§1．3．2函数的奇偶性
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；
2．过程与方法：
通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3．情态与价值：
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．
二．教学重点和难点：
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
三．学法与教学用具
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
教学用具：三角板 投影仪
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
－1 0
通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线；函数是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
（2）
解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
例2．判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
解：（略）
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定；
③作出相应结论：
若；
若．
例3．判断下列函数的奇偶性：
①
②
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）＞0且＞=＜＜，它具有对称性．因为，所以是偶函数，不是奇函数．
（2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．
例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．
教材P35思考题：
规律：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．
证明：在（－∞，0）上也是增函数．
证明：（略）
小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P36 练习1．2 P39 B组题的1．2．3
（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
①
②
③
④
（五）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
（六）设置问题，留下悬念．
1．书面作业：课本P44习题A组1．3．9．10题
2．设＞0时，
试问：当＜0时，的表达式是什么？
解：当＜0时，－＞0，所以，又因为是奇函数，所以
．
A组
一、选择题：
1．已知函数，则它是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
2．已知函数为偶函数，则f（x）在区间（-5，-2）上是（ ）
A．增函数 B．减函数
C．部分为增函数，部分为减函数 D．无法确定增减性
3．函数的大致图象是（ ）
4．如果奇函数在区间上是增函数且最小值是5，那么在区间上
A、是增函数且最小值是—5 B、是增函数且最大值是—5
C、是减函数且最小值是—5 D、是减函数且最大值是—5
5．已知在[—3，—2]上是减函数，下面结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数，在[2，3]上单调递减
B．f（x）是奇函数，在[2，3]上单调递减
C．f（x）是偶函数，在[2，3]上单调递增
D．f（x）是奇函数，在[2，3]上单调递增
6．为奇函数，在上，则它在上表达式 （ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题:
7．函数是奇函数，函数是偶函数，则b=______，c=_______。
8．定义在R上的函数f（x）、g（x）都是奇函数，函数F（x）= a f（x）+bg（x）+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F（x）在（-∞，0）上的最小值是________。
9．函数f（x）=|x—a|—|x—a|（a∈R）的奇偶性是_____________。
10．偶函数f（x）是定义在R上的函数，且在（0，+∞）上单调递减，则和 的大小关系是___________。
11．f（x）是（—∞，+∞）上的奇函数，且在（—∞，+∞）上是减函数，那么满足 的实数a的取值范围是____________。
12．已知为奇函数，为偶函数，且，则＿＿．
三、解答题:
13．已知函数f（x）是定义在集合{x|x∈R且x≠0}上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是减函数，若ab＜0，a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≤0。
14．定义在（-2，2）上的偶函数f（x），满足f（1-a）＜f（a），又当x≥0时，f（x）是减函数，求a的取值范围。
15．已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x>0时，f(x)<0，且f（1）=－2。
（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性；（3）求f（x）在[－3，3]上的最大值和最小值。
课时提升作业(十三)
习题课——函数奇偶性的应用
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若点(-1,3)在奇函数y=f(x)的图象上,则f(1)等于 ( )
A.0 B.-1 C.3 D.-3
【解析】选D.由题意知,f(-1)=3,因为f(x)为奇函数,所以-f(1)=3,f(1)=-3.
2.已知函数f(x)=x2,则下列描述中,正确的是 ( )
A.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
C.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
【解析】选B.结合函数f(x)=x2的图象可知,该函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
【补偿训练】若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是 ( )
A.单调递增的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递减的偶函数 D.单调递增的奇函数
【解析】选B.因为f(x)=x3是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x3也是奇函数,因为f(x)=x3单调递增,所以y=-x3单调递减.
3.(2018·唐山高一检测)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6,那么f(x)在区间[-5,-2]上有( )
A.最小值6 B.最小值-6
C.最大值-6 D.最大值6
【解析】选C.因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6,所以可设a∈[2,5],有f(a)=6.由奇函数的性质,f(x)在[-5,-2]上必有最大值,且其值为f(-a)=-f(a)=-6.
