第二章 基本初等函数（Ⅰ）
一、课标要求：
教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1. 了解指数函数模型的实际背景.
2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
3. 理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=ax的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.
4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.
5. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
6. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.
7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.
8. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数的图象，了解它们的变化情况 .
二、编写意图与教学建议：
1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.
2. 在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展 .
4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..
6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
三、教学内容与课时安排的建议
本章教学时间约为14课时.
2.1 指数函数： 6课时
2.2 对数函数： 6课时
2.3 幂函数： 1课时
小结： 1课时
§2.1.1 指数（第1—2课时）
一．教学目标：
1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法：
通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.
3．情态与价值
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
二．重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；
2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解
三．学法与教具
1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法
2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若，则叫做a的平方根.同理，若，则叫做a的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.
二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.
n次方根：一般地，若，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用表示，如果是负数，用表示，叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
零的n次方根为零，记为
举例：16的次方根为，等等，而的4次方根不存在.
小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.
根据n次方根的意义，可得：
肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？
让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n为奇数，
n为偶数,
如
小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：
例题：求下列各式的值
（1）
分析：当n为偶数时，应先写，然后再去绝对值.
思考：是否成立，举例说明.
课堂练习：1. 求出下列各式的值
2．若.
3．计算
三．归纳小结：
1．根式的概念：若n＞1且，则
为偶数时，；
2．掌握两个公式：
3．作业：P59习题2.1 A组 第1题
第二课时
提问：
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质？
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
2．观察以下式子，并总结出规律：＞0
① ②
③ ④
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
即：
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）
（2）
（3）
若＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.
即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.
所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)
所以，是一个确定的实数.
一般来说，无理数指数幂是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：的含义是什么？
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
3．例题
（1）．（P51，例2）求值
解：①
②
③
④
（2）．（P51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）
解：
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.
课堂练习：P54练习 第 1，2，3题
补充练习：
1. 计算：的结果
2. 若
小结：
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.
作业：P59 习题 2.1 第2题
第三课时
一．教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握根式与分数指数幂互化；
（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.
2．过程与方法：
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.
3．情感、态度、价值观
（1）培养学生观察、分析问题的能力；
（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
二．重点、难点：
1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.
2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.
三．学法与教具：
1．学法：讲授法、讨论法.
2．教具：投影仪
四．教学设想：
1．复习分数指数幂的概念与其性质
2．例题讲解
例1．（P52，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）
（2）
（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？
其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.
第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.
解：（1）原式=
=
=4
（2）原式=
=
例2．（P52 例5）计算下列各式
（1）
（2）＞0）
分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解：（1）原式=
=
=
=
=
（2）原式=
小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.
课堂练习：
化简：
（1）
（2）
（3）
归纳小结：
熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.
2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.
作业：P59－60 习题2.1
A组 第4题
B组 第2题
课堂训练
1、计算：；
解：原式=
；
2、化简：。
解：原式=
3、已知，求的值。
解析：∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，
又∵，
∴。
4、化简下列各式（）
【解析】
【点评】：（1）本题属于“了解”层次，主要考查考生对有理指数幂的含义、幂的运算的识记了解情况；（2）解答这类问题的关键是先把根式转化成分数指数幂的最简形式，然后做幂的运算。
5、计算：
解：原式==22×33+2 — 7— 2—1=100
课时提升作业(十四)
根 式
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列各式正确的是 ( )
A.=a B.a0=1
C.=-4 D.=-3
【解析】选D.对于A,因为a的正负不确定,所以=|a|.对于B要求a≠0.对于C结果应为4,故只有D正确.
【误区警示】本题易出现忘记零次方的底数不为零,认为a0=1正确,而错选B.
2.若=-,则 ( )
A.a=0 B.a≠0 C.a≤0 D.a≥0
【解析】选A.=-,是一个数与其相反数相等,故a=0.
3.(2018·南昌高一检测)化简-得 ( )
A.6 B.2x
C.6或-2x D.-2x或6或2
【解题指南】注意偶次方根开方的结果要求.
【解析】选C.原式=|x+3|-(x-3)
=
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2018·吉林高一检测)化简+= .
【解析】+=(1+)+|1-|=1++-1=2.
答案:2
5.若+=0,则x2018+y2016= .
【解析】因为+=0,所以x-1=0且x+y=0,解得x=1且y=-1,所以x2018+y2016=1+1=2.
答案:2
【延伸探究】若+=0,则x2018+y2016= .
【解析】因为+=0,即+=0,所以x+1=0且x-y=0,解得x=-1且y=-1,所以x2018+y2016=-1+1=0.
答案:0
三、解答题
6.(10分)化简:
(1)(x<π,n∈N*).
(2).
【解题指南】(1)注意分n为奇数和偶数分类求解.
(2)注意a的取值对开方数的影响.
【解析】(1)因为x<π,所以x-π<0,当n为偶数时,=|x-π|=π-x;
当n为奇数时,=x-π.
综上,=
(2)因为a≤,所以1-2a≥0.
所以==
=1-2a.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.化简的结果是 ( )
A.- B.
C.- D.
