§1．3．2函数的奇偶性
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；
2．过程与方法：
通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3．情态与价值：
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．
二．教学重点和难点：
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
三．学法与教学用具
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
教学用具：三角板 投影仪
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
－1 0
通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线；函数是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
（2）
解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
例2．判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
解：（略）
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定；
③作出相应结论：
若；
若．
例3．判断下列函数的奇偶性：
①
②
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）＞0且＞=＜＜，它具有对称性．因为，所以是偶函数，不是奇函数．
（2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．
例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．
教材P35思考题：
规律：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．
证明：在（－∞，0）上也是增函数．
证明：（略）
小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P36 练习1．2 P39 B组题的1．2．3
（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
①
②
③
④
（五）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
（六）设置问题，留下悬念．
1．书面作业：课本P44习题A组1．3．9．10题
2．设＞0时，
试问：当＜0时，的表达式是什么？
解：当＜0时，－＞0，所以，又因为是奇函数，所以
．
A组
一、选择题：
1．已知函数，则它是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
2．已知函数为偶函数，则f（x）在区间（-5，-2）上是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．部分为增函数，部分为减函数 D．无法确定增减性
3．函数的大致图象是（ ）
4．如果奇函数在区间上是增函数且最小值是5，那么在区间上
A、是增函数且最小值是—5 B、是增函数且最大值是—5
C、是减函数且最小值是—5 D、是减函数且最大值是—5
5．已知在[—3，—2]上是减函数，下面结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数，在[2，3]上单调递减
B．f（x）是奇函数，在[2，3]上单调递减
C．f（x）是偶函数，在[2，3]上单调递增
D．f（x）是奇函数，在[2，3]上单调递增
6．为奇函数，在上，则它在上表达式 （ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题:
7．函数是奇函数，函数是偶函数，则b=______，c=_______。
8．定义在R上的函数f（x）、g（x）都是奇函数，函数F（x）= a f（x）+bg（x）+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F（x）在（-∞，0）上的最小值是________。
9．函数f（x）=|x—a|—|x—a|（a∈R）的奇偶性是_____________。
10．偶函数f（x）是定义在R上的函数，且在（0，+∞）上单调递减，则和 的大小关系是___________。
11．f（x）是（—∞，+∞）上的奇函数，且在（—∞，+∞）上是减函数，那么满足 的实数a的取值范围是____________。
12．已知为奇函数，为偶函数，且，则＿＿．
三、解答题:
13．已知函数f（x）是定义在集合{x|x∈R且x≠0}上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是减函数，若ab＜0，a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≤0。
14．定义在（-2，2）上的偶函数f（x），满足f（1-a）＜f（a），又当x≥0时，f（x）是减函数，求a的取值范围。
15．已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x>0时，f(x)<0，且f（1）=－2。
（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性；（3）求f（x）在[－3，3]上的最大值和最小值。
课时提升作业(十二)
函数奇偶性的概念
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列函数为奇函数的是 ( )
A.y=-|x| B.y=2-x
C.y= D.y=-x2+8
【解析】选C.A,D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.
2.(2018·三明高一检测)函数f(x)= ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选D.定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
【误区警示】易忽视函数定义域而误选B.
3.(2018·桂林高一检测)若函数f(x)满足=1,则f(x)图象的对称轴
是 ( )
A.x轴 B.y轴
C.直线y=x D.不能确定
【解题指南】将函数图象的对称问题转化为判断函数的奇偶性问题.
【解析】选B.由题意知f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称.
【补偿训练】f(x)=x3+的图象关于 ( )
A.原点对称 B.y轴对称
C.y=x对称 D.y=-x对称
【解析】选A.因为x≠0,f(-x)=(-x)3+=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数,则实数m= .
【解析】由f(-x)=f(x),可知m=0.
答案:0
5.(2018·张掖高一检测)已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为 .
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a(-3)=-6,解得a=5.
答案:5
三、解答题
6.(10分)(2018·南京高一检测)已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,求f(3)的值.
【解析】方法一:设g(x)=x7+ax5+bx,
则g(x)为奇函数,
因为f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5,
所以g(3)=-10,所以f(3)=g(3)-5=-15.
方法二:f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5
=-(37+a·35+3b-5)-10=-f(3)-10=5,
所以f(3)=-15.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·临沂高一检测)下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( )
【解题指南】利用奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y轴对称来判断.
【解析】选B.奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数的图象关于y轴对称,观察图象可知,只有B的图象关于y轴对称.
