人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：32【基础】导数的计算（文）

导数的计算
【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，
4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．
【要点梳理】
知识点一：基本初等函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
要点诠释：
1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．
2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即（n∈Q）．
特别地，。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）＇=cos x．
4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）＇=－sin x．
5．指数函数的导数：，．
6．对数函数的导数：，．
有时也把 记作：

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点二：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
要点诠释：
1. 上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数：，
推广：．
（ⅱ）积的导数：，
特别地：（c为常数）．
（ⅲ）商的导数：，
两函数商的求导法则的特例
，
当时，．
这是一个函数倒数的求导法则．
2．两函数积与商求导公式的说明
（1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分．
（2）注意：且（v≠0）．
3．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
【典型例题】
类型一：求简单初等函数的导数
例1. 求下列函数的导数：
(1) (2) (3)（4）（5）
【解析】
(1) (x3)′=3x3－1=3x2；
(2) ()′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3
(3)
（4）；
（5）；
【总结升华】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。
（2）准确记忆公式。
（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
(1)y = (2)y = （3）y=2x3―3x2+5x＋4 （4）；
【答案】
(1) y′=()′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4
(2
（3）
（4）∵，∴.
类型二：求函数的和、差、积、商的导数
例2. 求下列函数导数：
(1) y＝3x2＋xcosx； (2)y＝； (3)y＝lgx－ex；（4）y=tanx.
【解析】
(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝.(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.
(4)=tanx+.
【总结升华】
（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。
（2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。
举一反三：
【变式1】函数在处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
法一：

∴.
法二：∵
∴
∴.
【变式2】 求下列各函数的导函数
（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。 （2）（2018春 兰山区期中）
（3）y=；
【答案】
（1）∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y＇=3x2+12x+11。
（2）y′=x′cosx＋x（cosx）′-(sinx) ′=-xsinx
（３）=
【变式3】求下列函数的导数.
（1） y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex；
（2）；
（3）y=
【答案】
（1） y′＝(2 x2－5 x ＋1)′e x ＋(2 x2－5 x ＋1) (e x )′
＝（4 x －5）e x ＋（2 x 2－5 x ＋1）e x
＝（2x 2－x －4）ex
（2），
∴.
（3）
=
=
【变式4】（2018 天津高考）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f＇（x）为f（x）的导函数，则f＇（0）的值为__________.
【答案】3
【解析】
类型三：利用导数求函数式中的参数
例3 （1），若，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ∵，
∴，∴，故选A。
【总结升华】 本题只需带着参数，求出导数，再代入另一个已知条件即可。
举一反三：
【变式1】
已知函数过点（1，5），其导函数的图象
如图3-2-1所示， 求的解析式。
【答案】∵，
由，，，得
，解得，
∴函数的解析式为。
【变式2】已知是关于的多项式函数，若，求；
【解析】显然是一个常数，所以
所以，即
所以
【巩固练习】
一、选择题
1.（2018秋 陕西期末）已知函数f（x）=xex，则f’（2）等于（ ）
A. e2 B. 2e2 C. 3 e2 D. 2ln2
2．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是(　　)
A．1 B．0
C．2 D.
3．下列命题中正确的是(　　)
①若f′(x)＝cosx，则f(x)＝sinx
②若f′(x)＝0，则f(x)＝1
③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx
A．① B．②
C．③ D．①②③
4．y＝在点A(1,1)处的切线方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y－2＝0
5．已知，若，则=（ ）
A.4 B.5 C.-2 D.-3
6．设，若，则=（ ）
A. B. C. D.
7．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2 B． C．― D．―2
二、填空题
8.（2018 河北区模拟）设f（x）=xlnx，若f’（x0）=2，则x0= 。
9．y＝10x在(1,10)处切线的斜率为________．
10．质点沿直线运动的路程与时间的关系是，则质点在t＝32时的速度等于____________．
11．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
三、解答题
12．求下列函数的导数
(1)y＝lnx　(2)y＝　(3)y＝
13．求过曲线y＝sinx上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程．
14．已知，，求适合的x的值。
15．求函数的导数。
（1）y=x4―3x2―5x+6；
（2）
（3）y=tanx
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】因为f（x）=xex，所以f’（x）= ex+ xex，所以f’（2）= e2+ 2e2=3 e2，故选C。
2. 【答案】D
【解析】　∵y′＝，∴，故图象在x＝2处的切线斜率为.
3. 【答案】C
【解析】　当f(x)＝sinx＋1时，f′(x)＝cosx，
当f(x)＝2时，f′(x)＝0.
4. 【答案】A
【解析】∵y′＝－，∴y′|x＝1＝－1.
∴y－1＝－1(x－1)，即x＋y－2＝0.
5．【答案】A
【解析】
,故有，
，故选A.
6．【答案】D
【解析】
，故可化为；故故选D。
7．【答案】D
【解析】 由，求导得，
所以切线斜率，
则直线ax+y+1=0的斜率为2，所以―a=2，即a=―2。
8.【答案】e
【解析】因为f（x）=xlnx，所以f’（x）= lnx+1，所以f’ （x0）= ln x0+1=2，解得x0=e，故答案为e。
9. 【答案】10ln10
【解析】　y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10.
10. 【答案】　
∴质点在时的速度为
11. 【答案】　(2,1)
【解析】　设P(x0，y0)，
y′＝＝(4x－2)′＝－8x－3，
∴tan135°＝－1＝－8.
∴x0＝2，y0＝1.
12.【解析】　(1)y′＝(lnx)′＝
(2) y′＝(x－4)′＝－4·x－4－1＝－4·x－5＝－
（3）
13. 【解析】 ∵y＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
∴经过这点的切线的斜率为，从而可知适合题意的直线的斜率为－.
∴由点斜式得适合题意的直线方程为
y－＝－ (x－)，
即 x+ y－－=0
14．【解析】，，
则，，即。
∴。
15．【解析】
（1）。
（2）
（3）y=tanx=， y’===