人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：25【提高】直线与抛物线的位置关系（文）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：25【提高】直线与抛物线的位置关系（文） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 378.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-18 11:50:38 | ||
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文档简介
直线与抛物线的位置关系
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；
3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F（即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比）.
要点二、抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
，，，
图像
方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
焦点
准线
要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p的值.
要点三、抛物线的几何性质
范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。
离心率：.
抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
要点三、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
要点诠释：直线与圆锥曲线的位置关系和其他圆锥曲线与直线一样，注意其中方程思想的应用和解析几何的通性通法.
要点四、抛物线的实际应用与最值问题
对于抛物线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用抛物线定义，求出参数p，得到抛物线方程，利用方程求解
要点诠释：抛物线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
利用定义转化
利用抛物线的几何性质
转化为函数求最值
【典型例题】
类型一：抛物线的方程与性质
例1． 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(4，8)的抛物线有几条?求出它们的标准方程.
【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为因为点M在抛物线上，所以即，因此，所求抛物线有两条，它们的标准方程是，
【总结升华】抛物线的焦点轴有四种情况，因此在讨论抛物线方程时要注意它的不同位置，恰当的设出方程是解决问题的关键.
举一反三：
【变式1】若抛物线通过直线与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．
【答案】由得，或，
根据题意可设抛物线的方程为x2＝－2my(m>0)或y2＝－2px(p>0)，
则在抛物线上，∴m＝，p＝，
∴方程为或
【变式2】(2018 德阳模拟)顶点在原点，经过圆C:的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为圆C：的圆心是
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，
设标准方程为，
因为点在抛物线上，所以，
所以p=1,
所以所求抛物线方程为：。
故选B。
类型二：直线与抛物线的位置关系
例2．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有________条．
【答案】3
【解析】如图，过点P与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线．
【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑相交于一点的情况，不要漏掉.
举一反三：
【变式】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
【答案】∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为.
类型三：抛物线的弦
例3：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．
【解析】y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1．
由消去y得x2－6x+1=0．
设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6．
又A、B两点到准线的距离为，，则
【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
举一反三：
【变式】顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y＝－2x－1所得的弦长|AB|＝，求抛物线的方程．
【答案】y2＝20x或y2＝－12x.
例4.若直线l：y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长．
【解析】把y＝kx－2代入y2＝8x，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵AB中点M(2，y0)，
∴x1＋x2＝4，即＝4，
解得k＝2或k＝－1.
又Δ＝16k2＋64k＋64－16k2>0，
∴k>－1，∴k＝2，
此时直线方程为y＝2x－2，
∵M(2，y0)在直线上，
∴y0＝2，|AB|＝.
【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
举一反三：
【变式】过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．
【答案】8
【解析】抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.
类型四：抛物线的综合问题
例5. 如图，已知抛物线，圆C2：x2+(y－1)2=1，过点P(t，0)（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的面积.
（注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.）
【思路点拨】（1）设定直线PA的方程，通过联立方程，判别式为零，得到点A的坐标；根据圆的性质，利用点关于直线对称，得到点B的坐标；（2）利用两点求距离及点到直线的距离公式，得到三角形的底边长与底边上的高，由此计算三角形的面积.
【解析】（1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y=k(x－t).
所以，消去y，整理得：x2－4kx+4kt=0.
因为直线PA与抛物线相切，所以Δ=16k2－16kt=0，解得k=t.
所以x=2t，即点A（2t，t2）.
设圆C2的圆心为D（0，1），点B的坐标为（x0，y0），由题意知，点B,O关于直线PD对称，故有，
解得.即点.
(2)由(1)知，，
直线AP的方程为tx－y－t2=0，
所以点B到直线PA的距离为.
所以△PAB的面积为.
举一反三：
【变式1】过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A,B两点，求的最小值.
【答案】当时，取最小值为2p
【变式2】 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
【答案】设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,
又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)((|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,
∴k2=1/2, 此时x=(x1+x2)==
∴y= ±即M(,), N(,─)
【巩固练习】
选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C．|a| D．
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D.
