人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：35【提高】导数的应用一---函数的单调性（文）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：35【提高】导数的应用一---函数的单调性（文） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 362.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-18 11:51:38 | ||
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文档简介
导数的应用一---函数的单调性
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。
3. 会利用导数求函数的单调区间。
【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上为增函数；
②若，则在这个区间上为减函数；
③若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. 在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
要点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。
要点诠释：
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或。
要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间。
或者：
令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。
要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
例1、确定下列函数的单调区间 （1）y=x3－9x2+24x （2）y=3x－x3
【解析】 （1）y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 ∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4) （2）y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 【总结升华】 （1）解决此类题目，关键是解不等式f′（x）>0或f′（x）<0。 （2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
举一反三
【变式】 求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）。
令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或。
因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和。
再令3x2－4x+x＜0，解得。
因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为。 （2）函数的定义域为（0，+∞）， ，令，则x＞1， 因此，函数在（1，+∞）上是增函数； 令，则0＜x＜1， 因此，函数在（0，1）上是减函数， 所以函数的单调区间是（0，1）和（1，+∞）。 （3）。 ∴0≤x≤2π，∴使的，，， 则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示：
x
0
…
…
π
…
…
+
0
－
0
－
0
+
↑
↓
↓
↑
所以函数（0≤x≤π）的单调递增区间为和， 单调递减区间为。
例2. ?已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。
【思路点拨】求出导数后，因为含有的参数，所以要结合图像分析讨论。 【解析】 图像的对称轴为且时值为。所以有如下讨论： 【总结升华】 （1）解决此类题目，关键是解不等式f′（x）>0或f′（x）<0，若f′（x）中含有参数，往往要分类讨论。 （2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。
举一反三：
【变式】 已知函数，，求函数的单调区间；
【答案】 ， 当a＜0时，对x∈R，有， ∴当a＜0时，单调增区间为（－∞，+∞）。 当a＞0时，由，解得或； 由，解得， ∴当a＞0时，的单调增区间为，；的单调减区间为。
类型二：判断、证明函数的单调性
例3．当时，求证：函数是单调递减函数.
【解析】
，，
∴
故函数在上是单调递减函数.
【总结升华】 判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。
举一反三：
【变式1】求证：在上是增函数。
【答案】 因为 ，，
所以 ，即，
所以函数在上是增函数。
【变式2】设是函数f（x）的导函数，将y=?f（x）和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的 是（ ）
【答案】D
【变式3】（2018 菏泽一模）若 ，，则下列各结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ，令 解得，
当时， ，为减函数，当时，，为增函数，
，
故选D。
例4．已知函数, 讨论函数的单调性.
【思路点拨】求出导数后，解出导数为零的根，讨论两根的大小是分类的根据。
【解析】由题设知．
令．
（i）当a>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（ii）当a＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数．
【总结升华】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。
（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。
（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。
举一反三：
【变式】已知函数, a＞0 ，讨论的单调性.
【解析】 由于
令 ①当,即时,f’(x)≥0?恒成立. 在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数. ②当,即时? 由得或 或或 又由得 综上 当时,?在上都是增函数. 当时,?在上是减函数, 在上都是增函数.
类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围
例5．（2017 绵阳模拟）已知函数在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．4≤m≤5 B．2≤m≤4 C．m≤2 D．m≤4
【思路点拨】若函数 在区间[1，2] 上单调递增，则f＇（x）=x2―mx+4 在区间[1，2] 上恒成立，即在区间[1，2] 上恒成立，因为 ，得到函数的最小值，可得答案。
【答案】D
【解析】函数，
可得f＇（x）=x2―mx+4，函数在区间[1，2]上是增函数，
可得x2―mx+4≥0，在区间[1，2]上恒成立，
可得，当且仅当x=2时取等号，
可得m≤4。
故选D。
【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
（2）恒成立，则；恒成立，只需，这是求变量a的范围的常用方法。
举一反三：
【变式1】 已知函数，。若在上是增函数，求a的取值范围。
【答案】 由已知得，
∵在（0，1]上单调递增，
∴，即在x∈（0，1]上恒成立。
令，又在（0，1]上单调递增，
∴，∴a＞－1。
当a=－1时 ，对x∈（0，1）也有，
∴a=－1时，在（0，1]上也是增函数。
∴综上，在（0，1]上为增函数，
∴a的取值范围是[－1，+∞）。
【变式2】已知函数?在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，
即对恒成立，解之得：， 所以实数的取值范围为．
【变式3】已知向量a=（，x+1），b=（1―x，t），若函数在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。
【答案】 解法一：依定义，
则 。
若在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有。
∴在区间（―1，1）上恒成立。
考虑函数，由于在图象的对称轴为，且在开口向上的抛物线，故要使t≥x2―2x在区间（―1，1）上恒成立，即t≥5。
解法二：依定义，。
若在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有。
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，在（―1，1）上满足，即在（―1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。
【变式4】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【答案】 （1）当时，则恒成立， 此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意； （2）当时， ?， ? ∴当时，函数有三个单调区间， 增区间为：； 减区间为：，.
