§2.2.1 对数与对数运算
第一课时
一．教学目标：
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系 .
2. 过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .
3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .
（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
二．重点与难点：
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
（2）难点：推导对数性质的
三．学法与教具：
（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现
（2）教具：投影仪
四．教学过程：
1．提出问题
思考：（P62思考题）中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？
即：在个式子中，分别等于多少？
象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.
1、对数的概念
一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作
叫做对数的底数，N叫做真数.
举例：如：，读作2是以4为底，16的对数.
，则，读作是以4为底2的对数.
提问：你们还能找到那些对数的例子
2、对数式与指数式的互化
在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制＞0，且≠1
（2）
指数式对数式
幂底数←→对数底数
指 数←→对数
幂 ←N→真数
说明：对数式可看作一记号，表示底为（＞0，且≠1），幂为N的指数工表示方程（＞0，且≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为（＞0，且≠1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算.
例题：
例1（P63例1）
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54=645 （2） （3）
（4） （5） （6）
注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明.
（让学生自己完成，教师巡视指导）
巩固练习：P64 练习 1、2
3．对数的性质：
提问：因为＞0，≠1时，
则 由１、0=1 ２、1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义，=？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （＞0，且≠1）
② ∵＞0，且≠1对任意的力，常记为.
恒等式：=N
4、两类对数
① 以10为底的对数称为常用对数，常记为.
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.
说明：在例1中，.
例2：求下列各式中x的值
（1） （2） （3） （4）
分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
所以
课堂练习：P64 练习3、4
补充练习：1. 将下列指数式与对数式互化，有的求出的值 .
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2．求且不等于1，N＞0）.
3．计算的值.
4．归纳小结：对数的定义
＞0且≠1）
1的对数是零，负数和零没有对数
对数的性质 ＞0且≠1
作业：P74 习题 2.2 A组 1、2
P75 B组 1
课时提升作业(十八)
对 数
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2018·周口高一检测)已知lob=c,则有 ( )
A.a2b=c B.a2c=b C.bc=2a D.c2a=b
【解析】选B.根据指数与对数的关系的转化,有(a2)c=b,即a2c=b.
2.(2018·广州高一检测)下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ( )
A.e0=1与ln1=0
B.log8=-与=
C.log39=2与=3
D.log88=1与81=8
【解析】选C.由指数与对数的互化关系:ax=N?x=logaN可知A,B,D都正确,C中log39=2?32=9,所以C项错误.
3.(2018·玉林高一检测)已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值为 ( )
A.x B.y C.1 D.0
【解析】选D.由于x2+y2-4x-2y+5=0可得(x-2)2+(y-1)2=0,则x=2,y=1.故logx(yx)=log2(12)=0.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.若log2[lg(lnx)]=0,则x= .
【解题指南】借助loga1=0求解.
【解析】因为log2[lg(lnx)]=0.
所以lg(lnx)=20=1,所以10=lnx,所以e10=x.
答案:e10
【延伸探究】若将“log2[lg(lnx)]=0”改为“log2[lg(lnx)]=1”,则x=
.
【解析】因为log2[lg(lnx)]=1,所以lg(lnx)=21=2.所以lnx=102=100,所以x=e100.
答案:e100
【补偿训练】有以下四个结论:
①lg(lg10)=0;
②lg(lne)=0;
③若e=lnx,则x=e2;
④ln(lg1)=0.
其中正确的是 ( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④
【解析】选A.可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化,对各结论进行判断.由于1的对数等于0,底数的对数等于1,所以可判断①②均正确;③中应得到x=ee,故③错误;④中由于lg1=0,而0没有对数,所以此式不成立.综上可知,正确的结论是①②.
【拓展延伸】巧用对数的基本性质解题
解形如loga(logbf(x))=0或loga(logbf(x))=1的方程时,常常利用对数的基本性质由外向内逐层求解即充分利用1的对数是0,或底的对数是1逐步脱去对数符号,从而建立关于x的方程,求出x的值后,注意检验是否是增解.
5.(2018·烟台高一检测)计算+= .
【解题指南】利用对数恒等式以及指数幂的有关运算性质计算.
【解析】+=23×+=8×3+=25.