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
4．(2018 新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）。
A. 3 B.6 C. 9 D. 12
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝( )
A． B．8 C． D．16
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
二、填空题
7．如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么l的方程为________．
8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
9．抛物线上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是________．
10．(2018 山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 。
三、解答题
11.已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
12. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程．
13.若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，求实数b的值．
14.已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．
(1)求证：OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
15. (2018 陕西)如图，曲线C由上半椭圆C1：(a＞b＞0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．
(Ⅰ) 求a，b的值；
(Ⅱ)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
【答案与解析】
1.【答案】 B
【解析】 ∵y2＝ax，∴p＝，即焦点到准线的距离为，故选B.
2. 【答案】 A
【解析】 记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是直线l，则点F的坐标是(，0)，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于，选A.
3．【答案】 C
【解析】 设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，
则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.故选C.
4. 【答案】B
【解析】∵y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=－2
∴椭圆E中 c=2
，a=4，∴b2=12
∴椭圆E的方程为
设A（－2，y0）
，∴y02=9，∴|y0|=3
∴|AB|=2y0=6
故选B
5. 【答案】 B
【解析】 由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，
又由直线AF的斜率为，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
6. 【答案】 B
【解析】 抛物线的焦点F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.
7．【答案】 x＝1或y＝4x－2
【解析】 当过M(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与抛物线有一个交点；当M(1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程：y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得2x2－k(x－1)－2＝0，此时Δ＝0，解得k＝4，故直线方程为y＝4x－2.故x＝1或y＝4x－2.
8．【答案】 2
【解析】 设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把x＝y＋代入y2＝2px得，y2－2px－p2＝0，∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，∴(2p)2－4×(－p2)＝32，又p>0，∴p＝2.
9. 【答案】 0【解析】 设抛物线上一点P(x，y)，
则|PA|2＝x2＋(y－a)2＝2y＋y2－2ay＋a2
＝y2－2(a－1)y＋a2＝[y－(a－1)]2＋2a－1.
∵y≥0，∴当a－1≤0，即a≤1时，|PA|2有最小值，
而|PA|有最小值，此时y＝0，故010．【答案】
【解析】设OA所在直线方程为，则OB所在直线方程为
解方程组得
而抛物线C2的焦点，因为F是△OAB的垂心，kOB·kAF=－1
所以答案应填
11.
【解析】由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.
∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3.
∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
∴m＝或m＝.
∴A(3, )．∴|OA|＝|OB|＝.
∴△OAB的周长为
12. 【解析】 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
其准线方程为x＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AF|＋|BF|＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
所以QA＝QB，
即(x1－6)2＋＝(x2－6)2＋，
又＝2px1，＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p
故8－p＝12－2p
∴p＝4
∴所求抛物线方程是y2＝8x
13. 【解析】 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，
所以＝2x1 ① ＝2x2 ②
①－②并整理可得，
又因为kAB＝－1，所以y1＋y2＝－2，
因为在直线y＝x＋b上，
所以－1＝＋b，即b＝，
所以b的值为.
14. 【解析】:
(1)证明：如图所示，由方程联立消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由根与系数的关系y1·y2＝－1.
∵A、B在抛物线y2＝－x上，
∴＝－x1，＝－x2，.
∵kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0.
∴令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝.
∵S△OAB＝，∴＝，
解得
15．【解析】(Ⅰ)在C1、C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左右顶点．
设C1：的半焦距为c，由及a2－c2＝b2＝1得a＝2．
∴a＝2，b＝1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆C1的方程为(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0．(*)
设点P(xp，yp)，
∵直线l过点B，
∴x＝1是方程(*)的一个根，
由求根公式，得，从而，
∴点P的坐标为．
同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)，
∴，
∵AP⊥AQ，∴，即，
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得．
经检验，符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)，即8x＋3y－8＝0．
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；
3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F（即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比）.