【补偿训练】如果偶函数在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]
上 ( )
A.有最大值 B.有最小值
C.没有最大值 D.没有最小值
【解析】选A.偶函数图象关于y轴对称,在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]上也有最大值.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.设函数f(x)=ax3+bx+c的图象如图所示,则f(a)+f(-a)= .
【解析】由图象知f(x)是奇函数,
所以f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.
答案:0
5.(2018·威海高一检测)如果定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在
(0,+∞)内是减函数,又有f(3)=0,则x·f(x)<0的解集为 .
【解析】由题意可画出函数f(x)的草图.当x>0时,f(x)<0,所以x>3;当x<0时,f(x)>0,所以x<-3.
综上x>3或x<-3.
答案:{x|x<-3或x>3}
三、解答题
6.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.
【解析】因为x<0,所以-x>0,
所以f(-x)=(-x)|(-x)-2|.
又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|
=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)=x|x+2|.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)·g(x)|是奇函数
【解析】选C.设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,故A错,同理可知B,D错,C正确.
2.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,则下列关系式中,正确的是 ( )
A.f(5)>f(-5) B.f(4)>f(3)
C.f(-2)>f(2) D.f(-8)=f(8)
【解析】选C. f(x)在[0,+∞)上是减函数,且是奇函数,所以当x>0时,f(x)f(0)=0.
【补偿训练】若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,2) B.(-2,2)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选B.由题意知f(-2)=f(2)=0,
当x∈(-2,0]时,f(x)二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·信阳高一检测)已知定义域为R的函数f(x)在(-5,+∞)上为减函数,且函数y=f(x-5)为偶函数,设a=f(-6),b=f(-3),则a,b的大小关系为 .
【解析】因为函数y=f(x-5)为偶函数,所以图象关于x=0对称,
又因为由y=f(x-5)向左平移5个单位可得函数y=f(x)的图象,
所以y=f(x)的图象关于x=-5对称,
因为函数f(x)在(-5,+∞)上为减函数,
所以a=f(-6)=f(-4)>b=f(-3),
所以a>b.
答案:a>b
4.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为 .
【解析】由题意,x=2x-3或-x=2x-3,
所以x=3或x=1,
所以方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为4.
答案:4
三、解答题
5.(10分)(2018·宿州高一检测)已知分段函数f(x)是奇函数,x∈(0,+∞)时的解析式为f(x)=.
(1)求f(-1)的值.
(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.
(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
【解析】(1)f(-1)=-f(1)=-=-.
(2)任取x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),
所以f(-x)=,
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=,
所以f(x)=,x∈(-∞,0).
(3)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,证明如下:
任取x1,x2为区间(0,+∞)上的两个不相等的实数,
且x1则f(x2)-f(x1)=-
==.
因为x1>0,x2>0,
所以(x2+1)>0,(x1+1)>0,
又x2-x1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
课件11张PPT。1.3.2 奇偶性（第2课时)奇偶性与单调性、最值AD四、练习巩固 3，60利用奇偶性求函数解析式[一点通] 利用奇偶性求解析式
(1)“求谁设谁”，求哪个区间的解析式，就把x设在哪个区间．
(2)通过f(-x)，利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性，由f(-x)得出f(x)．
注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，
但若为偶函数，则不一定有f (0)＝0.利用奇偶性求函数解析式数形结合——利用奇偶性作图作业：报纸《函数基本性质》课堂小练
国庆综合练习课件26张PPT。第2课时 奇偶性的应用第一章 1.3.2 奇偶性1.掌握用奇偶性求解析式的方法；
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式；
3.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 用奇偶性求解析式思考 函数f(x)在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y)有什么关系？答案答案 满足y＝f(x).一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式.如果该等式同时满足两个条件：
①定义域符合要求；
②图象上任意一点均满足该式.
如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b，－a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(－x，－y)(或(－x，y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式.知识点二 奇偶性与单调性答案答案一般地，(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 函数，且有最小值 .