【巩固练习】
一、选择题
1．已知图象如图3-3-1-5所示，则的图象最有可能是图3-3-1-6中的（ ） ? 2．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0 B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数 C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在 D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数 3. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 4．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D．（，e） 5．（2018秋 吉林月考）设，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．大小不确定
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有() A．f(0)＋f（2）<2f（1） B．f(0)＋f（2）≤2f（1） C．f(0)＋f（2）≥2f（1） D．f(0)＋f（2）>2f（1） 7．（2018春 漳州校级月考）若函数在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，―2] B．（―∞，－1] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
二、填空题 8．函数的单调增区间是________和________，单调减区间是________。 9．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是____________． 10．若函数是R上的单调函数，则m的取值范围是________。 11．已知奇函数在点处的切线方程为,则这个函数的单调递增区间是________. 三、解答题 12．确定下列函数的单调区间 （1）?y=x3－9x2+24x （2）?y=3x－x3 13．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． （1）求a、b的值； （2）讨论函数f(x)的单调性． 14．已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 15．已知函数，求导函数，并确定的单调区间。 16. 已知函数． (Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当x＞1时，f(x)＜x-1； （Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当时，恒有f(x)＞k(x-1)．
【答案与解析】
1. 【答案】C. 【解析】由图象可知，或x＞2；，0＜x＜2。
2. 【答案】B.
【解析】 若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．
3. 【答案】D. 【解析】f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 4. 【答案】C. 【解析】，，所以选C.
5.【答案】A
【解析】，x＞0，，
令f＇（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，
而，
故，
故选A。
6. 【答案】C 【解析】由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f（2）≥2f（1）．故应选C.
7.【答案】C
【解析】；
∵f（x）在（1，+∞）上单调递增；
∴f＇（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；
∴ax－1≥0在（1，+∞）上恒成立；
显然，需a＞0；
∴函数y=ax－1在[1，+∞）上是增函数；
∴a－1≥0，a≥1；
∴实数a的取值范围是[1，+∞）。
故选C。
8. 【答案】 ? 【解析】求导，然后解不等式。 9．【答案】和 【解析】y′＝xcosx，当－π0， 当00，∴y′＝xcosx>0.
10. 【答案】
【解析】 在R上单调，由题意知，在R上只能递增，又，∴恒成立。∴Δ=4－12m＜0，即。
11. 【答案】 【解析】 ? 再求导函数，解可得。
12. 【解析】
(1) y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2) y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
13．【解析】 （1）求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b. 由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)， 所以f（1）＝－11，f′（1）＝－12， 即， 解得a＝1，b＝－3. （2）由a＝1，b＝－3得 ?f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1 14. 【解析】 （1）求导： 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， ?递增 （2），且解得：
15．【解析】
。
令，得x=b―1。
（1）当b―1＜1，即b＜2时，的变化情况如下表：
x
（－∞，b－1）
b－1
（b－1，1）
（1，+∞）
－
0
+
－
（2）当b－1＞1，即b＞2时，的变化情况如下表：
x
（－∞，1）
（1，b－1）
b－1
（b－1，+∞）
－
+
0
－
所以，当b＜2时，函数在（－∞，b―1）上单调递减，
在（b―1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当b＞2时，函数在（－∞，1）上单调递减，
在（1，b―1）上单调递增，在（b―1，+∞）上单调递减。
当b =2时，，，所以函数在（―∞，1）和（1，+∞）上单调递减。
16.【解析】（Ⅰ）．
故f(x)的单调递增区间是．
（Ⅱ）令F(x)＝f(x)-(x-1)，x∈(0，+∞)．
则有．
当x∈(1，+∞)时，F′(x)＜0，
所以F(x)在[1，+∞)上单调递减，
故当x＞1时，F(x)＜F(1)=0，即当x＞1时，f(x)＜x-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k=1时，不存在x0＞1满足题意．
当k＞1时，对于x＞1，有f(x)＜x-1＜k(x-1)，则f(x)＜k(x-1)，从而不存在x0＞1满足题意．
当k＜1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x∈(0，+∞)，
则有．
由G′(x)=0得，-x2+(1-k)x+1=0．
解得
当x∈(1，x2)时，G′(x)＞0，故G(x)在[1，x2)内单调递增．
从而当x∈(1，x2)时，G(x) ＞G(1)=0，即f(x)＞k(x-1)，
综上，k的取值范围是(-∞，1)．
【学习目标】
1. 理解函数的单调性与其导数的关系。
2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。
3. 会利用导数求函数的单调区间。
【要点梳理】
要点一、函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：
函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上为增函数；
②若，则在这个区间上为减函数；
③若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立。
3. 在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：而f(x)在R上递增.
