§2.2.2 对数函数及其性质（第一、二课时）
一．教学目标
1．知识技能
①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.
2．过程与方法
让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.
3．情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；
②培养学生严谨的科学态度.
二．学法与教学用具
1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；
2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．
三．教学重点、难点
1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.
2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
四．教学过程
1．设置情境
在2．2．1的例6中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应．同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数．
2．探索新知
一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．
（2）．为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.
答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．
②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，＞0，所以．
例题1：求下列函数的定义域
（1） （2） （＞0且≠1）
分析：由对数函数的定义知：＞0；＞0，解出不等式就可求出定义域．
解：（1）因为＞0，即≠0，所以函数的定义域为.
（2）因为＞0，即＜4，所以函数的定义域为＜.
下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：
先完成P81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用电脑软件画出
1
2
4
6
8
12
16
－1
0
1
2
2.58
3
3.58
4
y
０ x
注意到：，若点的图象上，则点的图象上. 由于（）与（）关于轴对称，因此，的图象与的图象关于轴对称 . 所以，由此我们可以画出的图象 .
先由学生自己画出的图象，再由电脑软件画出与的图象.
探究：选取底数＞0，且≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？
.作法：用多媒体再画出，，和
提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？
先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影)
图象的特征
函数的性质
（1）图象都在轴的右边
（1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过（1，0）点
（2）1的对数是0
（3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降 .
（3）当＞1时，是增函数，当
0＜＜1时，是减函数.
（4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .
（4）当＞1时
＞1，则＞0
0＜＜1，＜0
当0＜＜1时
＞1，则＜0
0＜＜1，＜0
由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：
＞1
0＜＜1
图
象
性
质
（1）定义域（0，+∞）；
（2）值域R；
（3）过点（1，0），即当=1，=0；
（4）在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）是上减函数
例题训练：
1. 比较下列各组数中的两个值大小
（1）
（2）
（3） （＞0，且≠1）
分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：
（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：
所以，
解法2：由函数+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以.
解法3：直接用计算器计算得：，
（2）第（2）小题类似
（3）注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当＞1时，在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.
所以，
当1时，在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.
所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，
令 令 则
当＞1时，在R上是增函数，且5.1＜5.9
所以，＜，即＜
当0＜＜1时，在R上是减函数，且5.1＞5.9
所以，＜，即＞
说明：先画图象，由数形结合方法解答
课堂练习：Ｐ73 练习 第２，３题
补充练习
1．已知函数的定义域为[-1，1]，则函数的定义域为
2．求函数的值域.
3．已知＜＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1
4．已知0＜＜1, b＞1, ab＞1. 比较
归纳小结：
对数函数的概念必要性与重要性;
②对数函数的性质，列表展现.
课时提升作业(二十)
对数函数的图象及性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.给出下列函数:
(1)y=log2(x-1). (2)y=logx2x.
(3)y=log(e+1)x. (4)y=4log33x.
(5)y=log(3+π)x. (6)y=lg5x.
(7)y=lgx+1.
其中是对数函数的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由对数函数的概念可知(1)(2)(4)(6)(7)都不符合对数函数形式的特点,只有(3)(5)符合.
2.已知对数函数f(x)过点(2,4),则f()的值为 ( )
A.-1 B.1 C. D.
【解析】选B.设f(x)=logax,
由f(x)过点(2,4),则loga2=4,
即a4=2,解得a=,
所以f(x)=lox,
所以f()=lo=1.
【延伸探究】若某对数函数的图象过点(4,2),则此时该对数函数的解析式为 .
【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=logax,则loga4=2,解得a=2.故所求解析式为y=log2x.
答案:y=log2x
3.函数f(x)=loga(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点 ( )
A.(1,-1) B.(1,0)
C.(-1,1) D.(0,1)
【解析】选C.当x+2=1时,f(x)=loga(x+2)+1=loga1+1=1,即x=-1时,f(-1)=1,故函数恒过定点(-1,1).
4.(2018·大庆高一检测)函数y=的定义域是 ( )
A.(-∞,1] B.(0,1]
C.[-1,0) D.(-1,0]
【解析】选B.要使函数有意义,必须lo(2x-1)≥0,则0<2x-1≤1,即1<2x≤2,解得0
【误区警示】本题在求解时易忽略2x-1>0,仅仅考虑2x-1≤1求解,从而造成失误错选A.