答案:25
【补偿训练】计算:+8log71-3log33= .
【解析】原式=25+0-3=22.
答案:22
【拓展延伸】求解形如“”(a>0,a≠1)型题目的一般步骤
(1)借助指数幂的运算,使其变形为=·a±m.
(2)借助对数恒等式=N及指数幂的运算求值.
三、解答题
6.(10分)(2018·昆明高一检测)设loga2=m,loga3=n,求a3m+2n的值.
【解题指南】将loga2=m,loga3=n表示成指数式,然后结合幂的运算性质进行运算.
【解析】因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以a3m+2n=(am)3×(an)2=23×32=8×9=72.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·南充高一检测)使log(3a-1)(4-a)有意义的a的取值是 ( )
A.
C.a<4 D.a>
【解析】选B.由对数的定义可知解得【误区警示】本题在求解中易因漏掉底数的限制条件而导致错解.
【补偿训练】(2018·三亚高一检测)若对数式log(x-1)(4x-5)有意义,则x的取值范围是 ( )
A.≤x<2 B.C.2≤x≤3 D.2
【解析】选D.由对数的定义可知解得2.
2.已知f(3x)=log2,则f(1)的值为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.
【解题指南】由f(3x)=log2可先求得函数f(x)的解析式,然后求解.
【解析】选D.由f(3x)=log2,得f(x)=
log2,f(1)=log2=.
【补偿训练】如果f(ex)=x,则f(e)= ( )
A.1 B.e C.2e D.e2
【解析】选A.令ex=t,则x=lnt,所以f(t)=lnt.
故f(e)=lne=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·延安高一检测)若x>0,x2=,则= .
【解析】由x>0,x2=,可知x=,所以==.
答案:
【延伸探究】若本题条件不变,如何求“log3”的值呢?
【解析】由x>0,x2=,可知x=,
所以log3=log3=log31=0.
4.化简:lo(+)= .
【解析】设lo(+)=x,则(-)x=+,又因为+=,所以x=-1.
答案:-1
三、解答题
5.(10分)设M={0,1},N={lga,2a,a,11-a},是否存在a的值,使M∩N={1}?
【解析】不存在a的值,使M∩N={1}成立.
若lga=1,则a=10,此时11-a=1,从而11-a=lga=1,与集合元素的互异性矛盾;
若2a=1,则a=0,此时lga无意义;
若a=1,此时lga=0,
从而M∩N={0,1},与条件不符;
若11-a=1,则a=10,从而lga=1,与集合元素的互异性矛盾.
课件25张PPT。2.2.1 对数与对数运算 （第1课时）请大家计算4538×28374的值？结果1 2876 1212相信如果没有计算器，没有接受过快速计算训练
的人要计算这道题，都要花费不少时间，还不一
能够算对，在没有计算器16世纪到17世纪，天文
学家，航海学家，工程学家每天都要面对无数这样
大的数，那么有没有什么办法简化这样的运算呢？这就是对数发明的原因二、对数的由来早在公元前200年，古希腊著名数学家阿基米德就注意到
下面这两组数据之间的联系1, 10, 102, 103, 104, 105, 106，107……0，1， 2， 3， 4， 5， 6， 7……用今天的语言来说，这两组数之间存在一一对应关系并且第一列数的乘法或除法对应第二列数的加法或减法如102× 105=107，对应下列的数2+5=7通过这样子的对应，可以把繁琐的乘除运算转化成简单
的加减运算二、知识探究思考1: 24＝
2－2＝ 164－2苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程，
为简化运算发明了对数满足2x＝3的x的值，用log23表示，即x＝log 2 3，
并叫做“以2为底3的对数”.若2x＝3， 则x＝log23log216log48二、知识探究三、概念讲解logN＝xa三、概念讲解三、概念讲解名称式子三、概念讲解若存在log a(-2)=x,则 a x= － 2若存在log a0=x,则 a x=0 当a>0，且a≠1时,恒有a x > 0负数与零没有对数 四、例题分析例1 将下列指数式写成对数式： 练习1 将下列指数式写成对数式： （1） （4） （3） （2） （1）常用对数： 10为底的对数简记作：lgN。 例如： （2）自然对数： 无理数e (=2.71828……)为底的对数简记作：lnN。 3.两个重要对数:三、讲授新课例2 将下列对数式写成指数式： 四、例题分析练习 （1） （4） （3） （2） 2 将下列对数式写成指数式： 五、练习巩固例3 求下列各式中x的值：求真数求底数求对数 四、例题分析性质探究000即：1的对数是0性质探究即：底数的对数是1111性质探究42.3-5三、知识讲解=10练习3 计算： 五、练习巩固六、性质探究1、负数与零没有对数（真数N大于0）即：1的对数是0即：底数的对数是1(2)五、练习巩固(1)(2)(4)五、练习巩固4、若 log 5[log3(log2 x)]=0，x =_______五、练习巩固即：1的对数是01、（作业本）P74 习题2.2 A组 1、2作业2、《练习册》第一课时 对数课题：§2.2.1对数
教学目的：（1）理解对数的概念；
（2）能够说明对数与指数的关系；
（3）掌握对数式与指数式的相互转化．
教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化
教学难点：对数概念的理解．
教学过程：
引入课题
（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；
