人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：26【基础】《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固

《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固
【学习目标】
（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质
1．椭圆：
（1）椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
要点诠释：
①椭圆标准方程中的大小，其中；
②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；
②对称性： 椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点： ，，，是椭圆的四个顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.
要点诠释：
①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；
②当时，表示两条射线；
③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线： 渐近线方程：.
这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
轴
轴
轴
轴
顶点
离心率
要点诠释：
（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；
（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。
要点二：直线和圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
1．直线与圆锥曲线C的位置关系
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交；
若Δ=0，则与C相切；
若Δ＜0，则有与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，，则
弦长公式：
当时, 弦长公式还可以写成：
要点诠释：
（1）当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。（2）利用弦长公式求弦长时，应注意应用韦达定理。
要点三：有关圆锥曲线综合题类型
1.求圆锥曲线方程的方法
①定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。
②直接法
建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）
③代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
④参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
常见的参数法有：
（1）点参数
利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1）
（2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
要点注释：
（1）求轨迹方程的一般思路：
①若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；
②若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；
③若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；
④若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数。
（2）求轨迹方程应注意的问题：
①求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。
②要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。
2.直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：
①韦达定理法：
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
②设而不求法：
解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。
（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有
（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
3．求取值范围或最值：
参数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。
方程与不等式组----n个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法：
利用几何性质求参数范围；
利用不等式性质(结合几何性质)求参数范围．
【典型例题】
类型一：圆锥曲线的方程与性质
例1. 已知两定点、，且，动点到与到的距离比为常数，求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
【思路点拨】建立坐标系，再依据题中已知条件直接列出几何关系式子，再将其“翻译”成数学语言即可.
【解析】如图所示建立坐标系，则、，
设是轨迹上任意一点
则由题设，得,
坐标代入得,
化简得：
整理得：
∴点M的轨迹方程是
点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
【总结升华】
本题采用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。
举一反三：
【变式1】已知两定点、，且，动点满足：,求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
【答案】建立坐标系如图所示，则、，
设是轨迹上任意一点
则，
由，得,
整理得：
∴点M的轨迹方程是；轨迹是圆.
【变式2】设Ｆ１、Ｆ２是双曲线x2－y2＝4的两焦点，Ｑ是双曲线上任意一点，从Ｆ１引∠Ｆ１ＱＦ２平分线的垂线，垂足为Ｐ，则点Ｐ的轨迹方程是　　　　　　．
【答案】设O为F1F2的中点， 延长F1P交QF2于A，连接OP，
据题意知：△AQF1为等腰三角形
所以QF1=QA
∵|QF1-QF2|=4
∴|QA-QF2|=4
即AF2=4
∵OP为△F1F2A的中位线
∴OP=2
故点P的轨迹为以O为圆心，以2为半径的圆，
方程为：x2+y2=4
例2．过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹.
【思路点拨】AB的中点是受A，B两点的影响而运动的，而A,B的运动是由于直线的转动而导致的，因此可以选择直线的斜率k作为参数.
【解析】设AB的中点M(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2),
依题意，直线的斜率必须存在，设为k, 又直线 过原点，
∴直线的方程为：y=kx,
将此式代入y=x2-2x+2
整理得：x2-(2+k)x +2=0
∴x1+x2=2+k,
∴

由消去k，得。
又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式Δ>0,
∴(2+k)2-8>0, 解得或
∵,∴或
∴所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部分。
【总结升华】
①在处理涉及直线和二次曲线交点的轨迹问题时，直线的斜率是常用的参数,即“k参数”，此时要考虑直线的斜率不存在这一特殊情况.
②参数的选择多种多样，应视具体情况而定 常见的参数有k参数、点参数，也可以选有几何意义的量如角参数、参数a,b,c等。恰当选择参数，可以简化解题过程.
③解题时应先对动点的形成过程进行分析，确定参数，探求几何关系，建立参数方程.
④对参数方程化简以后，要重视检验工作，确定变量的范围.
举一反三：
【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2, A 、B分别是双曲线两条渐近线上的动点, 且, 求线段AB中点的轨迹方程.
【答案】设A点在渐近线上, B点在渐近线上,
A(x1, y1), B(x2, y2),线段AB中点 M(x, y),
∵,
∴
由=30,得,
∴, 化简得.
【变式2】设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax 交于两点A，B (a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ΔABC的重心的轨迹方程.