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是 .增－M增函数知识点三 奇偶性的推广答案(a,0)答案x＝a返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 用奇偶性求解析式例1 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式；解析答案解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.解析答案解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，反思与感悟求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.解析答案跟踪训练1 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x，求f(x)的解析式；解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2(－x)＝－2x，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x，∴当x<0时，f(x)＝2x.
又f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0也适合上式.
∴f(x)＝2x，x∈R.解析答案(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x. ①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x，
∴f(x)－g(x)＝－2x， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝0；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.类型二 奇偶性对单调性的影响例2 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.解析答案证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.
∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b.
∵f(x)在[a，b]上是减函数，
∴f(－x2)＞f(－x1).∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1).
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2).
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.反思与感悟与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间.跟踪训练2 已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)＜0.解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴由f(1－x)＋f(1－2x)＜0，得
f(1－x)＜－f(1－2x).
∴f(1－x)＜f(2x－1).
又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，解析答案类型三 对称问题例3 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x，试画出f(x)的图象.解析答案解 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称.
反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，
可画出f(x)的图象如图：反思与感悟奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似.解析答案跟踪训练3 定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出f(x)的图象.解 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.
又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称.
反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：返回123达标检测 45答案1.f(x)＝x2＋|x|( )
A.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C.不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D.是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数D123452.已知f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x－1，则x<0时f(x)等于( )
A.x＋1 B.x－1
C.－x－1 D.－x＋1答案A123453.若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是( )
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数答案B123454.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0答案C123455.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a等于( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2答案D1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.
2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.返回3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.第2课时 奇偶性的应用
课时目标 1.巩固函数奇偶性概念.2.能利用函数的单调性、奇偶性解决有关问题．
1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝____.
2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是____函数，且有__________．
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是______________．
一、选择题
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)A．f(－1)C．f(－3)f(1)
3．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( )
A．0.5B．－0.5
C．1.5D．－1.5
6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于( )
A．{x|x>3，或－3B．{x|0C．{x|x>3，或x<－3}
D．{x|0题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝____________.
8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是____________．
9．已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝____________.
三、解答题
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)能力提升
12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；
(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；
(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
第2课时 奇偶性的应用
知识梳理
1．0 2.增 最小值－M 3.增函数
作业设计
1．A [∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(2)即f(π)>f(－3)>f(－2)．]
2．D [∵f(－3)＝f(3)，
∴f(3)∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)，故选D.]
3．A [f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x1)＝f(x1)．
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0，
∴f(－x2)＝f(x2)4．C [∵f(x)为奇函数，∴<0，即<0，当x∈(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
5．B [由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)
＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.]
6．D [依题意，得x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0；
x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0.
由x·f(x)<0，知x与f(x)异号，
从而找到满足条件的不等式的解集．]
7．－x2＋x＋1
解析 由题意，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1＝x2＋x－1，
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2－x－1，即f(x)＝－x2＋x＋1.
8．(－∞，0]
解析 因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1.
∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图象是开口向下的抛物线．
∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．
9．－13
解析 (整体思想)f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17?(a·57－5b)＝－15，
∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13.
10．解 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴，即，
解得－1≤m<.
11．解 由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋>0，
2a2－2a＋3＝2(a－)2＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>.
12．C [令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，
解得f(0)＝－1.
令x2＝－x1＝x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1，
即f(－x)＋1＝－f(x)－1，
令g(x)＝f(x)＋1，g(－x)＝f(－x)＋1，－g(x)＝－f(x)－1，
即g(－x)＝－g(x)．
所以函数f(x)＋1为奇函数．]
13．解 (1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，所以y＝f(x)是奇函数．
(2)令x＋y＝x1，x＝x2，则y＝x1－x2，
得f(x1)＝f(x2)＋f(x1－x2)．
设x1>x2，∵x>0时f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，即f(x1)所以y＝f(x)为R上的减函数．
(3)由f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0，
得f(kx2)>－f(－x2＋x－2)，
∵f(x)是奇函数，有f(kx2)>f(x2－x＋2)，
又∵f(x)是R上的减函数，
∴kx2即(k－1)x2＋x－2<0对于x∈R恒成立，
即，故k<.