5.(2018·阜阳高一检测)如图所示,曲线是对数函数f(x)=logax的图象,已知a取,,,,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为 ( )
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
【解题指南】首先按照底数大于1和底数大于0小于1分类,然后再比较与y轴的远近程度.
【解析】选A.先排C1,C2底的顺序,底都大于1,
当x>1时图低的底大,C1,C2对应的a分别为,.然后考虑C3,C4底的顺序,底都小于1,
当x<1时底大的图高,C3,C4对应的a分别为,.
综合以上分析,可得C1,C2,C3,C4的a值依次为,,,.故选A.
【一题多解】选A.作直线y=1与四条曲线交于四点,如图:
由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,
所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为,,,,故选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·合肥高一检测)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= .
【解析】由题意知f(x)=logax,又f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,f(x)=log2x.
答案:log2x
7.(2018·滁州高一检测)若对数函数f(x)=logax+(a2-4a-5),则a= .
【解析】由对数函数的定义可知,解得a=5.
答案:5
【误区警示】本题易忽略底数a>0,且a≠1,解得a=-1或a=5.
【补偿训练】函数y=(a2-4a+4)logax是对数函数,则a= .
【解析】由对数函数的定义可知解得a=3.
答案:3
8.已知集合A={x|y=log2(x-1)},B={y|y=2x+1,x∈A},则A∩B= .
【解析】由题知x-1>0,解得x>1,
所以y=2x+1>2+1=3,所以A∩B=(3,+∞).
答案:(3,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数y=loga(x+3)-(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,求b的值.
【解析】当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>0,且a≠1都有y=loga1-=0-=-,所以函数y=loga(x+3)-的图象恒过定点A,
若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,
则-=3-2+b,所以b=-1.
10.已知函数f(x)=log2.
(1)求证:f(x1)+f(x2)=f.
(2)若f=1,f(-b)=,求f(a)的值.
【解题指南】(1)利用对数的运算法则分别化简左边和右边即可证明.
(2)利用(1)的结论即可得出.
【解析】(1)左边=f(x1)+f(x2)=log2+
log2=log2
=log2.
右边=log2=log2.
所以左边=右边.
(2)因为f(-b)=log2=-log2=,
所以f(b)=-,
利用(1)可知:f(a)+f(b)=f,
所以-+f(a)=1,解得f(a)=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.函数f(x)=的定义域是 ( )
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)
【解题指南】本题函数的定义域有两方面的要求:分母不为零,真数大于零,据此列不等式组即可获解.
【解析】选C.解不等式组可得x>-1,且x≠1,故定义域为(-1,1)∪(1,+∞).
2.已知a>0且a≠1,则函数y=logax和y=(1-a)x在同一直角坐标系中的图象可能是下列图象中的 ( )
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(3)(4) D.(1)(2)(3)
【解析】选B.当00,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数.函数y=(1-a)x在R上是增函数.图(3)符合此要求.
当a>1时,1-a<0,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数.函数y=(1-a)x在R上是减函数.图(2)符合此要求.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·烟台高一检测)若函数y=loga+3的图象恒过定点P,则P点坐标为 .
【解析】因为y=logat的图象恒过(1,0),
所以令=1,得x=-2,此时y=3,
所以该函数过定点(-2,3).
答案:(-2,3)
【延伸探究】若将函数改为“y=loga+3”,又如何求定点P的坐标?
【解析】因为y=logat的图象恒过(1,0),
所以令=1,得x=2,此时y=3,
所以该函数过定点(2,3).
4.函数f(x)=log2(1+4x)-x,若f(a)=b,则f(-a)= .
【解析】因为f(a)=log2(1+4a)-a=b,
所以log2(1+4a)=a+b,
所以f(-a)=log2(1+4-a)+a
=log2+a=log2(1+4a)-log222a+a=a+b-2a+a=b.
答案:b
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.若函数y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1,0).
(1)求a的值.
(2)求函数的定义域.
【解题指南】(1)将(-1,0)代入y=loga(x+a)中,直接求出a的值.
