 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
【解析】由得，且．
∴满足条件的的取值范围是，且．
【总结升华】本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆.
举一反三：
【变式】已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
【答案】方程可化为．
因为焦点在轴上，所以．
因此且从而．
例3 .的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
【解析】
（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．
（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
【总结升华】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
举一反三：
【变式】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
【答案】如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，
即．∴点的轨迹是以，为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
类型二：直线与椭圆的位置关系
例4.(2018 江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．
(1)若点C的坐标为()，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
【答案】(1) ＋y2＝1，(2)
【解析】(1)∵C的坐标为()，
∴，即，
∵，
∴a2＝()2＝2，即b2＝1，
则椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)设F1(－c，0)，F2(c，0)，
∵B(0，b)，
∴直线BF2：，代入椭圆方程(a＞得，
解得x＝0，或x＝，
∵A(，b－)，且A，C关于x轴对称，
∴C(，－b)，
则，
∵F1C⊥AB，
∴，由b2＝a2－c2得，
即e＝．
【总结升华】 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别；方程的思想是解决这类问题的通法.
举一反三：
【变式】中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x＋y＝1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．
【答案】 设A(x1，y1)，B(x2，y2),．由
∴(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
∴，.
∴，∵，∴b＝a.①
∵OA⊥OB，∴，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵，
y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2
.
∴，∴a＋b＝2.②
由①②得a＝2(－1)，b＝2(2－)．
∴所求方程为2(－1)x2＋2(2－)y2＝1.
类型三：椭圆中的最值问题
例5 .A、B是两定点，且|AB|＝2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P的坐标．
【解析】
(1)以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)．
∵l为MB的垂直平分线，
∴|PM|＝|PB|，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4，
∴点P的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为.
(2)∵m＝|PA|·|PB|≤()2＝4，
∴当且仅当|PA|＝|PB|时，m最大，这时P的坐标(0，)或(0，)．
【总结升华】到两焦点距离和积的最值问题，一般利用定义进行转化.
举一反三：
【变式】(2018 四川)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A． 2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】设直线AB的方程为：x＝ty＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M((0，m)，
由?y2－ty－m＝0，根据韦达定理有y1?y2＝－m，
∵，∴x1?x2＋y1?y2＝2，从而(y1·y2)2＋y1·y2－2＝0，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2＝－2，故m＝2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，
∴S△ABO＋S△AFO＝．
当且仅当，即时，取“＝”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．
类型四：椭圆在生活中的应用.
例6. 如图所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l约为________．(精确到0.1米)
【答案】33.3米
【解析】如图所示，建立直角坐标系，
则点P(11,4.5)，
椭圆方程为.
将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得，
此时l＝2a＝≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米．
【总结升华】本题实质上利用椭圆的定义求椭圆的方程.
举一反三：
【变式】我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A据地面439km，远地点B距地面2384km，并且在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.
【答案】卫星运行的轨道方程是
【巩固练习】
选择题
1．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是( )
A． B. C. D．
2．（2018 揭阳校级三模）曲线与曲线的（ ）
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
3．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．（0，5） B．（0，1） C．[1，5] D．[1，5）
4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
5. （2018 兴国一模）椭圆与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．椭圆的离心率为，则m=________.
8．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
9. 若过椭圆内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________．
10. 设F1、F2分别为椭圆C：(a>b>0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________．
三、解答题
11.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
12．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程．
13. 若AB为过椭圆中心的弦,F1为椭圆的右焦点,求△F1AB面积的最大值.
14．（2018 新课标Ⅱ文））已知椭圆的离心率为,点在C上.
（I）求C的方程；
（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
15. 已知一直线与椭圆交于A、B两点.
（1）若弦AB的段中点坐标为，求直线AB的方程；
（2）若直线AB的斜率为2，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【答案与解析】
1．[答案： D
解析： 椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：，
a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝.
2．答案： D
解析：曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.
曲线表示焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8.
对照选项，则D正确，故选D。
3．答案：D
解析： 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。
4．答案：D
解析：由cosOFA=，知A是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为=1或=1.
5. 答案：A
解析：联立椭圆方程与直线方程，得
A（x1,y1）,B(x2,y2),
AB中点坐标：，AB中点与原点连线的斜率
故选A。
6．答案： D
解析： 由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，∴.
