第二课时
一．教学目标：
1．知识与技能
①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题.
③培养学生分析、综合解决问题的能力.
培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2. 过程与方法
①让学生经历并推理出对数的运算性质.
②让学生归纳整理本节所学的知识.
3. 情感、态度、和价值观
让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.
二．教学重点、难点
重点：对数运算的性质与对数知识的应用
难点：正确使用对数的运算性质
三．学法和教学用具
学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
教学用具：投影仪
四．教学过程
1．设置情境
复习：对数的定义及对数恒等式
（＞0，且≠1，N＞0），
指数的运算性质.
2．讲授新课
探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？
如：于是 由对数的定义得到
即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
（让学生探究，讨论）
如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）
（2）
（3）
证明：
（1）令
则：
又由
即：
（3）
即
当=0时，显然成立.
提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定＞0，且≠1，M＞0，N＞0？
你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？
例题：1. 判断下列式子是否正确，＞0且≠1，＞0且≠1，＞0，＞，则有
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
例2：用，，表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.
（1） （2） （3） （4）
分析：利用对数运算性质直接计算：
（1）
（2）
=
（3）
（4）
点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.
让学生完成P68练习的第1，2，3题
提出问题：
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
＞0，且≠1，＞0，且≠1，＞0
先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.
设
且
即：
所以：
小结：以上这个式子换底公式，换的底C只要满足C＞0且C≠1就行了，除此之外，对C再也没有什么特定的要求.
提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？
说明：我们使用的计算器中，“”通常是常用对数. 因此，要使用计算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数. 如：
即计算的值的按键顺序为：“”→“3”→“÷”→“”→“２” →“=”
再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算
所以
=
练习：P68 练习4
让学生自己阅读思考P66~P67的例5，例6的题目，教师点拨.
3、归纳小结
（1）学习归纳本节
（2）你认为学习对数有什么意义？大家议论.
4、作业
（1）书面作业：Ｐ74 习题２.２ 第3、4题 P75 第11、12题
2、思考：（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？
（2）
课时提升作业(十九)
对数的运算
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2018·黄山高一检测)log153-log62+log155-log63等于 ( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
【解析】选B.log153-log62+log155-log63
=(log153+log155)-(log62+log63)
=log15(3×5)-log6(2×3)=log1515-log66=0.
【补偿训练】(2018·杭州高一检测)计算lg5×lg20+= .
【解析】原式=lg5×(2lg2+lg5)+
=+2lg2×lg5+=(lg5+lg2)2==1.
答案:1
2.(2018·郑州高一检测)已知log89=a,log25=b,则lg3等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为log89=a,所以=a,=a,
所以=a,
所以log23=a,lg3===.
3.已知2x=72y=A,且+=2,则A的值是 ( )
A.7 B.7 C.±7 D.98
【解题指南】由2x=72y=A,利用指数式与对数式的互化,将x,y表示出来,代入+=2中求得A的值.
【解析】选B.由2x=72y=A可得,x=log2A,y=log7A,所以+=+
=logA2+2logA7=logA(2×72)=logA98=2,所以A2=98,
所以A=7,故选B.
【补偿训练】已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为 ( )
A. B.- C.60 D.-60
【解析】选C.由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,而logmx=,logmy=,所以logmz=--=,故logzm=60.
【拓展延伸】换底公式的记忆口诀
换底公式真神奇,换成新底可任意,
原底加底变分母,真数加底变分子.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(log32+log92)·(log43+log83)= .
【解析】(log32+log92)·(log43+log83)
=(log32+lo2)·(lo3+lo3)
=·
=log32×=×·log32·log23
=×=.
答案:
【一题多解】(log32+log92)·(log43+log83)
=·
=·
=×=.
答案:
【拓展延伸】利用换底公式化简与求值的思路
5.(2018·泉州高一检测)已知a=log32,则log316+log324= .(用a表示)
【解析】log316+log324=log324+log3(23×3)
=4log32+(3log32+log33)=5log32+log33
=5a+.
答案:5a+
【补偿训练】已知ln2=m,ln3=n,则log246= .(用m,n表示)
【解析】log246===.
答案:
三、解答题
6.(10分)一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价格降低8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)
【解析】设经过x年,这台机器的价值为8万元,则
8=20(1-0.0875)x,即0.9125x=0.4,
两边取以10为底的对数,
得x===≈10(年),
所以约经过10年这台机器的价值为8万元.
【补偿训练】某化工厂生产化工产品,今年生产成本为50元/桶,现使生产成本平均每年降低28%,那么几年后每桶的生产成本为20元(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,精确到1年)?
【解题指南】设x年后每桶的生产成本为20元,由题意列出关于x,50,28%,20之间的关系式,解出x.
【解析】设x年后每桶的生产成本为20元.