(2)确定出函数的解析式,根据真数大于0,求出x的取值范围.
【解析】(1)将(-1,0)代入y=loga(x+a)(a>0,a≠1)中,有0=loga(-1+a),则-1+a=1,所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2),x+2>0,解得x>-2,
所以函数的定义域为{x|x>-2}.
6.已知f(x)=|log3x|.
(1)画出函数f(x)的图象.
(2)讨论关于x的方程|log3x|=a(a∈R)的解的个数.
【解题指南】(1)根据对数函数的图象和性质,画出函数f(x)的图象.
(2)设函数y=|log3x|和y=a,根据图象之间的关系判断方程解的个数.
【解析】(1)函数f(x)=对应的函数f(x)的图象为:
(2)设函数y=|log3x|和y=a.
当a<0时,两图象无交点,原方程解的个数为0个.
当a=0时,两图象只有1个交点,原方程只有1解.
当a>0时,两图象有2个交点,原方程有2解.
【补偿训练】已知f(x)=x+lg.
(1)求定义域.
(2)求f(x)+f(2-x)的值.
(3)猜想f(x)的图象具有怎样的对称性,并证明.
【解析】(1)由题意得,>0,解得0所以函数f(x)的定义域为(0,2).
(2)因为f(x)=x+lg,
所以f(x)+f(2-x)=x+lg+2-x+lg=2+lg·=2.
(3)关于点P(1,1)对称.
证明:设Q(x,y)为函数图象上的任一点,
若Q点关于点P的对称点为Q1(x1,y1),
则即
所以f(x1)=x1+lg=2-x+lg=2-x-lg=2-y=y1,
函数y=f(x)的图象关于点P(1,1)对称.
课件23张PPT。2.2.2 对数函数及其性质 （第1课时）课前复习：课前复习：指数函数及其性质实例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个… …依此类推，写出1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关系式。一、新课讲解
实例2 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”
求剩余长度y与所剪次数x之间的关系式.该细胞分裂多少次可达到4096个？1、对数函数的定义一、新课讲解例1、求下列函数的定义域解:（2）由 得 ∴函数 的定义域是（1）由得 ∴函数 的定义域是二、例题讲解例1、求下列函数的定义域二、例题讲解二、例题讲解三、对数函数图象与性质在坐标系中画出下面两个函数的图象解：(1)列表如下-10123-11345678910xyO1223在坐标系中画出下面两个函数的图象解：(1)列表如下-11345678910xyO12-10123-10123观察下列四个函数的图象，能否总结出其图象特征？结论：底大图低（x>1部分）三、对数函数图象与性质a＞10＜a＜1当 x > 1 时，
当 0y > 0y < 0当 x > 1 时，
当0< x<1 时，y < 0 y>0 观察下列四个函数的图象，能否总结出其图象特征？例3 比较下列各组数中两个值的大小。四、例题分析解：同底对数值比较大小：利用对数函数的单调性比较例2 比较下列各组数中两个值的大小。四、例题分析同底对数值比较大小：若底数未确定，需分类讨论例2 比较下列各组数中两个值的大小。四、例题分析底数不同，真数不同对数值比较大小：借助中间量“0”3、比较对数值的大小——方法总结五、新课讲解六、练习巩固六、练习巩固例3、溶液酸碱度的测量。溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为
pH= - lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。(1)根据对数函数的性质及上述pH的计算公式，
说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度这间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH.六、例题讲解a＞10＜a＜1七、小结当 x > 1 时，
当 0y > 0y < 0当 x > 1 时，
当0< x<1 时，y < 0 y>0 作业课题：§2.2.2对数函数（一）
教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
教学重点：掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
教学过程：
引入课题
1．（知识方法准备）
学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．
对数的定义及其对底数的限制．
设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．
2．（引例）
教材P81引例
处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：
碳14的含量P
0.5
0.3
0.1
0.01
0.001
生物死亡年数t
然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进而引入对数函数的概念）
新课教学
（一）对数函数的概念
1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmic fun_ction）
其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
巩固练习：（教材P68例2、3）
（二）对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1）
（2）
（3）
（4）
类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征
函数性质
函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
（三）典型例题
例1．（教材P83例7）．
解：（略）
说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．
巩固练习：（教材P85练习2）．
例2．（教材P83例8）
解：（略）
说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．
注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．
巩固练习：（教材P85练习3）．
例2．（教材P83例9）
解：（略）
说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．
注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．
巩固练习：（教材P86习题2．2 A组第6题）．
归纳小结，强化思想
本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．
作业布置
必做题：教材P86习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
选做题：教材P86习题2．2（B组） 第5题．
课件31张PPT。2.2.2 对数函数及其性质(一)第二章 2.2 对数函数1.理解对数函数的概念；
2.掌握对数函数的性质；
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 对数函数的概念思考 已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案答案 由于y＝2x是增函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y.一般地，我们把 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .函数y＝logax(a>0，且a≠1)(0，＋∞)知识点二 对数函数的图象与性质思考 y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？答案答案 当a＞1时，若0＜x1＜x2，则
解指数不等式，得y1＜y2从而y＝logax在(0，＋∞)上为增函数.