设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．
尝试解决本小节开始提出的问题．
新课教学
1．对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作：
— 底数，— 真数，— 对数式
说明： 注意底数的限制，且；
；
注意对数的书写格式．
思考： 为什么对数的定义中要求底数，且；
是否是所有的实数都有对数呢？
设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．
两个重要对数：
常用对数（common logarithm）：以10为底的对数；
自然对数（natural logarithm）：以无理数为底的对数的对数．
对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
例1．（教材P73例1）
巩固练习：（教材P74练习1、2）
设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．
说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．
对数的性质
（学生活动）
阅读教材P73例2，指出其中求的依据；
独立思考完成教材P74练习3、4，指出其中蕴含的结论
对数的性质
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零：；
（3）底数的对数是1：；
（4）对数恒等式：；
（5）．
归纳小结，强化思想
引入对数的必要性；
指数与对数的关系；
对数的基本性质．
作业布置
教材P86习题2．2（A组） 第1、2题，（B组） 第1题．
课件27张PPT。第1课时 对 数第二章 2.2.1 对数与对数运算1.了解对数的概念；
2.会进行对数式与指数式的互化；
3.会求简单的对数值.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 对数的概念答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.答案对数的概念：
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作
，其中a叫做 ，N叫做 .
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做 ，以e为底的对数称为 ，log10N可简记为 ，logeN简记为 .答案以a为底N的对数对数的底数真数常用对数自然对数lg Nln Nx＝logaN知识点二 对数与指数的关系思考 loga1等于？答案答案 因为是一个新符号，所以loga1一时难以理解，
但若设loga1＝t，化为指数式at＝1，
则不难求得t＝0，即loga1＝0.答案一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝ .
对数恒等式：alogaN＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1).
对数的性质：
(1)1的对数为 ；
(2)底的对数为 ；
(3)零和负数 .xNx零1没有对数返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 对数的概念例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A.b<2或b>5 B.2C.40，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.解析答案解得0所以x＝－2.要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.解析答案跟踪训练2 计算：(1)log927；类型三 应用对数的基本性质求值例3 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；解析答案(2)log3(lg x)＝1；解 ∵log2(log5x)＝0.
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.解 ∵log3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.解析答案∴x＝1.解 反思与感悟本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.解析答案跟踪训练3 (1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6解析 ∵log2(log3x)＝0，
∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.
∴x＋y＋z＝9.A解析答案返回(2)求 的值(a，b，c∈R＋且不等于1，N＞0).解 123达标检测 45答案1.logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是( )
A.ab＝N B.ba＝N
C.aN＝b D.bN＝aB123452.若logax＝1，则( )
A.x＝1 B.a＝1
C.x＝a D.x＝10答案C123453.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.e0＝1与ln 1＝0答案D.log77＝1与71＝7C123454.已知logx16＝2，则x等于( )
A.±4 B.4 C.256 D.2答案B123455.设10lg x＝100，则x的值等于( )
A.10 B.0.01
C.100 D.1 000答案C1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.返回3.指数式与对数式的互化