7．答案：3或
解析：方程中4和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论：
（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，
∴，∴，得m=3。
（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，
∴，得。
综上，m=3或。
8．答案：[2，3]
解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]
9. 答案： x＋2y－4＝0
解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，，
∴所求直线方程为y－1＝－ (x－2)，
即x＋2y－4＝0.
10．答案： ；(±1,0)
解析： 由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2
∴原方程化为：，
将A(1，)代入方程得b2＝3
∴椭圆方程为：＝1，焦点坐标为(±1,0)
11. 解析： 椭圆方程可化为，
∵，
∴.
即a2＝m，，.
由得，，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，)，B2(0，)．
12.解析：由于椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设其方程为(a>b>0)．
由椭圆的对称性知，|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形，于是|OB2|＝|OF|，即b＝c.
又即，且a2＋b2＝c2.
将以上三式联立，得方程组，
解得
所求椭圆方程是.
13. 解析:由已知得F1为(3,0),则△F1AB可看成由△OBF1和△OAF1组成.
设A(x0,y0),则B(-x0,-y0).
∴
=
=.
由椭圆的定义,知|y0|≤b=4,
∴
14。解析：（Ⅰ）由题意有，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把y=kx+b代入得(2k2+1)x2+4kbx+2b2－8=0.
故，于是直线OM的斜率，即
，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
15. 解析：
（1）设点，，则
，,,,
∴,即，
∴，
∴直线AB的方程为.
（2）设直线AB的方程为，代入椭圆方程
消去，得，
∴，解得，
∵，
∴弦AB的中点M：,
消去参数，得，
故弦AB的中点M的轨迹方程：（）.
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题；
3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、椭圆的定义及其标准方程
椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
椭圆的标准方程：
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
要点三、直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
椭圆的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
要点四、椭圆的实际应用与最值问题
对于椭圆的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用椭圆定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到椭圆方程，利用方程求解
椭圆中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
利用定义转化
利用椭圆的几何性质
转化为函数求最值
【典型例题】
例1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知所以，选D
【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同，标准方程的形式不同，另外要注意对应的a,b,c的不同
举一反三：
【变式1】已知椭圆过两点求椭圆的标准方程.
【答案】设椭圆的方程为因为在椭圆上
所以有 解得
所以所求椭圆方程为
【变式2】过点(－3,2)且与有相同焦点的椭圆方程是________．
【答案】
例2. 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
【解析】由得，且．
∴满足条件的的取值范围是，且．
【总结升华】本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆.
举一反三：
【变式】已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
【答案】方程可化为．
因为焦点在轴上，所以．
因此且从而．
例3 .的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
【解析】
（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．
（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．
【总结升华】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
举一反三：
【变式】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
【答案】如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，
即．∴点的轨迹是以，为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
类型二：直线与椭圆的位置关系
例4.(2018 江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．
(1)若点C的坐标为()，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
【答案】(1) ＋y2＝1，(2)
【解析】(1)∵C的坐标为()，
∴，即，
∵，
∴a2＝()2＝2，即b2＝1，
则椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)设F1(－c，0)，F2(c，0)，
∵B(0，b)，
∴直线BF2：，代入椭圆方程(a＞得，
解得x＝0，或x＝，
∵A(，b－)，且A，C关于x轴对称，
∴C(，－b)，
则，
∵F1C⊥AB，
∴，由b2＝a2－c2得，
即e＝．
【总结升华】 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别；方程的思想是解决这类问题的通法.
举一反三：
【变式】中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x＋y＝1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．
【答案】 设A(x1，y1)，B(x2，y2),．由
∴(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
∴，.
∴，∵，∴b＝a.①
∵OA⊥OB，∴，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵，
y1y2＝(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2
.
∴，∴a＋b＝2.②
由①②得a＝2(－1)，b＝2(2－)．
∴所求方程为2(－1)x2＋2(2－)y2＝1.
类型三：椭圆中的最值问题
例5 .A、B是两定点，且|AB|＝2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P的坐标．
【解析】
(1)以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)．
∵l为MB的垂直平分线，
∴|PM|＝|PB|，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝4，
∴点P的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为.
(2)∵m＝|PA|·|PB|≤()2＝4，
∴当且仅当|PA|＝|PB|时，m最大，这时P的坐标(0，)或(0，)．
【总结升华】到两焦点距离和积的最值问题，一般利用定义进行转化.
