人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：34【基础】导数的应用一---函数的单调性（文）

导数的应用一---函数的单调性
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。
3. 会利用导数求函数的单调区间。
【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上为增函数；
②若，则在这个区间上为减函数；
③若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. 在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
要点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。
要点诠释：
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或。
要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间。
或者：
令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。
要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
例1、确定函数的单调区间.
【解析】。
令，得x＜0或x＞2，
∴当x＜0或x＞2时函数是增函数。
因此，函数的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。
令，得0＜x＜2。
∴函数在（0，2）上是减函数，其单调递减区间为（0，2）。
【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式或。
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
举一反三：
【变式1】 求下列函数的单调区间：
（1）；（2）；
【答案】（1），令，解得。
因此，当时，是增函数，其单调递增区间为。
再令6x－2＜0，解得。
因此，当时，是减函数，其单调递减区间为。
（2）。
令，得x＜－1或x＞1，
∴当x＜－1或x＞1时函数是增函数。
因此，函数的单调增区间为（－∞，－1）和（1，+∞）。
令，得－1＜x＜1。
∴函数在（―1，1）上是减函数，其单调递减区间为（―1，1）。
【变式2】
求下列函数的单调区间：
（1）；（2）；
【答案】
（1）函数的定义域为（0，+∞），
。
令，即， 结合x＞0，可解得；
令，即， 结合x＞0，可解得。
∴的单调递增区间为，单调递减区间为。
（2）。
∴0≤x≤2π，∴使的，，，
则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示：
x
0
…
…
π
…
…
+
0
－
0
－
0
+
(
(
(
(
所以函数（0≤x≤π）的单调递增区间为和，单调递减区间为。
例2. 求函数 （a∈R）的单调区间。
【思路点拨】求出导数后，因为含有的参数，所以要结合图像分析讨论。
【解析】
① 当a≥0时，y＇≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数。
② 当a＜0时，令3x2+a=0得，
∴y＇＞0的解集为。
y＇＜0的解集为。
∴函数的单调增区间是和，
减区间是。
综上可知：当a≥0时，函数在（－∞，+∞）上单调递增。
当a＜0时，函数在和上单调递增，在上单调递减。
【总结升华】
（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，往往要分类讨论。
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。
举一反三：
【变式】已知函数f(x)＝ex－ax－1，求f(x)的单调增区间。
【答案】　f′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，
若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.
∴当a≤0时，即f(x)递增区间是R；当a>0时，f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．
类型二：判断、证明函数的单调性
例3．当时，求证：函数是单调递减函数.
【解析】
，，
∴
故函数在上是单调递减函数.
【总结升华】 判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。
举一反三：
【变式1】已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致形状．
【答案】当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致形状如图所示．
【变式2】 求证：在上是增函数。
【答案】 因为 ，，
所以 ，即，
所以函数在上是增函数。
【变式3】(2018 陕西)设，则（ ）
A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数
【答案】B
【解析】由于的定义域为R，且满足，
可得为奇函数。
再根据，可得为增函数，
故选B。
例4．已知函数, 讨论函数的单调性.
【思路点拨】求出导数后，解出导数为零的根，讨论两根的大小是分类的根据。
【解析】由题设知．
令．
（i）当a>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（ii）当a＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数．
【总结升华】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。
（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。
（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。
举一反三：
【变式】 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，(), 讨论函数的单调性.
【答案】解：(1)的定义域为。
2分
（i）若即, 则
故在单调增加。
(ii) 若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii) 若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围
例5．(2018 全国Ⅰ高考)若函数在（－∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
（A）[－1，1] （B） （C） （D）
【思路点拨】由在（－∞，+∞）上是单调增函数，得在（－∞，+∞）上恒成立，换元转化成二次函数恒成立问题。
【答案】C
【解析】对x∈R恒成立，
故，即恒成立，
即对t∈[－1，1]恒成立，构造，开口向下的二次函数f（t）的最小值的可能值为端点值，
故只需保证，解得。故选C。
【总结升华】在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
举一反三：
【变式1】 已知函数，。若在上是增函数，求a的取值范围。
【答案】 由已知得，
∵在（0，1]上单调递增，
∴，即在x∈（0，1]上恒成立。
令，又在（0，1]上单调递增，
∴，∴a＞－1。
当a=－1时 ，对x∈（0，1）也有，
∴a=－1时，在（0，1]上也是增函数。
∴综上，在（0，1]上为增函数，
∴a的取值范围是[－1，+∞）。
【变式2】已知向量a=（，x+1），b=（1―x，t），若函数在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。
【答案】 解法一：依定义，
则 。
若在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有。
∴在区间（―1，1）上恒成立。
考虑函数，由于在图象的对称轴为，且在开口向上的抛物线，故要使t≥x2―2x在区间（―1，1）上恒成立，即t≥5。
解法二：依定义，。
若在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有。
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，在（―1，1）上满足，即在（―1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。
【巩固练习】
一、选择题
1.若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是（ ）
A 　 B C 　 D
2．下列命题成立的是(　　)
A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0
B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数
C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在
D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数
3. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ）?
? A.(0, B.(+∞) C.(-∞,0)? D.(-∞,0)∪(,+∞）?
4. （2018 通辽模拟）下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上递增的是（ ）
A．y=x3―6x B．y=x2―2x C．y=sinx D．y=x3―3x
5． 已知图象如图3-3-1-5所示，则的图象最有可能是图3-3-1-6中的（ ）

