人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：29【提高】变化率与导数的概念

变化率与导数
（1）理解平均变化率的概念；
（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；
【要点梳理】
知识点一：平均变化率问题
1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
2.平均变化率
一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为：
要点诠释：
① 本质：如果函数的自变量的“增量”为,且,相应的函数值的“增量”为,,则函数从到的平均变化率为
② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
即递增或递减幅度的大小。
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S（m）从t1秒到t2秒的平均变化率即为t1秒到t2秒这段时间的平均速度。
高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
3.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即。
要点诠释：
1. 是的一个“增量”，可用代替，同样。
2. 是一个整体符号，而不是与相乘。
3. 求函数平均变化率时注意，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零。若函数为常函数，则=0.
知识点二：导数的概念
定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作
要点诠释：
① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数。
② 时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。
即存在一个常数与无限接近。
③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。
知识点三：求导数的方法：
求导数值的一般步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：。
也可称为三步法求导数。
【典型例题】
类型一：求平均变化率
例1 函数在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。
【解析】 ∵

，
∴
【总结升华】 由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数在给定区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率问题，就是求的值。本例的关键是对进行分子有理化。
举一反三：
【变式1】 求函数y=2x2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当时，平均变化率的值。【答案】 ∵
∴，函数在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为。
当时，，即平均变化率的值为9.
【变式2】 （2018春 松山区校级月考）在曲线上取点P（2,6）及邻近点Q ，
那么 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 ∵ ，
∴
故选C
【变式3】已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．
【答案】
函数在[－3，－1]上的平均变化率为
在[－3,－1]上的平均变化率为
函数在[0，5]上的平均变化率为
在[0，5]上的平均变化率为
类型二：利用定义求导数值
例2 用导数的定义，求函数在x=1处的导数。
【解析】∵

∴
∴。
【总结升华】 利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。
举一反三：
【变式1】（1）求函数 在x=1处的导数.
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【答案】 (1)
, ，即.
所以 函数 在x=1处的导数为6 .
（2） 依照定义，f(x)在的平均变化率，为两增量之比，
需先求，
再求：，即为f(x)=在附近的平均变化率。
再由导数定义得：
【变式2】已知函数，求函数在x=4处的导数.
【答案】（1）

，
【变式3】（2018春 海淀区校级期末改编）若f＇（x）=ex，则（ ）
A．e B．―e C．2e D．―2e
【答案】B
∵f＇（x）=ex，则
∴，故选B。
类型三：实际问题中导数的应用
例3. 设一个物体的运动方程是：，其中是初速度，时间单位为ｓ，
求：ｔ＝２ｓ时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）。
【解析】

【总结升华】 t=2s时的瞬时速度就是t=2s附近平均速度的极限，亦即速度在t=2s时导数。
举一反三：
【变式1】 质点按规律s (t)=at2+1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）。若质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m / s，求常数a的值。
【答案】 ∵Δs=s(2+Δt)―s(2)=a(2+Δt)2+1―a×22－1=4aΔt+a(Δt)2，
∴。
∴在t=2 s时，瞬时速度为，即4a=8。∴a=2。
【变式2】如果一个质点从固定点A开始运动，关于时间t的位移函数是
求（1）t=4时、物体的位移是s(4);
（2）t=4时、物体的速度v(4);
（3）t=4时、物体的加速度a(4).
【答案】(1)
(2) t=4时，
∴v(4)=48
(3)
∴
t=4时
∴a (4) = 24
【变式3】 枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是a=5×105 m / s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10―3 s。求枪弹射出枪口时的瞬时速度。
【答案】 运动方程为。
因为 ，
所以 。当Δt→0时，。
由题意知，a=5×105 m / s2，t0=1.6×10－3 s，
所以at0=8×102 m / s=800 m / s
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m / s
【巩固练习】
选择题
1．（2018春 保定校级月考）函数在一点的导数是（ ）
A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B.一个函数
C.一个常数，不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率。
2.（2018春 淄博校级月考）在曲线的图象上取一点（1,3）及邻近一点，则 为（ ）
A. B. C. D.
3.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为 （ ）
A．从时间到时，物体的平均速度　 B．时间时该物体的瞬时速度
C．当时间为时该物体的速度 D．从时间到时位移的平均变化率
4. 已知函数，下列说法错误的是（ ）
A. 叫函数增量
B. 叫函数在[]上的平均变化率
C. 在点处的导数记为
D. 在点处的导数记为
5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为，
则t=2 s时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6． 设，若，则a=（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．不确定
7．（2018秋 泗县校级期末）若在可导，且，则=（ ）
A. B.2 C.3 D.
8．在地球上一物体作自由落体运动时，下落距离其中为经历的时间，，
若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 0～1s时间段内的速率为
B. 在1～1+△ts时间段内的速率为
C. 在1s末的速率为
D. 若△t＞0，则是1～1+△ts时段的速率；
若△t＜0，则是1+△ts～1时段的速率．
二、填空题
9．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝ .
10.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则= ；= .
11．（2018秋 兖州区校级期中）已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为________。
三、解答题
12．已知函数, 求函数在x=4处的导数.
13.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时，原油温度（单位：）为．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
14． 已知函数y=log2x+1。
（1）求函数在[2，2.1]上的平均变化率；
（2）若自变量从x0增加到x0+Δx，该函数的平均变化率又是多少？（x0＞0）
15. 已知曲线，用定义求：处的导数；
【答案与解析】
1． 【答案】 C
2. 【答案】B
【解析】Δy=（1+Δx）2+2－1－1=Δx2+2Δx，=2+Δx.选B。
3． 【答案】 C
【解析】 ∵f′(4)=－sin4,π<4<, ∴sin4<0.∴f′(4)>0,即函数在点(4,f(4))处的斜率为正值.
∴切线的倾斜角为锐角.
4. 【答案】 C
【解析】 正确的写法应该是
5． 【答案】 C
【解析】 。故选C。
6． 【答案】 A
【解析】 ∵，∴a=2，故选A。
7． 【答案】 D
【解析】因为，即，， ，所以，故选D。
8． 【答案】 C
【解析】 ，即s（t）在t=1 s时的导数值。由导数的物理意义，得9.8 m / s是物体在t=1 s这一时刻的速率。故选C。
9. 【答案】 　
【解析】
10. 【答案】 　2， 2
【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。
11. 【答案】 （―1，3）
【解析】∵y=2x2+1，∴，
令4x0=―4，则x0=―1，∴y0=3
∴点M的坐标是（―1，3）
故答案为：（―1，3）
12. 【答案】
【解析】　　
，
13. 【解析】在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义
所以 同理可得:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,
说明在第附近,原油温度大约以的速率下降
在第附近,原油温度大约以的速率上升.
14．【 答案】0.7
　 【解析】（1）∵x1=2，x2=2.1，Δx=x2－x1=0.1，
∴，，
∴函数在[2，2.1]上的平均变化率 。
（2）x1=x0，x2=x0+Δx，
，
，
，
∴ 函数的平均变化率 。
15. 【答案】
【解析】∵y＞0，∴
∴
∴
当趋近于0时，上式的极限为，即 。