2.(2018·滁州高一检测)若f(x)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+
cx ( )
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选A.因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c对x∈R恒成立.所以b=0.所以g(x)=ax3+cx,所以g(-x)=-g(x).又因为c≠0,所以g(x)为奇函数但不是偶函数.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·黄山高一检测)已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=-,则函数f(x)的解析式f(x)= .
【解析】f(x)的定义域为∪,若f(x)是奇函数,则=0,得q=0.故f(x)=,又f(2)=-,得=-,得p=2,因此f(x)==-.
答案:-
4.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f的值是 .
【解析】若x≠0,则有f(x+1)=f(x),
取x=-,
则有:f=f
=f=-f,
因为f(x)是偶函数,则f=f,
由此得f=0,
于是,f=f=f=f=f=f
=5f=0.
答案:0
三、解答题
5.(10分)已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].
(1)求m,n的值.
(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.
【解析】(1)因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,所以函数的定义域关于原点对称.
又因为函数f(x)的定义域为[m-1,2m].
所以m-1+2m=0,解得m=.
又因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n,解得n=0.
(2)由(1)得函数的解析式为f(x)=x2+1,定义域为,其图象是开口方向朝上,且以y轴为对称轴的抛物线,所以当x=±时,f(x)取最大值.
课件18张PPT。1.3.2 奇偶性（第1课时)温故知新一、新课引入请观察下面两个函数图象，并思考：
(1)这两个函数图象对称性上有什么共同特征吗？
(2)相应的函数值是怎样体现这些特征的？ 函数值 f(-3)， f(3)；f(-2)， f(2)；f(-1)， f(1)有何关系？当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值 。二、新课讲解相等 一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。1、偶函数的定义：二、新课讲解是
不是请观察下面两个函数图象，并思考：
(1)这两个函数图象对称性上有什么共同特征吗？
(2)相应的两个函数值是怎样体现这些特征的？ 函数值 f(-3) ， f(3)；f(-2)， f(2)；f(-1)， f(1)有何关系？当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值 。二、新课讲解互为相反数 一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个x，都有 f(－ x)= － f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。2、奇函数的定义：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。二、新课讲解(1) 函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的，是函数的整体性质，要与单调性区别开来。(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。3、函数奇偶性定义中应注意：(3)图象的特征：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称。
二、新课讲解观察图象，判断下列函数的奇偶性y＝0(6)(2)xyO既是奇函数也是偶函数偶函数既不是奇函数也不是偶函数奇函数既不是奇函数也不是偶函数偶函数函数按奇偶性可分为四类偶函数奇函数既不是奇函数也不是偶函数既是奇函数也是偶函数例1、判断下列函数的奇偶性：三、例题讲解例1、判断下列函数的奇偶性：三、例题讲解“定义法”判断函数奇偶性的一般步骤：(1)看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则得出结论：该函数既不是奇函数也不是偶函数。 若定义域对称，则进入第二步;(2)计算 f(-x)，判断其与f(x)关系，若等于 f(x)，则函数是偶函数；若等于 –f(x)，则函数是奇函数。若两者都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶函数。注意：
1、若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。2、判断奇偶性的方法：①定义法；②图象法规律总结：四、练习巩固 偶奇既不是奇函数
也不是偶函数既不是奇函数
也不是偶函数BAD四、练习巩固 0四、练习巩固 3，61、(作业本)课本P36 课后练习1.(1) (2) (3) (4)
六、作业课件34张PPT。第1课时 奇偶性的概念第一章 1.3.2 奇偶性1.理解函数奇偶性的定义；
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法；
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数奇偶性的几何特征思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称.一般地，图象关于y轴对称的函数称为 函数，图象关于原点对称的函数称为 函数.偶奇知识点二 函数奇偶性的定义思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？答案答案 因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断.思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.答案(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有
，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图象上.任意f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)任意函数奇偶性的概念：知识点三 奇(偶)函数的定义域特征思考 如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？答案答案 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f(－x)与f(x)的关系.而本问题中，1∈(－1,1]，－1?(－1,1]，f(－1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.返回答案一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称.原点题型探究 重点难点 个个击破类型一 如何证明函数的奇偶性证明 因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，
∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，解析答案解析答案(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；证明 函数的定义域为R，
因函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，
又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，
所以函数为偶函数.解析答案即该函数既是奇函数又是偶函数.解析答案证明 定义域为{x|x≠0}.
若x<0，则－x>0，∴f(－x)＝1，f(x)＝－1，
∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－1，f(x)＝1，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.解析答案(5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)＝f(－x)＋f(x)是偶函数.证明 ∵f(x)的定义域为R，
∴g(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域也为R.