当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为减函数.答案类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：(0，＋∞)R答案(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 对数函数的概念解 设y＝logax(a＞0且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，解析答案反思与感悟判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
①系数为1.
②底数为大于0且不等于1的常数.
③对数的真数仅有自变量x.解析答案跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；解 ∵真数不是自变量x，
∴不是对数函数；解 ∵对数式后减1，∴不是对数函数；解析答案(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；(4)y＝log5x.解 ∵底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数.解 为对数函数.类型二 对数函数的定义域例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(9－x2)；解析答案(2)y＝log2(16－4x).解 由9－x2>0，得－3∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－30，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.反思与感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.解析答案跟踪训练2 求下列函数的定义域：解析答案∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}.类型三 比较对数的大小例3 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；解析答案解 考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8＜2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.解析答案反思与感悟(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).解 当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.解析答案A类型四 对数函数的图象例4 画出函数y＝lg|x－1|的图象.解析答案反思与感悟解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).反思与感悟画图象一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点如本题x＝0,1,2三点.解析答案跟踪训练4 画出函数y＝|lg(x－1)|的图象.返回返回解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象如图.(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象如图：123达标检测 45答案1.下列函数为对数函数的是( )
A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D.y＝2logax(a＞0且a≠1)C123452.函数y＝log2(x－2)的定义域是( )
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(2，＋∞) D.[4，＋∞)答案C123453.已知函数f(x)＝log2x－2，则f(x)>0的解集是( )
A.(2，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(4，＋∞) D.R答案C123454.函数y＝lg |x|的图象是( )答案A123455.如图的四个对数函数的底数分别为a1，a2，a3，a4，则( )答案A.a1B.a1>a2>a3>a4
C.a3D.a40，且a≠1)中，底数a对其图象的影响.无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增.
2.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.返回3.两个函数图象的对称性
(1)(2)2．2.2 对数函数及其性质(一)
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
________
值域
________
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过点________，即loga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
对称性
函数y＝logax与y＝的图象关于____对称
3.反函数
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数．
一、选择题
1．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )
A．0B．1C．2D．3
4．函数f(x)＝|log3x|的图象是( )
5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝4xB．g(x)＝2x
C．g(x)＝9xD．g(x)＝3x
6．若loga<1，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，1) D．(0，)∪(1，＋∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是______________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
9．给出函数则f(log23)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
能力提升
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )
A．a4B．a3C．a2D．a313．若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．
当02．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．
2．2.2 对数函数及其性质(一)
知识梳理
1．函数y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) 2.(0，＋∞) R
(1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
3．y＝ax (a>0且a≠1)
作业设计
1．D [由题意得：解得x≥4.]
2．C [M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．]
3．B [α＋1＝2，故α＝1.]
4．A [y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．]
5．D [由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.]
6．D [由loga<1得：loga当a>1时，有a>，即a>1；
当0综上可知，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．]
7．(1,2)
解析 由题意，得或解得18．(4，－1)
解析 y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
9.
解析 ∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
＝f(log23＋3)＝f(log224)＝
＝.
10．解 (1)由x－2>0，得x>2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，
即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
11．解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当012．B [作x轴的平行线y＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a313.
解 由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝logm.
∴≤，即≤m.又0∴≤m<1，
即实数m的取值范围是[，1)．