1年后每桶的生产成本为50×(1-28%),
2年后每桶的生产成本为50×(1-28%)2,
x年后每桶的生产成本为50×(1-28%)x=20.
所以,0.72x=0.4,等号两边取常用对数,得
xlg0.72=lg0.4.
故x===
=
≈
=≈3(年).
所以,约3年后每桶的生产成本为20元.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·常德高一检测)已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),logMb=x,则logMa的值为
( )
A. B.1+x C.1-x D.x-1
【解析】选C.logMa=logM=logMM-logMb=1-x,故选C.
【补偿训练】(2018·保定高一检测)已知x,y为正实数,则 ( )
A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx·2lgy
C.2lgx·lgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx·2lgy
【解析】选D.由指数与对数的运算性质可得
2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故A错.
2lgx·2lgy=2(lgx+lgy)=2lgxy,故B错.
2lgx·lgy=(2lgx)lgy,故C错.
2.(2018·蚌埠高一检测)若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值等于 ( )
A.2 B. C.4 D.
【解析】选A.由根与系数的关系可知lga+lgb=2,
lgalgb=,于是=(lga-lgb)2
=(lga+lgb)2-4lgalgb=22-4×=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.若log34·log48·log8m=log416,则m= .
【解析】由已知得log34·log48·log8m
=··=log3m,而log416=2,
所以log3m=2,m=9.
答案:9
【补偿训练】如果log23·log34·log45·…·log2016M=log525,试求M的值.
【解题指南】利用换底公式将底数转化为相同的,然后约分化简,最后将对数式转化为指数式求解.
【解析】因为log23·log34·log45·…·log2016M
=···…·=,而log525=2,所以=2,即log2M=2,所以M=22=4.
【拓展延伸】利用换底公式化简求值时应注意的问题
(1)针对具体问题,选择恰当的底数.
(2)注意换底公式与对数运算法则结合使用.
(3)换底公式的正用与逆用.
(4)恰当应用换底公式的两个常用结论.
4.已知lgx+lgy=2lg(2x-3y),则lo的值为 .
【解析】依题意可得:lg(xy)=lg(2x-3y)2,
即xy=(2x-3y)2,
整理得:4-13+9=0,
解得:=1或=,
因为x>0,y>0,2x-3y>0,
所以=,所以lo=2.
答案:2
三、解答题
5.(10分)(1)求(log23+log89)(log34+log98+log32)+(lg2)2+lg20×lg5的值.
(2)若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2,求log2+log2的值.
【解析】(1)原式=log23+log232log32+log32+log32+(lg2)2+
(1+lg2)lg5=log23·log32+(lg2)2+lg2·lg5+lg5=+lg2(lg5+lg2)
+lg5=+lg2+lg5=+1=.
(2)因为a2+b2=c2,所以log2+
log2=log2
=log2
=log2=log2=1.
课件24张PPT。2.2.1 对数与对数运算 （第2课时）一、复习回顾一、复习回顾5、对数的性质一、复习回顾√××√××3、若 log 5[log3(log2 x)]=0，x =_______二、知识探究求值：二、知识探究二、知识探究求值：二、知识探究二、知识探究求值：二、知识探究三、知识讲解四、例题讲解四、例题讲解三、知识讲解注意：
(1)性质成立的条件(2)熟悉对数的运算性质的变形五、练习巩固二、新课讲解新课讲解练习：三、练习巩固二、新课讲解即：1的对数是01、（作业本）P74 习题2.2 A组 3、5作业2、《练习册》对数第2课时课题：§2.2.1对数的运算性质
教学目的：（1）理解对数的运算性质；
（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．
教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数
教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．
教学过程：
引入课题
对数的定义：；
对数恒等式：；
新课教学
1．对数的运算性质
提出问题：
根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：
设，，求；
设，，试利用、表示·．
（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）
运算性质：
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）
学生活动：
阅读教材Ｐ75例3、4，；
设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．
完成教材Ｐ79练习1~3
设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．
利用科学计算器求常用对数和自然对数的值
设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．
思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解的值？从而引入换底公式．
换底公式
（，且；，且；）．
学生活动
根据对数的定义推导对数的换底公式．
设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．
思考完成教材P76问题（即本小节开始提出的问题）；
利用换底公式推导下面的结论
（1）；
（2）．
设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．
说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．
课堂练习
教材Ｐ79练习4
已知
试求：的值。（对换5与2，再试一试）
设,，试用、表示
归纳小结，强化思想
本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法．
作业布置
基础题：教材P86习题2．2（A组） 第3 ~5、11题；
提高题：
设,，试用、表示；
设,，试用、表示；
设、、为正数，且，求证：．
课外思考题：
设正整数、、（≤≤）和实数、、、满足：
，，
求、、的值．
课件25张PPT。第2课时 对数的运算第二章 2.2.1 对数与对数运算1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件；2.掌握换底公式及其推论；
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 对数运算性质思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法类来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案答案 有.例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，
∴MN＝am·an＝am＋n，
∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.