6. （2018 南阳校级三模）函数的定义域为R，，对任意都有成立，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7.（2018春 唐山校级期末）函数在（－1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．a=－3 B．a＜3 C．a≤－3 D．a≥－3
二、填空题
8．函数y=x2―4x+a的单调增区间是________，单调减区间是________。
9．函数的单调增区间是________和________，单调减区间是________。
10．若函数是R上的单调函数，则m的取值范围是________。
11．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
三、解答题
12．确定下列函数的单调区间
(1) y=x3－9x2+24x (2) y=3x－x3
13．设函数。
若a=0，求的单调区间；
14．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。
15．已知函数，求导函数，并确定的单调区间。
【答案与解析】
1. 【答案】A.
【解析】因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数.
2. 【答案】B.
【解析】　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．
3. 【答案】A.
【解析】，由，所以选A
4.【答案】D
【解析】A．y=x3－6x，y＇=3(x2－2)，∴，y＇＜0，即该函数在上递减；
∴该函数在（1，+∞）上不递增，即该选项错误；
B．y=x2－2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
C．y=sinx在（1，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；
D．y=x3―3x，(―x)3―3(―x)=―(x3―3x),∴该函数为奇函数；
y＇=3(x2－1)，x＞1时，y＇＞0；∴该函数在（1，+∞）上递增，∴该选项正确。
故选D。
5. 【答案】C.
【解析】 由图象可知，或x＞2；，0＜x＜2。
6. 【答案】B
【解析】
令，则
函数在R上单调递减，
而

不等式，可化为

即不等式的解集为。故选B
7.【答案】C
【解析】由于函数在（―1，+∞）上单调递增，
可得当x＞－1时，，可得，
解得a≤－3，故选C。
8. 【答案】（2，+∞） （－∞，2）
【解析】 y＇=2x－4，y＇＞0，x＞2；y＇＜0，x＜2。
9. 【答案】
【解析】按求单调区间的步骤即可求得。
10. 【答案】
【解析】 在R上单调，由题意知，在R上只能递增，又，∴恒成立。∴Δ=4－12m＜0，即。
11. 【答案】　[3，＋∞)
【解析】　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，
即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
12. 【解析】
(1) y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2) y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
13．【解析】
a=0时，，。
当x∈（－∞，0）时，；当x∈（0，+∞）时，，故 在（－∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增。
14. 【解析】
所以 a≤－3
15．【解析】
。
令，得x=b―1。
（1）当b―1＜1，即b＜2时，的变化情况如下表：
x
（－∞，b－1）
b－1
（b－1，1）
（1，+∞）
－
0
+
－
（2）当b－1＞1，即b＞2时，的变化情况如下表：
x
（－∞，1）
（1，b－1）
b－1
（b－1，+∞）
－
+
0
－
所以，当b＜2时，函数在（－∞，b―1）上单调递减，
在（b―1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当b＞2时，函数在（－∞，1）上单调递减，
在（1，b―1）上单调递增，在（b―1，+∞）上单调递减。
当b =2时，，，所以函数在（―∞，1）和（1，+∞）上单调递减。