4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
5.注意导函数图象与原函数图象间关系.
要点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。
要点诠释：
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或。
要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间。
或者：
令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。
要点诠释：
1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。
2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。
【典型例题】
类型一：求函数的单调区间
例1、确定下列函数的单调区间 （1）y=x3－9x2+24x （2）y=3x－x3
【解析】 （1）y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 ∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4) （2）y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 【总结升华】 （1）解决此类题目，关键是解不等式f′（x）>0或f′（x）<0。 （2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。
举一反三
【变式】 求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）。
令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或。
因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和。
再令3x2－4x+x＜0，解得。
因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为。 （2）函数的定义域为（0，+∞）， ，令，则x＞1， 因此，函数在（1，+∞）上是增函数； 令，则0＜x＜1， 因此，函数在（0，1）上是减函数， 所以函数的单调区间是（0，1）和（1，+∞）。 （3）。 ∴0≤x≤2π，∴使的，，， 则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示：
x
0
…
…
π
…
…
+
0
－
0
－
0
+
↑
↓
↓
↑
所以函数（0≤x≤π）的单调递增区间为和， 单调递减区间为。
例2. ?已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。
【思路点拨】求出导数后，因为含有的参数，所以要结合图像分析讨论。 【解析】 图像的对称轴为且时值为。所以有如下讨论： 【总结升华】 （1）解决此类题目，关键是解不等式f′（x）>0或f′（x）<0，若f′（x）中含有参数，往往要分类讨论。 （2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。
举一反三：
【变式】 已知函数，，求函数的单调区间；
【答案】 ， 当a＜0时，对x∈R，有， ∴当a＜0时，单调增区间为（－∞，+∞）。 当a＞0时，由，解得或； 由，解得， ∴当a＞0时，的单调增区间为，；的单调减区间为。
类型二：判断、证明函数的单调性
例3．当时，求证：函数是单调递减函数.
【解析】
，，
∴
故函数在上是单调递减函数.
【总结升华】 判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。
举一反三：
【变式1】求证：在上是增函数。
【答案】 因为 ，，
所以 ，即，
所以函数在上是增函数。
【变式2】设是函数f（x）的导函数，将y=?f（x）和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的 是（ ）
【答案】D
【变式3】（2018 菏泽一模）若 ，，则下列各结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ，令 解得，
当时， ，为减函数，当时，，为增函数，
，
故选D。
例4．已知函数, 讨论函数的单调性.
【思路点拨】求出导数后，解出导数为零的根，讨论两根的大小是分类的根据。
【解析】由题设知．
令．
（i）当a>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（ii）当a＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数．
【总结升华】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。
（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。
（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。
举一反三：
【变式】已知函数, a＞0 ，讨论的单调性.
【解析】 由于
令 ①当,即时,f’(x)≥0?恒成立. 在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数. ②当,即时? 由得或 或或 又由得 综上 当时,?在上都是增函数. 当时,?在上是减函数, 在上都是增函数.
类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围
例5．（2017 绵阳模拟）已知函数在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．4≤m≤5 B．2≤m≤4 C．m≤2 D．m≤4
【思路点拨】若函数 在区间[1，2] 上单调递增，则f＇（x）=x2―mx+4 在区间[1，2] 上恒成立，即在区间[1，2] 上恒成立，因为 ，得到函数的最小值，可得答案。
【答案】D
【解析】函数，
可得f＇（x）=x2―mx+4，函数在区间[1，2]上是增函数，
可得x2―mx+4≥0，在区间[1，2]上恒成立，
可得，当且仅当x=2时取等号，
可得m≤4。
故选D。
【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
（2）恒成立，则；恒成立，只需，这是求变量a的范围的常用方法。
举一反三：
【变式1】 已知函数，。若在上是增函数，求a的取值范围。
【答案】 由已知得，
∵在（0，1]上单调递增，
∴，即在x∈（0，1]上恒成立。
令，又在（0，1]上单调递增，
∴，∴a＞－1。
当a=－1时 ，对x∈（0，1）也有，
∴a=－1时，在（0，1]上也是增函数。
∴综上，在（0，1]上为增函数，
∴a的取值范围是[－1，+∞）。
【变式2】已知函数?在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，
即对恒成立，解之得：， 所以实数的取值范围为．
【变式3】已知向量a=（，x+1），b=（1―x，t），若函数在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。
【答案】 解法一：依定义，
则 。
若在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有。
∴在区间（―1，1）上恒成立。
考虑函数，由于在图象的对称轴为，且在开口向上的抛物线，故要使t≥x2―2x在区间（―1，1）上恒成立，即t≥5。
解法二：依定义，。
若在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有。
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，在（―1，1）上满足，即在（―1，1）上是增函数。
故t的取值范围是t≥5。
【变式4】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
【答案】 （1）当时，则恒成立， 此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意； （2）当时， ?， ? ∴当时，函数有三个单调区间， 增区间为：； 减区间为：，.