要点二、抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
，，，
图像
方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
焦点
准线
要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p的值.
要点三、抛物线的几何性质
范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。
离心率：.
抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
要点三、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：
①焦点弦长
②
③，其中|AF|叫做焦半径，
④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。
要点诠释：直线与圆锥曲线的位置关系和其他圆锥曲线与直线一样，注意其中方程思想的应用和解析几何的通性通法.
要点四、抛物线的实际应用与最值问题
对于抛物线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用抛物线定义，求出参数p，得到抛物线方程，利用方程求解
要点诠释：抛物线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：
利用定义转化
利用抛物线的几何性质
转化为函数求最值
【典型例题】
类型一：抛物线的方程与性质
例1． 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(4，8)的抛物线有几条?求出它们的标准方程.
【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为因为点M在抛物线上，所以即，因此，所求抛物线有两条，它们的标准方程是，
【总结升华】抛物线的焦点轴有四种情况，因此在讨论抛物线方程时要注意它的不同位置，恰当的设出方程是解决问题的关键.
举一反三：
【变式1】若抛物线通过直线与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．
【答案】由得，或，
根据题意可设抛物线的方程为x2＝－2my(m>0)或y2＝－2px(p>0)，
则在抛物线上，∴m＝，p＝，
∴方程为或
【变式2】(2018 德阳模拟)顶点在原点，经过圆C:的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为圆C：的圆心是
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，
设标准方程为，
因为点在抛物线上，所以，
所以p=1,
所以所求抛物线方程为：。
故选B。
类型二：直线与抛物线的位置关系
例2．过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，这样的直线l共有________条．
【答案】3
【解析】如图，过点P与抛物线y2＝4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x轴平行的直线．
【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑相交于一点的情况，不要漏掉.
举一反三：
【变式】已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
【答案】∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为.
类型三：抛物线的弦
例3：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．
【解析】y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1．
由消去y得x2－6x+1=0．
设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6．
又A、B两点到准线的距离为，，则
【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
举一反三：
【变式】顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y＝－2x－1所得的弦长|AB|＝，求抛物线的方程．
【答案】y2＝20x或y2＝－12x.
例4.若直线l：y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，且AB的中点为M(2，y0)，求y0及弦AB的长．
【解析】把y＝kx－2代入y2＝8x，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵AB中点M(2，y0)，
∴x1＋x2＝4，即＝4，
解得k＝2或k＝－1.
又Δ＝16k2＋64k＋64－16k2>0，
∴k>－1，∴k＝2，
此时直线方程为y＝2x－2，
∵M(2，y0)在直线上，
∴y0＝2，|AB|＝.
【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
举一反三：
【变式】过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．
【答案】8
【解析】抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.
类型四：抛物线的综合问题
例5. 如图，已知抛物线，圆C2：x2+(y－1)2=1，过点P(t，0)（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的面积.
（注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.）
【思路点拨】（1）设定直线PA的方程，通过联立方程，判别式为零，得到点A的坐标；根据圆的性质，利用点关于直线对称，得到点B的坐标；（2）利用两点求距离及点到直线的距离公式，得到三角形的底边长与底边上的高，由此计算三角形的面积.
【解析】（1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y=k(x－t).
所以，消去y，整理得：x2－4kx+4kt=0.
因为直线PA与抛物线相切，所以Δ=16k2－16kt=0，解得k=t.
所以x=2t，即点A（2t，t2）.
设圆C2的圆心为D（0，1），点B的坐标为（x0，y0），由题意知，点B,O关于直线PD对称，故有，
解得.即点.
(2)由(1)知，，
直线AP的方程为tx－y－t2=0，
所以点B到直线PA的距离为.
所以△PAB的面积为.
举一反三：
【变式1】过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A,B两点，求的最小值.
【答案】当时，取最小值为2p
【变式2】 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
【答案】设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=, y=,
又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)((|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,
∴k2=1/2, 此时x=(x1+x2)==
∴y= ±即M(,), N(,─)
【巩固练习】
选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C．|a| D．
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D.
