人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：20【提高】直线与双曲线的位置关系（文）

直线与双曲线的位置关系

【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；
3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上的双曲线的标准方程
说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2
焦点在y轴上的双曲线的标准方程
说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2
要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.
要点二、双曲线的几何性质
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点

轴
实轴长=，虚轴长=
离心率
渐近线方程
要点三、直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.
要点四、双曲线的实际应用与最值问题
对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解
双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
利用定义转化
利用双曲线的几何性质
转化为函数求最值
【典型例题】
类型一：双曲线的方程与性质
例1.设F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，若·＝0，且||·||＝2ac，其中c＝，求双曲线的离心率．
【解析】由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
又||·||＝2ac，∴2ac＝2b2，
∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝，
即双曲线的离心率为.
【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
举一反三：
【变式1】求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线．
【解析】(1)∵椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，
∴所求双曲线方程设为：－＝1，
又点(－2，)在双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝5或a2＝18(舍去)．
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)∵双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
∴设所求双曲线方程为：－＝1，
又点(3，2)在双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为－＝1.
【变式2】 (2018 上海)已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程 .
【答案】
【解析】设点和的坐标为、，则有
又因为的渐近线方程为，故设的方程为，
把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即。
故答案为。
类型二：直线与双曲线的位置关系
例2．已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x－1)，讨论直线与双曲线公共点个数.
【解析】联立方程组消去y，并依x聚项整理得：
(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0 ①
(1)当1－k2=0即k=±1时，方程①可化为2x=5，x=，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).
(2)当1－k2≠0时，即k≠±1，此时有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，
则k∈，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.
(3)若4－3k2=0(k2≠1)，则k=±，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).
(4)若4－3k2<0且k2≠1则k∈，方程组无解，故直线与双曲线无交点.
综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；
当k∈时，直线与双曲线有两个公共点；
当k∈时，直线与双曲线无公共点.
【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：
举一反三：
【变式1】过原点的直线l与双曲线=－1交于两点，则直线l的斜率取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式2】直线y=x+3与曲线－x·|x|+y2=1的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3?
【答案】D
例3.过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
【解析】若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，
， ∴，
，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；
所以满足条件的直线有两条和。
【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点.
举一反三：
【变式】双曲线的右焦点到直线x-y-1=0的距离为,且.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且|AC|=|AD|，求实数k取值范围。
【答案】（1）
（2）
类型三：双曲线的弦
例4.（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
解：由得得（*）
设方程（*）的解为，则有 得，
.
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，
由得（*）
设方程（*）的解为，则 ∴，
且，
∴，
得或.
方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则
得：，
∴， 即，
即（图象的一部分）
【总结升华】（1）弦长公式；
（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.
举一反三：
【变式1】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程
【答案】
【变式2】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
类型四：双曲线的综合问题
例5.设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B，求双曲线C的离心率的取值范围．
【解析】由C与l相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①.
所以解得0双曲线的离心率e＝＝，因为0所以e>，且e≠.
即离心率e的取值范围为∪(，＋∞)．
【总结升华】求离心率的范围应以双曲线几何量的限制为准，构建关于a，b，c的不等关系，从前求出离心率的范围.
举一反三：
【变式1】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．1C．1【答案】　D
【变式2】(2018 江西校级模拟)设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|P F1|:| F1 F2|：|P F2|=4:3:2，则曲线I的离心率等于（ ）
A.或 B. 或2 C. 或2 D. 或
【答案】A
【解析】根据|P F1|:| F1 F2|：|P F2|=4:3:2，不妨设|P F1|=4m, | F1 F2|=3m, |P F2|=2m,
=3m,此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于；
=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于，
故选:A.
例6.已知点M(－2,0),N(2,0),动点P满足条件
|PM|－|PN|=2.记动点P的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.
【解析】(Ⅰ) 根据双曲线的定义可得
W的方程为.
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(),(),当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得
故, 所以……
又因为所以从而
当轴时,从而
综上,当AB⊥x轴时, 取得最小值2.
【总结升华】双曲线中的有关最值问题多考虑双曲线的定义、几何性质及函数表示，转化为图形问题和函数的最值问题解决.
举一反三：
【变式1】一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于P、Q两点，直线与y轴交于R点，且，求直线和双曲线方程.
【答案】直线方程；
双曲线方程
【变式2】设，为双曲线=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得 取得最小值时，求P点的坐标.
【答案】P点的坐标为
【巩固练习】
选择题
1.平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为(　　)
A．双曲线 B．线段
C．射线 D．不存在
2．（2018 河北）已知M是双曲线C:上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若,则y0的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
3．(2018 广东)若实数k满足0＜k＜9，则曲线＝1与曲线＝1的(　　)
A．焦距相等 B． 实半轴长相等 C． 虚半轴长相等 D． 离心率相等
4. 已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是(　　)
A. B. C. D．
5. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是(　　)
A．16 B．18
C．21 D．26
6.双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2分别为它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，，则|AB|等于(　　)
A．8 B．4
C．2 D．8
二、填空题
7．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
8．过点P(3,0)的直线l与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l共有________条．
9．已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．
10．设一个圆的圆心在双曲线的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是________．
三、解答题
11．设双曲线C：相交于两个不同的点A、B；求双曲线C的离心率e的取值范围：
12．设双曲线=1（013.两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.
14. 如图所示，已知F1，F2为双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
15．（2018 重庆文）如图，椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
（I）若，，求椭圆的标准方程.
（II）若|PQ|=λ|PF1|，且，试确定椭圆离心率的取值范围.
【答案与解析】
1.答案：　D
解析：设两定点为A、B，则平面内到两定点A、B的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离．
2．答案：　A
解析：由题意，
所以，故选：A。
3. 答案：A
解析：当0＜k＜9，则0＜9－k＜9，16＜25－k＜25，
即曲线＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝25，b2＝9－k，c2＝34－k，
曲线＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝25－k，b2＝9，c2＝34－k，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：A．
4. 答案：　C
解析：　∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.
5.答案：　D
解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
6. 答案：　A
解析：　∵＝，2b＝4，∴a2＝8，a＝2，
|AF2|－|AF1|＝2a＝4，
|BF2|－|BF1|＝2a＝4，
两式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝8，
又∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴|AB|＝8.
7．答案：
解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是.
8．答案：3
解析：已知双曲线方程为，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
9. 答案：
解析：由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：
|PF2|＝，又|PF2≥c－a，
所以≥c－a，c≤，
∴e＝≤，即e的最大值为.
10．答案：
解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，则y0＝＝4.代入双曲线方程得，所以，故|PO|＝＝.
11.解析：由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0.
双曲线的离心率
12. 解析:
解析：由已知，的方程为ay+bx-ab=0,
原点到的距离为，则有,
又c2=a2+b2, ∴，两边平方，得16a2(c2-a2)=3c4.
两边同除以a4并整理得3e4-16e2+16=0，∴e2=4或.
∵ 0∴e2=4，故e=2.
13．解析：
证明：双曲线的离心率；
双曲线的离心率.
∴.
14. 解析：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a.
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝2a，∴c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴2a2＝b2.∴＝.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
15. (1)由椭圆的定义，，故a=2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此
，即.
从而
故所求椭圆的标准方程为.
(2)如图，由PF1⊥PQ，|PQ|=λ|PF1|，得
由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2=2a，进而|PF1|+|PQ|+|QE1|=4a
于是.
解得，故.
由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|PF2|2=(2c)2=4c2，
从而,
两边除以4a2，得,
若记，则上式变成
.
由，并注意到关于λ的单调性，
得3≤t＜4，即，进而，即.