人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：10【基础】椭圆的方程

椭圆的方程
【学习目标】
1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；
2.掌握椭圆的定义和标准方程；
3.能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
要点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
要点二、椭圆的标准方程
标准方程的推导：
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：
P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．
(3)代数方程

即：
(4)化简方程 由可得，则得方程
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．
因此，方程即为所求椭圆的标准方程.它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．
椭圆的标准方程：
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：
1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2.在椭圆的两种标准方程中，都有和；
3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
4. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
要点三、求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
【典型例题】
类型一：椭圆的定义
例1. 若动点M到两个定点F1,F2的距离的和为定值m，则M的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.以上都不对
【答案】D
【解析】由于m与大小关系不能确定，因此M的轨迹可能是椭圆，也可能是线段，还有可能不存在，故选D
【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆。。当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆。
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆
B．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段
C．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线
D．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段
【答案】D
【变式2】（2018·武汉模拟）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，
例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”。
“方程ax2+by2=1表示椭圆” →“ab＞0”，
∴“ab＞0”是方程“ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件。
故选B。
例2. （2018 宁城县一模）△ABC的两个顶点A（－4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路点拨】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点。
【解析】
∵△ABC的两顶点A（－4，0），B（4，0），周长为18，
∴AB=8，BC+AC=10，
∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，点C满足椭圆的定义，
∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
∴2a=10，2c=8，∴b=3，
∴椭圆的标准方程是，
故选D。
【总结升华】解本题的关键是由周长得到到两定点的距离之和为定值。从而由椭圆的定义得到轨迹为一椭圆.
举一反三：
【变式】设动圆与圆外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.
【答案】
类型二：椭圆的标准方程
例3. 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________
【答案】
【解析】因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即，又因为b2＝25－m>0，故m<25，所以m的取值范围为.
【总结升华】有椭圆的标准方程可以读出有关信息，如a,b的值和焦点的位置，进而可以解决有关问题，因此我们应该准确把握椭圆的标准方程，并从中读出有关信息.
举一反三：
【变式1】椭圆(m【答案】，
【解析】因为m－n>0，故焦点在x轴上，所以，故焦点坐标为，．
【变式2】已知椭圆的标准方程是(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．
【答案】
【解析】因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即，所以△ABF2的周长为.
例4.当时，指出方程所表示的曲线.
【解析】∵∴
若9-k>k-3，即时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；
若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆；
若9-k【总结升华】一方面确定椭圆标准方程需要知道定形条和定位条件，反过来，给出了椭圆的标准方程后，也可以从中读出相关信息.
举一反三：
【变式】如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是
【答案】
类型三：求椭圆标准方程
例5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点
【解析】
（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。
∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4
∴b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为；
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为
由椭圆的定义知，，
∴
又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6
∴所求椭圆的标准方程为。
【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。
举一反三：
【变式1】两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。
【答案】。
【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。
【答案】。
【变式3】（2018春 上饶校级期中）已知椭圆的两个焦点是（－3，0），（3，0），且点（0，3）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
∵椭圆的两个焦点是（－3，0）、（3，0），
且过点（0，3），
∴设椭圆方程为，
且c=3，b=3，解得，
∴椭圆的标准方程为：。
故选D。
例6. 过点(－3,2)且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是________．
【答案】
【解析】 因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为.由点(－3,2)在椭圆上知，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为.
【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程。
举一反三：
【变式1】已知椭圆经过点P（2，0）和点，求椭圆的标准方程。
【答案】
【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。
【答案】或。
类型四：椭圆的综合问题
例7.设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．
【答案】4
【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.
【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理.
举一反三：
【变式1】已知P为椭圆上的一点，是两个焦点，，
求的面积.
【答案】
【变式2】△ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D

【巩固练习】
选择题
1.已知椭圆上一点M，到椭圆的一个焦点的距离为2，则点M到另一个焦点的距离为（ ）
Ａ　1　　B．2　　C．4　　D．6
2. (2018 广东文)已知椭圆（）的左焦点为F1（－4，0），则m=（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
3.已知椭圆上一点P的横坐标为，则点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4. （2018春 克拉玛依校级期中）如果椭圆的长轴长为4，短轴长为2，则此椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
5. （2018春·龙泉驿区校级月考）方程表示椭圆的必要不充分条件是（ ）
A．m∈（―1，2） B．m∈（―4，2）
C．m∈（―4，―1）∪（－1，2） D．m∈（－1，+∞）
6.直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． 且 D．且
填空题
7．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝　 　．

8．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．
9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.
10．设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．
11.（2018 朝阳区模拟）在菱长为1的正方体ABCD—A＇B＇C＇D＇中，若点P是棱上一点，则满足｜PA｜+｜PC＇｜=2的点P的个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12


三、解答题
12．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a>0)的左焦点F1到直线y＝x－2的距离为2，求椭圆的标准方程．
13．已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．








14. 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．
15．已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

【答案与解析】
1.答案D；
解析：由椭圆方程知
2.答案：C
解析：由题意得：m2=25－42=9，因为m＞0，所以m=3。
故选：C．
3.答案B；
解析：依题意知P点的横坐标为，代入椭圆方程得从而P点坐标为或，故选B
4.答案C；
解析：由于椭圆的长轴长为4，短轴长为2，
则2a=4，2b=2，
所以a=2，b=1，
故焦点在x轴上，所求椭圆的方程为；焦点在y轴上，所求椭圆的方程为。
故选C．

5.答案B；
解析：方程表示椭圆的充要条件是，即m∈（―4，―1）∪（―1，2），
由题意可得，所求的m的范围包含集合（―4，―1）∪（－1，2），
故选B。

6.答案：D
解析：直线过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上.
7. 答案：12．
解析：如图：MN的中点为Q，易得，

∵Q在椭圆C上，∴|QF1|＋|QF2|＝2a＝6，
∴|AN|＋|BN|＝12．
故答案为：12．
8. 答案：(y≠0)
解析：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为(y≠0)
9. 答案：6
解析：如图所示，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6.
10. 答案：4
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.
11. 答案: B
解析：∵正方体的棱长为1
∴
∵｜PA｜+｜PC＇｜=2
∴点P是以为焦点，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球上，
∵P在正方体的棱上
∴P应是椭圆与正方体的棱的交点
结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B＇C＇，C＇D＇，CC＇，AA＇，AB，AD上各有一点满足条件。
故选B
12. 解析：原方程可化为(a>0)，∴，即左焦点.由已知得，解得或 (舍去)，即a2＝8.∴b2＝a2－c2＝8－4＝4.故所求椭圆的标准方程为.
13. 解析：如图所示．∵l是线段PA的垂直平分线，∴AQ＝PQ.∴AQ＋CQ＝PQ＋CQ＝CP＝10，且10>6.
∴点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a＝10，c＝3，即a＝5，b＝4.∴点Q的轨迹方程为.
14. 解析：当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．
当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．
15. 解析：设两焦点为、，且，．从椭圆定义．
即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．

5