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
4．(2018 新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）。
A. 3 B.6 C. 9 D. 12
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝( )
A． B．8 C． D．16
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
二、填空题
7．如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么l的方程为________．
8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
9．抛物线上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是________．
10．(2018 山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 。
三、解答题
11.已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
12. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程．
13.若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，求实数b的值．
14.已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．
(1)求证：OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
15. (2018 陕西)如图，曲线C由上半椭圆C1：(a＞b＞0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．
(Ⅰ) 求a，b的值；
(Ⅱ)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
【答案与解析】
1.【答案】 B
【解析】 ∵y2＝ax，∴p＝，即焦点到准线的距离为，故选B.
2. 【答案】 A
【解析】 记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是直线l，则点F的坐标是(，0)，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于，选A.
3．【答案】 C
【解析】 设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，
则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.故选C.
4. 【答案】B
【解析】∵y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=－2
∴椭圆E中 c=2
，a=4，∴b2=12
∴椭圆E的方程为
设A（－2，y0）
，∴y02=9，∴|y0|=3
∴|AB|=2y0=6
故选B
5. 【答案】 B
【解析】 由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，
又由直线AF的斜率为，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
6. 【答案】 B
【解析】 抛物线的焦点F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.
7．【答案】 x＝1或y＝4x－2
【解析】 当过M(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与抛物线有一个交点；当M(1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程：y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得2x2－k(x－1)－2＝0，此时Δ＝0，解得k＝4，故直线方程为y＝4x－2.故x＝1或y＝4x－2.
8．【答案】 2
【解析】 设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把x＝y＋代入y2＝2px得，y2－2px－p2＝0，∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，∴(2p)2－4×(－p2)＝32，又p>0，∴p＝2.
9. 【答案】 0
则|PA|2＝x2＋(y－a)2＝2y＋y2－2ay＋a2
＝y2－2(a－1)y＋a2＝[y－(a－1)]2＋2a－1.
∵y≥0，∴当a－1≤0，即a≤1时，|PA|2有最小值，
而|PA|有最小值，此时y＝0，故0
【解析】设OA所在直线方程为，则OB所在直线方程为
解方程组得
而抛物线C2的焦点，因为F是△OAB的垂心，kOB·kAF=－1
所以答案应填
11.
【解析】由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.
∵F(2,0)，∴|OM|＝|OF|＝3.
∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
∴m＝或m＝.
∴A(3, )．∴|OA|＝|OB|＝.
∴△OAB的周长为
12. 【解析】 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
其准线方程为x＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AF|＋|BF|＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
所以QA＝QB，
即(x1－6)2＋＝(x2－6)2＋，
又＝2px1，＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p
故8－p＝12－2p
∴p＝4
∴所求抛物线方程是y2＝8x
13. 【解析】 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，
所以＝2x1 ① ＝2x2 ②
①－②并整理可得，
又因为kAB＝－1，所以y1＋y2＝－2，
因为在直线y＝x＋b上，
所以－1＝＋b，即b＝，
所以b的值为.
14. 【解析】:
(1)证明：如图所示，由方程联立消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由根与系数的关系y1·y2＝－1.
∵A、B在抛物线y2＝－x上，
∴＝－x1，＝－x2，.
∵kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0.
∴令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·
＝.
∵S△OAB＝，∴＝，
解得
15．【解析】(Ⅰ)在C1、C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左右顶点．
设C1：的半焦距为c，由及a2－c2＝b2＝1得a＝2．
∴a＝2，b＝1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆C1的方程为(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0．(*)
设点P(xp，yp)，
∵直线l过点B，
∴x＝1是方程(*)的一个根，
由求根公式，得，从而，
∴点P的坐标为．
同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)，
∴，
∵AP⊥AQ，∴，即，
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得．
经检验，符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)，即8x＋3y－8＝0．