人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：33【提高】导数的计算（文）

导数的计算
【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，
4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．
【要点梳理】
知识点一：基本初等函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8）， 。
要点诠释：
1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．
2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即（n∈Q）．
特别地，。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）＇=cos x．
4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）＇=－sin x．
5．指数函数的导数：，．
6．对数函数的导数：，．
有时也把 记作：

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点二：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
要点诠释：
1. 上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数：，
推广：．
（ⅱ）积的导数：，
特别地：（c为常数）．
（ⅲ）商的导数：，
两函数商的求导法则的特例
，
当时，．
这是一个函数倒数的求导法则．
2．两函数积与商求导公式的说明
（1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分．
（2）注意：且（v≠0）．
3．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
【典型例题】
类型一：求简单初等函数的导数
例1. 求下列函数的导数：
（1）y=x13；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
【解析】 （1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
【总结升华】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。
（2）准确记忆公式。
（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
（1）；
（2）
（3）；
（4）
【答案】
（1）.
（2）.
（3）∵，∴.
（4）
∴.
类型二：求函数的和、差、积、商的导数
例2. 求下列函数导数：
（1）；
（2）y ＝x · sin x · ln x；
（3）y ＝；
（4）y ＝．
【解析】
（1）法一：去掉括号后求导.
法二：利用两个函数乘积的求导法则
=2x(2x－3)+(x2+1)×2
=6x2－6x+2
（2）y′＝(x sin x)′ln x ＋x sin x · (ln x)′
＝(sin x ＋x cos x) ln x ＋sin x．
（3）y′＝＝.
（4）y′＝＝．
【总结升华】
（1）如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；
（2）求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简。
（3）求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心。
举一反三：
【变式1】（2018 长乐市期末）函数 的导数是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据导数的运算法则可得，，故选C。
【变式2】函数在处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
法一：

∴.
法二：∵
∴
∴.
【变式3】求下列各函数的导函数
（1） （2）y= （3）y=
【答案】
（1）法一：
∴
法二：
=+

（2）=
（３）=
【变式4】求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】
（1）

。
（2）。
（3）∵，∴。
类型三：利用导数求函数式中的参数
例3.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)
A.－1 B.－2 C.2 D.0
【解析】 由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，
即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2
【总结升华】 本题只需带着参数，求出导数，代入已知条件即可。
举一反三：
【变式1】
已知函数过点（1，5），其导函数的图象
如图3-2-1所示， 求的解析式。
【答案】∵，
由，，，得
，解得，
∴函数的解析式为。
【变式2】已知是关于的多项式函数，
（1）若，求；
（2）若且，解不等式.
【解析】显然是一个常数，所以
所以，即
所以
∵，∴可设
∵ ∴
由，解得
【变式3】（2018 安徽四模）已知函数的导函数为，且满足关系式 ，则的值等于（ ） 。
A.2 B.-2 C. D.
【答案】
，
令，则 ，
即 ， ，故选D。
【巩固练习】
一、选择题
1.（2018 南平模拟）已知函数，其导函数记为，则=（ ）
A. 2018 B. 0 C. 1 D. 2
2．质点做直线运动的方程是，则质点在t=3时的速度是（ ）（位移单位：m 时间单位：s）
A． B． C． D．
3．下列结论：①若y=cos x，则；②若，则；③若，则中，正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5.（2018春 松原校级期末）设，则（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. -4
6．函数的导数是（ ）
A． B．0 C． D．
7．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2 B． C．― D．―2
二、填空题
8．y＝10x在(1,10)处切线的斜率为________．
9．曲线y=sin x在点处的切线方程为________。
10．（2018 广州校级二模）已知函数图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是 。
11. 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________。
三、解答题
12．求下列函数的导数
(1)y＝lnx　(2)y＝　(3)y＝
13．求曲线在点处的切线方程。
14．已知，，求适合的x的值。
15．求函数的导数。
（1）
（2）y=x tan x；
（3）；
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】，所以，设，所以h（-x）=-h（x），因为，为偶函数，所以，故选D。
2．【答案】A
【解析】 ，则，当t=3时，。
3．【答案】D
【解析】 ①②③正确。
4. 【答案】D
【解析】 由，求导得，
所以切线斜率，
则直线ax+y+1=0的斜率为2，所以―a=2，即a=―2。
5.【答案】D
【解析】因为，所以，所以，解得，所以，所以，故答案为D。
6. 【答案】D
【解析】 ，则。
7．【答案】D
【解析】 由，求导得，
所以切线斜率，
则直线ax+y+1=0的斜率为2，所以―a=2，即a=―2。
8. 【答案】10ln10
【解析】　y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10.
9. 【答案】　y=1
【解析】 ，，从而切线方程为y=1。
10. 【答案】　
【解析】由题意
当时，取到最大值，是， ，
故答案为：
11．【答案】（―2，15）
【解析】 ，令，
P在第二象限x=―2P（―2，15）。
12.【解析】　(1)y′＝(lnx)′＝
(2) y′＝(x－4)′＝－4·x－4－1＝－4·x－5＝－
（3）
13. 【解析】，则
　　。
　　∴切线方程为
　　即5x+32y-7=0。
14．【解析】，，
则，，即。
∴。
15．【解析】
（1）∵，∴
（2）
。
（3）。