【答案】设ΔABC的重心为G(x,y) ,点C的坐标为C(x0,y0),A(x1,y1), B(x2,y2)
由方程组消去y并整理得：x2-12ax+16a2=0
∴x1+x2=12a, y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a
由于G(x,y)为ΔABC的重心,
∴,
∴, 又点C(x0,y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得：
(3y-4a)2=4a(3x-12a), 即
又点C与A，B不重合，∴。
类型二：直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：
例3．判断直线与椭圆的位置关系。
【思路点拨】直线方程与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，通过对判别式的考虑，从而对参数k进行分类讨论.
【解析】由可得
∴
（1）当时，
直线与椭圆相交
（2）当时，
直线与椭圆相切
（3）当时，
直线与椭圆相离。
【总结升华】
（1）直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则有：
①直线与椭圆相交；
②直线与椭圆相切；
③直线与椭圆相离。
所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。
（2）判断直线与椭圆相交，还可证明直线经过椭圆内的某定点。定点在椭圆内部，则。
举一反三：
【变式】已知直线y=(a+1)x－1与曲线y2=ax恰有一个公共点，求实数a的值.
【答案】联立方程
（1）当a=0时，此方程恰有一组解为：
（2）当a≠0时，消去x，得.
①若，即a=－1，方程变为一元一次方程：－y－1=0，
方程组恰有一组解：
②若，即a≠－1
令得：，可得，
这时直线与曲线相切，只有一个公共点.
综上所述知，当a=0、－1、时，直线y=(a+1)x－1与曲线y2=ax恰有一个公共点.
例4．设直线过双曲线的一个焦点，交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，若，求|AB|的值。
【思路点拨】直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。
【解析】当AB⊥x轴时，点A（2，3），B（2，－3），不满足条件。
则直线AB斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=k(x－2)。
代入双曲线方程，得
即。
设点，，
则当Δ>0时，，。
从而
。
∵，∴
∴，解得。
此时
∴，
故由焦点弦长公式，得：。
【总结升华】
处理涉及直线和二次曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而 是用韦达定理作整体运算（把x1+x2或x1x2看作一个整体），即所谓“设而不求”.
涉及直线与双曲线相交弦的问题，Δ＞0是必不可少的条件。关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑Δ＞0，同时要考虑方程根的取值范围。
举一反三：
【变式1】已知点A和B ，动点A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－２交于D、E两点，求线段DE的长.
【答案】设点C（x , y）,　则　｜CA |－｜CB |＝±２.
根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线
　　　　　　　.
　由　2a ＝２，，得a2＝１，b2＝２.
故点C的轨迹方程是.
由，得　x2＋4x－６＝０.
∵　△＞０，∴　直线与双曲线有两个交点.
设D（x1，y1）、E（x2，y2），则　x1＋x2＝－４，x1·x2＝－6.
故.
【变式2】
设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．
【答案】（1）由题设知
由于，则有，所以点A的坐标为，
故所在直线方程为，
所以坐标原点O到直线的距离为，
又，所以，解得，
所求椭圆的方程为．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，
设，由于，∴，解得
又Q在椭圆C上，得，解得， 故直线l的方程为或， 即或．
类型三：求取值范围或最值：
例5 . (2018 浙江) 已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
【答案】（1）或；（2）
【思路点拨】（1）可设直线AB的方程为，从而可知有两个不同的解，再由AB中点也在直线上，即可得到关于m的不等式，从而求解；（2）令，可将△AOB表示为t的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.
【解析】（1）由题意知m≠0，可设直线AB的方程为，由，消去y，得，∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，①，将AB中点代入直线方程解得，②。由①②得或；
（2）令，则，且O到直线AB的距离为，△AOB的面积为S(t)，∴，当且仅当时，等号成立，故△AOB面积的最大值为.
【总结升华】本题考查直线与椭圆的位置关系、点到直线距离公式以及函数的最值.
举一反三：
【变式1】 (2018 江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2=1右支上的一个动点。若点P到直线x－y+1=0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为
【答案】
【解析】设P（x，y），（x≥1），因为直线x－y+1=0平行于渐近线x－y=0，所以c的最大值为直线x－y+1=0与渐近线x－y=0之间距离，为。
【变式2】
(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
【答案】（1）（2，2）
连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q()
【变式2】
已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）。若右焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.
【答案】
（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F
由题设 解得 故所求椭圆的方程为.
（2）设P为弦MN的中点，由 得 .