对于任意x∈R，都有g(－x)＝f[－(－x)]＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，
∴g(x)是偶函数.反思与感悟利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量.解析答案解析答案(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数；证明 函数的定义域为R，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
所以函数为奇函数.解析答案因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，即该函数既是奇函数又是偶函数.解析答案证明 定义域为{x|x≠0}.
若x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；
若x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.类型二 如何判断函数的奇偶性例2 (1)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性；解析答案解 ∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数.
f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数.
f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数.解析答案(2)判断f(x)＝x3＋3x的奇偶性；解 ∵y＝x3，y＝3x都是奇函数，由(1)知f(x)＝x3＋3x是奇函数.(3)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，求实数b，d的值.解 由(1)知当b＝d＝0时，f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数.反思与感悟判断函数单调性要比证明灵活得多，可以借助图象，也可借助已知奇偶性的函数，在此基础上判断其和、差、积、商复合的奇偶性.解析答案跟踪训练2 (1)f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，试判断y＝f(x)g(x)，y＝f [g(x)]的奇偶性；解 ∵f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是奇函数.
f [g(－x)]＝f [g(x)]，y＝f [g(x)]是偶函数.解析答案解析答案(3)已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，求F(x)在(－∞，0)上的最小值.解 ∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴y＝af(x)＋bg(x)是奇函数.
设x<0，则－x>0.
由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5(ab≠0)，
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2≤5，
∴af(－x)＋bg(－x)≤3，
∴af(x)＋bg(x)≥－3，
∴af(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.
即F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.类型三 奇(偶)函数图象的对称性的应用例3 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象
如图所示.
(1)画出f(x)的图象；解析答案解 先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，解析答案(2)解不等式xf(x)>0.解 xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.
结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性.解析答案返回返回解 显然当x>0时，f(x)>0.
又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，123达标检测 45答案1.函数f(x)＝0(x∈R)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数D12345答案A123453.函数f(x)＝x(－1
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数答案C123454.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1答案B123455.下列说法错误的个数是( )
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交；
⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R).
A.4 B.3 C.2 D.0答案B1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)?
f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?
f(x)为偶函数.
2.两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?
它的图象关于y轴对称.
3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)
＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.返回1.3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
课时目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于______对称．
(2)奇函数的图象关于______对称．
3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
一、选择题
1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(x)·f(－x)≤0
D.＝－1
3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．
其中正确的命题个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
4．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a等于( )
A．1B．0
C．－1D．－2
6．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确的是( )
A．y＝f(x)图象关于直线x＝1对称
B．y＝f(x＋1)图象关于y轴对称
C．必有f(1＋x)＝f(－1－x)成立
D．必有f(1＋x)＝f(1－x)成立
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________________________________.
8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.
三、解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
11．已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
能力提升
12．y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系是____________________________．
13．已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
1．函数奇偶性
(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．
(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(3)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．
2．函数的奇偶性与图象的对称性的关系
(1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数．
(2)若一个函数是偶函数，则其图象关于y轴对称，反之，若一个函数图象关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．
1．3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
知识梳理
1．(1)任意 f(－x)＝f(x) (2)任意 f(－x)＝－f(x)
2．(1)y轴 (2)原点
作业设计
1．B [F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．]
2．D [∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，
因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]
3．A [函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；
函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；
函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]
4．C [∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，
都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，
∴该函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．]
5．C [∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
即(－1＋1)(－1＋a)＝2(1＋a)，∴a＝－1.]
6．C [由题意，y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，故B正确；y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)的图象，故A正确；可令g(x)＝f(x＋1)，由题意g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，故D正确，所以选C.]
7．2
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.
8．(－2,0)∪(2,5]
解析 由题意知，函数f(x)在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f(x)在[－5,0]上的图象，观察可得答案．
9．0
解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)
＝－f(1)＝－4，
∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0.
10．解 (1)f(－x)＝3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7
＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时f(x)＝x2－1，
此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
11．解 (1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知f(x)
＝，
由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，
解得112．f()解析 因y＝f(x＋2)是偶函数，f(x＋2)的图象向右平移2个单位即得f(x)的图象．所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因f(x)在(0,2)上是增函数，所以f(x)在(2,4)上是减函数，且f(1)＝f(3)，由于>3>，
∴f()13．解 (1)令a＝b＝0，f(0)＝0＋0＝0；
令a＝b＝1，f(1)＝f(1)＋f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．
因为f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1)，
而0＝f(1)＝f((－1)×(－1))＝－f(－1)－f(－1)，
∴f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
即f(x)为奇函数．