举一反三：
【变式】(2018 四川)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A． 2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】设直线AB的方程为：x＝ty＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M((0，m)，
由?y2－ty－m＝0，根据韦达定理有y1?y2＝－m，
∵，∴x1?x2＋y1?y2＝2，从而(y1·y2)2＋y1·y2－2＝0，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2＝－2，故m＝2．
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，
∴S△ABO＋S△AFO＝．
当且仅当，即时，取“＝”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．
类型四：椭圆在生活中的应用.
例6. 如图所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l约为________．(精确到0.1米)
【答案】33.3米
【解析】如图所示，建立直角坐标系，
则点P(11,4.5)，
椭圆方程为.
将b＝h＝6与点P坐标代入椭圆方程，得，
此时l＝2a＝≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米．
【总结升华】本题实质上利用椭圆的定义求椭圆的方程.
举一反三：
【变式】我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A据地面439km，远地点B距地面2384km，并且在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.
【答案】卫星运行的轨道方程是
【巩固练习】
选择题
1．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是( )
A． B. C. D．
2．（2018 揭阳校级三模）曲线与曲线的（ ）
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
3．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．（0，5） B．（0，1） C．[1，5] D．[1，5）
4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosOFA=，则椭圆的方程是（ ）
A.=1 B.=1
C. =1或=1 D.=1或=1
5. （2018 兴国一模）椭圆与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．椭圆的离心率为，则m=________.
8．若圆x2+y2=a2（a＞0）与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是________.
9. 若过椭圆内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是______________．
10. 设F1、F2分别为椭圆C：(a>b>0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________．
三、解答题
11.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
12．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程．
13. 若AB为过椭圆中心的弦,F1为椭圆的右焦点,求△F1AB面积的最大值.
14．（2018 新课标Ⅱ文））已知椭圆的离心率为,点在C上.
（I）求C的方程；
（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
15. 已知一直线与椭圆交于A、B两点.
（1）若弦AB的段中点坐标为，求直线AB的方程；
（2）若直线AB的斜率为2，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【答案与解析】
1．[答案： D
解析： 椭圆方程2x2＋3y2＝12可化为：，
a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝.
2．答案： D
解析：曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.
曲线表示焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8.
对照选项，则D正确，故选D。
3．答案：D
解析： 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。
4．答案：D
解析：由cosOFA=，知A是短轴的端点.∵长轴长是26，∴|FA|=13即a=13.∴=，c=5，b2=132-52=122=144.∴椭圆的方程为=1或=1.
5. 答案：A
解析：联立椭圆方程与直线方程，得
A（x1,y1）,B(x2,y2),
AB中点坐标：，AB中点与原点连线的斜率
故选A。
6．答案： D
解析： 由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，∴.
7．答案：3或
解析：方程中4和m哪个大哪个就是a2，因此要讨论：
（1）若0＜m＜4则a2=4，b2=m，
∴，∴，得m=3。
（2）m＞4，则b2=4，a2=m，∴，
∴，得。
综上，m=3或。
8．答案：[2，3]
解析：根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为[2，3]
9. 答案： x＋2y－4＝0
解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，，
∴所求直线方程为y－1＝－ (x－2)，
即x＋2y－4＝0.
10．答案： ；(±1,0)
解析： 由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2
∴原方程化为：，
将A(1，)代入方程得b2＝3
∴椭圆方程为：＝1，焦点坐标为(±1,0)
11. 解析： 椭圆方程可化为，
∵，
∴.
即a2＝m，，.
由得，，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为，
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，)，B2(0，)．
12.解析：由于椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设其方程为(a>b>0)．
由椭圆的对称性知，|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形，于是|OB2|＝|OF|，即b＝c.
又即，且a2＋b2＝c2.
将以上三式联立，得方程组，
解得
所求椭圆方程是.
13. 解析:由已知得F1为(3,0),则△F1AB可看成由△OBF1和△OAF1组成.
设A(x0,y0),则B(-x0,-y0).
∴
=
=.
由椭圆的定义,知|y0|≤b=4,
∴
14。解析：（Ⅰ）由题意有，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把y=kx+b代入得(2k2+1)x2+4kbx+2b2－8=0.
故，于是直线OM的斜率，即
，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
15. 解析：
（1）设点，，则
，,,,
∴,即，
∴，
∴直线AB的方程为.
（2）设直线AB的方程为，代入椭圆方程
消去，得，
∴，解得，
∵，
∴弦AB的中点M：,
消去参数，得，
故弦AB的中点M的轨迹方程：（）.