12.3.1 两数和乘以这两数的差 导学案（含答案）

12.3.1两数和乘以这两数的差 导学案
一、学习目标：１.记住平方差公式的语言表述与字母表示；
2.能用平方差公式进行整式乘法的运算；
3.能用图形面积解释平方差公式.
二 、自主学习
【情境导入】从前，有－个狡猾的庄园主，把－块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗?学习了本节课的知识，你将能轻松地解决．
知识点1 平方差公式
阅读教材第30页下面－31页上面的内容，回答下面的问题：
1.下面是（a+b）（a－b）＝a2－b2的推导过程，请写出每一步的依据：
解：（a+b）（a－b）＝a2－ab+ab－b2 （ 　　 ）
＝a2－b2 （ ）
2.平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2的特点：左边是两个 　　 式的积，其中一个因式是这两个数的 　　 ，另一因式是这两个数的 　　 ；右边是这两个数的 　　 .
3.观察教材图12.3.1，我们发现，原来长方形的长为 　　 ，宽为 　　 ，所以它的面积是 ，把其中蓝色长方形放在下面后，形成的六边形面积等于边长为 的正方形形面积减去边长为 的正方形面积.这就是平方差公式的几何意义.
【归纳总结】 　　　 与 　　 的积，等于这两数的平方差，这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为平方差公式.
【巩固练习】下图中图形的等面积变换用等式表示为：　　　　　　　　　．
知识点2 平方差公式的应用
阅读教材第31页的例1和第32页的例2、例3，回答下面的问题：
1.例1的第（3）小题（1+2c）（1－2c），与平方差公式的左边（a+b）（a－b）对照，相当于a的式子是 　　　 ，相当于b的式子是 　　 .
2.写出例1第（4）小题每一步变形的依据：
（-2x－y）（2x－y）
＝（－y－2x）（－y+2x）（ ）
＝（－y）2－（2x）2 （ ）
＝y2－4x2. （ ）
3.通过例2我们发现：对于具有特殊关系的两个数的乘法，可运用 　　　　 进行简便计算，计算的关键是将原式化为 　　　 的形式.
4.通过例3的解答，我们尝试解决情景导入中问题：
张老汉第二年租种的土地的长为 　　　米，宽为 　　 米，所以第二年租种的土地面积为 　　 平方米，即 　　 平方米，所以张老汉吃亏了 平方米.
【巩固练习】化简：（m+n）（m﹣n）+2n2=　　　　　　．
三、合作探究
合作探究一将下列左图剪切拼成右图，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　　　 （用式子表达）．
合作探究二 计算：
（1）（x+2y）（2x﹣y）
（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）
合作探究三 已知a、b、c是三个连续的正整数（a＜b＜c），以b为边长作正方形，分别以c、a为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？为什么？
【方法归纳总结】
1.应用平方差公式时，要首先找出题目中相当于a的式子，相当于b的式子，然后按公式写出结果；
2.公式中的a和b可以表示数、字母以及多项式等；
3.写平方差的结果时，某一项有系数时，注意系数也要平方；
4.应用平方差公式计算时，应仔细辨认题目是否符合公式的特点，不符合的看括号内的前后两项能否通过加法交换律进行变通.
课后演练
1．下列运算正确的是（　　）
A．（x+1）（x+1）=x2+1 B．（x﹣1）（x﹣1）=x2﹣1
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x+1）（x﹣1）=x2+1
2．已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（　　）
A．4 B．3 C．12 D．1
3．从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2=（a+b）2
4.化简：（2x+3y）（3y﹣2x）=　　 ．
5.若（x﹣ay）（x+ay）=x2﹣16y2，则a=　　 ．
6.计算：
（1）（xy+4）（xy﹣4）；
（2）x2﹣（x+2）（x﹣2）.
7.观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1
（1）根据前面各式的规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=　 　．（其中n为正整数）；
（2）根据（1）求1+2+22+23+…+22013+22015的值．
8.观察两个图形中阴影部分面积的关系．
（1）可以用这两个图形中阴影部分的面积解释的乘法公式是　 　．
（2）请你利用这个乘法公式完成下面的计算．
①100.3×99.7；②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
《12.3.1两数和乘以这两数的差》导学案参考答案
自主学习
知识点1
1.多项式乘以多项式法则　　合并同类项
2.一次二项　　和　　差　　平方差
3.（a+b）　　（a－b）　　（a+b）（a－b）　　a　　b
【归纳总结】两数和　　这两数差
【巩固练习】（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2　　解：左图的总面积为（a+b）（a﹣b），拼后所成右图的面积为a2﹣b2．所以等式为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
知识点2
1.1　　2c
2.加法的交换律　　平方差公式　　积的乘方
3.平方差公式　　两数和与这两数差的积
4.（a+5）　（a－5）　　（a+5）（a－5）　　（a2－25）　　25
【巩固练习】m2+n2　　解：原式=m2﹣n2+2n2=m2+n2．故答案为：m2+n2．
合作探究
合作探究一（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　　解：左图阴影部分的面积，即平行四边形面积为（a+b）（a﹣b），右图阴影部分的面积为a2﹣b2，所以乘法公式为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
合作探究二
解：（1）（x+2y）（2x﹣y）=2x2+3xy﹣2y2；
（2）（2a﹣3b）（﹣2a﹣3b）＝（﹣3b+2a）（﹣3b﹣2a）=（﹣3b）2﹣（2a）2=9b2﹣4a2．
合作探究三
解：以b为边长的正方形面积大．
∵a、b、c是三个连续的正整数（a＜b＜c），
∴a=b﹣1，c=b+1，
∴以c、a为长和宽作长方形的面积为ac=（b﹣1）（b+1）=b2﹣1，
∴b2﹣1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大．
课后演练
1.C　　解：A、原式=x2﹣1，错误；
B、原式=x2﹣2x+1，错误；
C、原式=x2﹣1，正确；
D、原式=x2﹣1，错误，
故选C.
2.C　　解：∵（a+b）（a﹣b）=12，∴a2﹣b2=12，故选C
3.A　　解：图1的面积为：（a+b）（a﹣b），图2的面积为：a2﹣（a﹣b+b）2=a2﹣b2，根据面积相等，可得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．故选：A．
4.9y2﹣4x2　　解：原式=（3y）2－（2x）2＝9y2﹣4x2，故答案为：9y2﹣4x2
5.±4　　解：∵（x﹣ay）（x+ay）=x2﹣（ay）2=x2﹣16y2，∴a2=16，∴a=±4．
6.解：（1）原式=x2y2﹣16；
（2）原式=x2﹣x2+4=4．
7.解：（1）根据各式的规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）=xn+1﹣1；
（2）根据各式的规律得：1+2+22+23+…+22013+22015=（2﹣1）（22015+22013+…+23+22+2+1）=22016﹣1．
8.解：（1）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
（2）①100.3×99.7=（100+0.3）×（100﹣0.3）=10000－0.09＝9999.91；
②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（28+1）（28﹣1）（216+1）（232+1）
=（216﹣1）（216+1）（232+1）
=（232﹣1）（232+1）
=264﹣1．