【巩固练习】
一、选择题
1．已知图象如图3-3-1-5所示，则的图象最有可能是图3-3-1-6中的（ ） ? 2．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0 B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数 C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在 D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数 3. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 4．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D．（，e） 5．（2018秋 吉林月考）设，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．大小不确定
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有() A．f(0)＋f（2）<2f（1） B．f(0)＋f（2）≤2f（1） C．f(0)＋f（2）≥2f（1） D．f(0)＋f（2）>2f（1） 7．（2018春 漳州校级月考）若函数在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，―2] B．（―∞，－1] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
二、填空题 8．函数的单调增区间是________和________，单调减区间是________。 9．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是____________． 10．若函数是R上的单调函数，则m的取值范围是________。 11．已知奇函数在点处的切线方程为,则这个函数的单调递增区间是________. 三、解答题 12．确定下列函数的单调区间 （1）?y=x3－9x2+24x （2）?y=3x－x3 13．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． （1）求a、b的值； （2）讨论函数f(x)的单调性． 14．已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 15．已知函数，求导函数，并确定的单调区间。 16. 已知函数． (Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当x＞1时，f(x)＜x-1； （Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当时，恒有f(x)＞k(x-1)．
【答案与解析】
1. 【答案】C. 【解析】由图象可知，或x＞2；，0＜x＜2。
2. 【答案】B.
【解析】 若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．
3. 【答案】D. 【解析】f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 4. 【答案】C. 【解析】，，所以选C.
5.【答案】A
【解析】，x＞0，，
令f＇（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，
而，
故，
故选A。
6. 【答案】C 【解析】由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f（2）≥2f（1）．故应选C.
7.【答案】C
【解析】；
∵f（x）在（1，+∞）上单调递增；
∴f＇（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；
∴ax－1≥0在（1，+∞）上恒成立；
显然，需a＞0；
∴函数y=ax－1在[1，+∞）上是增函数；
∴a－1≥0，a≥1；
∴实数a的取值范围是[1，+∞）。
故选C。
8. 【答案】 ? 【解析】求导，然后解不等式。 9．【答案】和 【解析】y′＝xcosx，当－π
10. 【答案】
【解析】 在R上单调，由题意知，在R上只能递增，又，∴恒成立。∴Δ=4－12m＜0，即。
11. 【答案】 【解析】 ? 再求导函数，解可得。
12. 【解析】
(1) y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2) y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
13．【解析】 （1）求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b. 由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)， 所以f（1）＝－11，f′（1）＝－12， 即， 解得a＝1，b＝－3. （2）由a＝1，b＝－3得 ?f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1
15．【解析】
。
令，得x=b―1。
（1）当b―1＜1，即b＜2时，的变化情况如下表：
x
（－∞，b－1）
b－1
（b－1，1）
（1，+∞）
－
0
+
－
（2）当b－1＞1，即b＞2时，的变化情况如下表：
x
（－∞，1）
（1，b－1）
b－1
（b－1，+∞）
－
+
0
－
所以，当b＜2时，函数在（－∞，b―1）上单调递减，
在（b―1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当b＞2时，函数在（－∞，1）上单调递减，
在（1，b―1）上单调递增，在（b―1，+∞）上单调递减。
当b =2时，，，所以函数在（―∞，1）和（1，+∞）上单调递减。
16.【解析】（Ⅰ）．
故f(x)的单调递增区间是．
（Ⅱ）令F(x)＝f(x)-(x-1)，x∈(0，+∞)．
则有．
当x∈(1，+∞)时，F′(x)＜0，
所以F(x)在[1，+∞)上单调递减，
故当x＞1时，F(x)＜F(1)=0，即当x＞1时，f(x)＜x-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k=1时，不存在x0＞1满足题意．
当k＞1时，对于x＞1，有f(x)＜x-1＜k(x-1)，则f(x)＜k(x-1)，从而不存在x0＞1满足题意．
当k＜1时，令G(x)=f(x)-k(x-1)，x∈(0，+∞)，
则有．
由G′(x)=0得，-x2+(1-k)x+1=0．
解得
当x∈(1，x2)时，G′(x)＞0，故G(x)在[1，x2)内单调递增．
从而当x∈(1，x2)时，G(x) ＞G(1)=0，即f(x)＞k(x-1)，
综上，k的取值范围是(-∞，1)．