由于直线与椭圆有两个交点， 即 ①
，从而，
又，则，
即 ② 把②代入①得 解得
又由②得 解得. 故所求m的取范围是。
【巩固练习】
一、选择题
1．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是( )
A.椭圆 B.AB所在直线 C.线段AB D.无轨迹
2. （2018 天津）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B. C. D.
3.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 5 C. D.
4．若动点P在抛物线y=2x2+1上运动，则P与点A(0,-1)所连线段的中点轨迹方程是（ 　）
A．y=2x2 　 B.y=4x2 C.y=6x2 　 D.y=8x2
5．抛物线上的点到直线4x+3y－8=0距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
6. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A． B． C． D．
7. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A． B． C． D．
二、填空题
8、(2018 上海)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为　　 ．
9、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。的最小值为
10.抛物线与斜率为1且过焦点的直线交于A、B两点，则 ；
11. 在抛物线y2=16x内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是________
三、解答题
12. △ABC中,A(3,0),，BC在y轴上，且在[-3,3]间滑动，求△ABC外心的轨迹方程。
13．已知抛物线y2=2px(p>0)，一条长为4p的弦AB的两个端点A、B在抛物线上滑动，求此动弦的中点Q到y轴的最小距离.
14. 已知点A和B，动点A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y＝x－２交于D、E两点，求线段DE的长.
15．（2018 浙江文）如图，已知抛物线，圆C2：x2+(y－1)2=1，过点P(t，0)（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求的面积.
（注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.）
【答案与解析】
1．【答案】C；
【解析】数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0≤x≤3.
2. 【答案】D
【解析】抛物线的准线为，则双曲线的焦点为，即
因为双曲线的渐近线过，可知，结合，求出，。
故选：D。
3. 【答案】D
【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=, 所以,,故选D.
4．【答案】B　
【解析】用代入法不难求出。
5．【答案】A；
【解析】抛物线上的点到直线4x+3y－8=0距离
，故距离的最小值是.
6. 【答案】C
【解析】对于，则直线方程为，
直线与两渐近线的交点为B，C，，
则有，
因．
7. 【答案】D
【解析】对于椭圆，因为，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8、【答案】x＝－2
【解析】由题意椭圆，故它的右焦点坐标是(2，0)，
又y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆的右焦点重合，
故p＝4，
∴抛物线的准线方程为x＝－2．
故答案为：x＝－2
9. 【答案】4-
【解析】设另一焦点为，则(-1,0)连A,P

当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。
10.【答案】-3；
【解析】∵抛物线的焦点，∴直线：，
设点，，
由，得，
有，，
故.
11. 【答案】8x-y-15=0 ；
【解析】设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，
代入抛物线方程得，
两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2)
即
故所求直线方程为y=8x-15
12、【解析】设C在B的上方，设B(0,t)， 则C(0,t+2)，-3≤t≤1
设外心为M(x,y)，因BC的中垂线为y=t+1 ①
AB中点为 ， AB的中垂线为 ②
由①、②消去t得这就是点M的轨迹方程。
13．【解析】
设F为焦点，A(x1,y1), B(x2,y2) ，则,
其到y轴的距离为,所以要使中点Q到y轴的距离最小，只需最小即可，
由抛物线定义有,|AF|+|BF|≥|AB|，
所以 x1+x2+p≥|AB|, 即 x1+x2+p≥4p, ；
∴点Q到y轴的最小距离为。
14. 【解析】 设点C（x , y）,　则　｜CA |－｜CB |＝±２.
根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线
　　　　　　　.
　由　2a ＝２，，得a2＝１，b2＝２.
故点C的轨迹方程是.
由，得　x2＋4x－６＝０.
∵　△＞０，∴　直线与双曲线有两个交点.
设D（x1，y1）、E（x2，y2），则　x1＋x2＝－４，x1·x2＝－6.
故.
15．【解析】（1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y=k(x－t).
所以，消去y，整理得：x2－4kx+4kt=0.
因为直线PA与抛物线相切，所以Δ=16k2－16kt=0，解得k=t.
所以x=2t，即点A（2t，t2）.
设圆C2的圆心为D（0，1），点B的坐标为（x0，y0），由题意知，点B,O关于直线PD对称，故有，[来源:学,科,网Z,X,X,K]
解得.即点.
(2)由(1)知，，
直线AP的方程为tx－y－t2=0，
所以点B到直线PA的距离为.
所以△PAB的面积为.