得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算.一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝ ；
(2)Loga ＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R).答案logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM知识点二 换底公式答案返回1答案题型探究 重点难点 个个击破类型一 积商幂的对数运算解析答案反思与感悟使用公式要注意成立条件，log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的.log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的.要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.解析答案类型二 换底公式解析答案解析答案(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.反思与感悟解析答案反思与感悟解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，反思与感悟方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.解析答案跟踪训练2 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.又∵log37＝b，类型三 化简求值例3 已知logax＝logac＋b，求x.解析答案解 方法一 由对数定义可知：方法二 由已知移项可得：logax－logac＝b，方法三 ∵b＝logaab，
∴logax＝logac＋logaab＝loga(c·ab)，∴x＝c·ab.反思与感悟a＞0且a≠1，N＞0时，恒有alogaN＝N.解析答案跟踪训练3 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y＝10lg .这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12w/m2，当I＝I0时，y＝0，即dB＝0.
(1)如果I＝1 w/m2，求相应的分贝值；解 ∵I＝1 w/m2，＝10×12lg 10＝120(dB).答 I＝1 w/m2时，相应的分贝值为120 dB；解析答案返回(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？答 70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的10倍.123达标检测 45答案A123452.log35－log345等于( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2答案D12345答案D12345答案B12345答案D1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).返回. . . . . . . .第2课时 对数的运算
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝____________________；
(2)loga＝____________________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)．
2．对数换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A．logax·logay＝loga(x＋y)
B．(logax)n＝nlogax
C.＝loga
D.＝logax－logay
2．计算：log916·log881的值为( )
A．18B.C.D.
3．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9B.C．25D.
4．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A等于( )
A．15B.
C．±D．225
5．已知log89＝a，log25＝b，则lg3等于( )
A.B.
C.D.
6．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于( )
A．2B.C．4D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．2log510＋log50.25＋(－)÷＝_____________________________________.
8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
三、解答题
10．(1)计算：lg－lg＋lg12.5－log89·log34；
(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．
11．若a、b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组号
一
二
三
四
五
六
七
x
0.30103
0.47711
0.69897
0.77815
0.90309
1.00000
1.07918
10x
2
3
5
6
8
10
12
假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( )
A．二B．四
C．五D．七
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
1．在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.
loga＝.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)．
2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：
logab＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．
由对数换底公式又可得到两个重要结论：
(1)logab·logba＝1；
(2)＝logab.
3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．
第2课时 对数的运算
知识梳理
1．(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN (3)nlogaM 2.1
作业设计
1．C
2．C [log916·log881＝·＝·＝.]
3．D [由换底公式，得··＝2，
lgx＝－2lg5，x＝5－2＝.]
4．B [∵3a＝5b＝A>0，
∴a＝log3A，b＝log5A.
由＋＝logA3＋logA5＝logA15＝2，
得A2＝15，A＝.]
5．C [∵log89＝a，∴＝a.
∴log23＝a.
lg3＝＝＝.]
6．A [由根与系数的关系可知lga＋lgb＝2，
lgalgb＝.
于是(lg)2＝(lga－lgb)2
＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝22－4×＝2.]
7.－3
解析 原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)
＝2log5(10×0.5)＋
＝2＋－5＝－3.
8．1
解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10)
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2
＝lg5＋lg2＝1.
9．1000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，
则8－6＝(lgE2－lgE1)，即lg＝3.
∴＝103＝1000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．
10．解 (1)方法一 lg－lg＋lg12.5－log89·log34
＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.
方法二 lg－lg＋lg12.5－log89·log34
＝lg－lg＋lg－·
＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－·
＝(lg2＋lg5)－＝1－＝－.
(2)方法一 由3a＝4b＝36得：a＝log336，b＝log436，
所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
方法二 因为3a＝4b＝36，所以＝3,＝4，
所以()2·＝32×4，
即＝36，故＋＝1.
11．解 原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.
设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a、b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lga，t2＝lgb，
即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lga＋lgb)·(＋)
＝(lga＋lgb)·
＝(lga＋lgb)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
12．A [由指数式与对数式的互化可知，
10x＝N?x＝lgN，
将已知表格转化为下表：
组号
一
二
三
四
五
六
七
N
2
3
5
6
8
10
12
lgN
0.30103
0.47711
0.69897
0.77815
0.90309
1.00000
1.07918
∵lg2＋lg5＝0.30103＋0.69897＝1，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg8＝3lg2＝3×0.30103＝0.90309，
∴第五组对应值正确．
∵lg12＝lg2＋lg6＝0.30103＋0.77815＝1.07918，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．]
13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得＝0.75x，即x＝
＝＝
＝≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