【解析】选A.由条件知,-x3>0,所以x<0,所以==-.
【误区警示】解答本题时易忽视符号而误选D.
2.已知二次函数y=ax2+2bx的图象如图所示,则的值为( )
A.a+b B.-(a+b)
C.a-b D.b-a
【解析】选D.由图象知a<0,->-1,b>a,即a-b<0,所以=|a-b|=b-a.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知x<1,则= .
【解析】因为x<1,所以原式===.
答案:
4.(2018·泉州高一检测)若=3a-1,则a的取值范围是 .
【解析】由题意,==3a-1,则3a-1≥0,a≥.
答案:
三、解答题
5.(10分)若x>0,y>0,且x--2y=0,求的值.
【解析】因为x--2y=0,x>0,y>0,
所以()2--2()2=0,
所以(+)(-2)=0,
由x>0,y>0得+>0,
所以-2=0,所以x=4y,
所以==.
课件23张PPT。2.1.1 指数与指数幂运算 （第2课时）复习回顾复习回顾1、整数指数幂运算性质: ( r、s ∈Z )同底数幂相乘,底数不变,指数相加商的幂，等于幂的商幂的乘方，底数不变，指数相乘乘积的幂，等于幂的乘积同底数幂相除,底数不变,指数相减二、新课讲解(2)(3)(4)辨识训练. 思考：参照上面的过程，说明无理数指数
幂的意义。 对于任意的无理数r，s 一般地，无理数指数幂 (a>0, 是无理
数)是一个确定的实数。 有理数指数幂的运算
性质同样适用于无理数指数幂。 ar+s(a>0)ars(a>0)arbr(a>0)利用根式性质化简求值有条件根式的化简能力提升根式与分数指数幂的互化利用分数指数幂的性质化简求值条件求值问题课堂演练限时规范训练完成P78,P79练习课题：§2.1.1指数
教学目的：（1）掌握根式的概念；
（2）规定分数指数幂的意义；
（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；
（5）了解无理数指数幂的意义
教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质
教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．
教学过程：
引入课题
以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性
由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；
复习初中整数指数幂的运算性质；
初中根式的概念；
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；
新课教学
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中>1，且∈*．
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．
式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）．
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．
思考：（课本P58探究问题）=一定成立吗？．（学生活动）
结论：当是奇数时，
当是偶数时，
例1．（教材P58例1）．
解：（略）
巩固练习：（教材P58例1）
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．有理指数幂的运算性质
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
引导学生解决本课开头实例问题
例2．（教材P60例2、例3、例4、例5）
说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．
巩固练习：（教材P63练习1-3）
无理指数幂
结合教材P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．
指出：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
思考：（教材P63练习4）
巩固练习思考：：（教材P62思考题）
例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
解：（略）
点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．
归纳小结，强化思想
本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．
作业布置
必做题：教材P69习题2．1（A组） 第1－4题．
选做题：教材P70习题2．1（B组） 第2题．
课件28张PPT。2.1.1 指数与指数幂的
运算(二)第二章 2.1 指数函数1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值；
3.了解无理数指数幂的意义.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 分数指数幂思考 根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？答案答案 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.一般地，分数指数幂定义：
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .答案0没有意义知识点二 有理数指数幂的运算性质思考 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？答案答案 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).知识点三 无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.答案实数返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化例1 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：解析答案解析答案反思与感悟解析答案1.根式直观，分数指数幂易运算.
2.运算化简时要注意公式的前提条件，保持式子运算前后恒等.解析答案跟踪训练1 把下列根式化成分数指数幂：解 解析答案解 解 类型二 用指数幂运算公式化简求值例2 计算下列各式(式中字母都是正数)：解析答案解 解 ＝4ab0＝4a；解 反思与感悟原式解析答案一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.解析答案解 原式＝解析答案解 解析答案类型三 运用指数幂运算公式解方程例3 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值.解析答案解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，方法二 因为ab＝ba，b＝9a，所以a9a＝(9a)a，反思与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的.解析答案返回123达标检测 45答案1.化简 的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8B12345答案D12345答案C12345答案D123455.计算 的结果是( )
A.32 B.16 C.64 D.128答案B1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
2.根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.返回课件24张PPT。2．1.1 指数与指数幂的运
算(一)第二章 2.1 指数函数1.理解n次方根、n次根式的概念；
2.正确运用根式运算性质化简、求值；
3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 n次方根，n次根式思考 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？答案一般地，有：(1)a的n次方根定义
如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.xn＝a(2)a的n次方根的表示答案(3)根式
式子 叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数.根指数知识点二 根式的性质答案答案0aa-a返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 根式的意义解析答案反思与感悟解析答案∴a－1≥0，
∴a≥1.类型二 利用根式的性质化简或求值例2 化简：解析答案解析答案解 由题意知a－1≥0，
即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.反思与感悟解析答案跟踪训练2 求下列各式的值：解析答案类型三 有限制条件的根式的化简解析答案∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，反思与感悟解析答案跟踪训练3 例3中，若将“－3∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.返回123达标检测 45答案B12345答案C12345答案A12345答案B12345C答案返回3.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况.
