人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：38【基础】《导数及其应用》全章复习与巩固

《导数及其应用》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.
2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.
3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.
4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题
【要点梳理】
要点一：有关切线问题
直线与曲线相切，我们要抓住三点：
①切点在切线上；
②切点在曲线上；
③切线斜率等于曲线在切点处的导数值.
要点诠释：
通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.
要点二：有关函数单调性的问题
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数.
要点诠释：
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则.
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法：
① 分离参数法：或.
② 若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使.
（或是求含参函数 的最大值 ，使）
要点三：函数极值、最值的问题
函数极值的问题
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点诠释：
①先求出定义域
②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.
注意：无定义的点不用在表中列出
③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值.
函数最值的问题
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内所有使的的点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
要点四：优化问题
在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.
利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式；
(2) 求函数的导数，解方程；
(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．
要点诠释：
①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
②得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围；
③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
【典型例题】
类型一： 利用导数解决有关切线问题
例1. 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
【思路点拨】因为点A不在曲线上，所以应先设出切点并求出切点．
【解析】曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，
则点的坐标满足．
因，
故切线的方程为．
点在切线上，则有．
化简得，解得．
所以，切点为，切线方程为．
【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.
举一反三：
【变式1】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________.
【答案】
【变式2】求过点且与曲线相切的直线方程．
【答案】设为切点，则切线的斜率为．
切线方程为，即．
又已知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，即．
【变式3】（2018 梅州三模）已知函数，若过点A（0,16） 的直线方程为 ，与曲线相切，则实数的值是（ ）
A. B.3 C.6 D.9
【答案】设切点为 ， ，
在点处的切线方程为 ，把点A（0,16）代入，得，解得， 过点A（0,16）的切线方程为 。故选D
类型二： 利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题
例2. 设函数，求的单调区间和极值.
【思路点拨】求导后，求导数为零的根，两根大小的判断是确定分类点的依据.
【解析】
令得 即，解得或，
（1）当时，，在上单调递减，没有极值；
（2）当时，由得，由得或，
∴当或时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴，，
∴的递减区间为，；递增区间为；
，.
（3）当时，由得，由得或，
∴当或时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴，，
∴的递减区间为，；递增区间为；
，.
【总结升华】
（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，须分类讨论.
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域.
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间.
【答案】
令得：

（1）当或时，
，
所以，；
（2）当或时，

所以，
∴的单调增区间是，单调减区间是，.
【变式2】 已知函数f(x)=ax3+x2+1，x∈(0，1]
（1）若f(x)在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求f(x)在（0，1）上的最大值.
【答案】
（1）f′(x)=3ax2+2x，
∵f(x)在（0，1）上是增函数，
∴ x∈（0，1）时，f′(x)=3ax2+2x>0恒成立，
即对x∈（0，1）恒成立，
∵在（0，1）上单调增，
∴x=1时，
∴
（2）
①
②
∴
∴
例3.已知函数在处取得极值为，
（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．
【解析】（1）因 故 由于 在点 处取得极值
故有即 ，
解得.
（2）由（1）知 ，，
令 ，得
当时，故在上为增函数；
当 时， 故在 上为减函数；
当 时 ，故在 上为增函数.
由此可知 在 处取得极大值，
在 处取得极小值,
由题设条件知 得，
此时，,
因此 上的最小值为.
举一反三：
【变式1】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
【答案】C
【变式2】函数的图象大致是（ ）
A B C D
【答案】C
首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C.
例4. （2018 北京高考）设函数，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e-1)x+4，
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【解析】 (1)因为，所以．
依题设，即
解得a=2，b=e；
(2)由(Ⅰ)知．
由即知，与同号．
令，则．
所以，当x∈(-∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(-∞，1)上单调递减；
当x∈(1，∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，+∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(-∞，+∞)上的最小值，
从而g(x)＞0，x∈(-∞，+∞)．
综上可知，f′(x)＞0，x∈(-∞，+∞)，故f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞)．
举一反三：
【变式1】设函数则 ( )
A.在区间内均有零点.
B.在区间内均无零点.
C.在区间内有零点，在区间内无零点.
D.在区间内无零点，在区间内有零点.
【答案】D
由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D.
【变式2】
已知函数(x>0)在x = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数.
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间.
【答案】（1）由题意知，因此，从而．
又对求导得
．
由题意，因此，解得．
（2）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.
类型三： 利用导数解决优化问题
例5. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
【解析】：每月生产x吨时的利润为
故它就是最大值点，且最大值为：
每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
【总结升华】利用导数求实际问题中的最大值或最小值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.
举一反三：
【变式1】（2018秋 房山区期末）某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入
资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下：
投入资金
甲产品利润
乙产品利润
4
1
2.5
该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【变式2】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为，则
．
，令，得x=15．
当x＞>15时，，当10≤x＜15时，．
因此，当x=15时，取得最小值．
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
【巩固练习】
一、选择题
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　)
A．等于0　　　　　　　 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
2． 若曲线在点处的切线方程是，则( )
A B
C D
3.（2018春 海南校级期末）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A. B. C. D.
4．已知f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有(　　)
A．1个　　 　 B．2个 C．多于两个 D．不能确定
5．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
7．曲线上的点到直线的距离的最小值为( )
A. 　 B. 　　 C. 　 D.
二、填空题
8．函数的极值点是 ____________。
9.(2018 全国Ⅲ高考) 已知f（x）为偶函数，当x≤0 时，f（x）=e―x―1―x，则曲线y=f（x）在点
（1，2）处的切线方程是________.
10.（2018 淮南二模）函数在区间上的最大值是________。
11. 函数（）的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围 。
三、解答题
12．设函数在处取得极值
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的单调区间.
13.设函数，，求函数的单调区间与极值。
14. (2018 山东)设函数 (k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．
(Ⅰ)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
15．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
【答案与解析】
1.【答案】　A
【解析】　∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数
∴f′(x)＝0，故应选A.
2. 【答案】A：
【解析】
∵ ，∴ ，在切线，∴
3. 【答案】B
【解析】由 ，得
当 时，
当时，
当时，故 的极小值、极大值分别为，
而
故函数 在上的最大值、最小值分别是3，，故答案为：B。
4. 【答案】　B
【解析】　∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2，
令3x2＝1，得x＝，
即切点坐标为或.
由点斜式可得切线方程为y－＝x－或y＋＝x＋，即y＝x－
或y＝x＋.故应选B.
5. 【答案】D
【解析】　f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)
在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b
都是正实数，所以ab≤＝＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．
6. 【答案】　C
【解析】　∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′>0，
x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增后减．
∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
7．【答案】D；
【解析】设曲线在点的切线平行于直线，
∵,
∴,，
故所求最小值就是点到直线的距离
8．【答案】x=3和x=1
【解析】直接求导，然后求根可得。
9.【答案】y=2x
【解析】当x＞0时，－x＜0，则f（－x）=ex－1+x．又因为f（x）为偶函数，
所以f（x）=f（－x）=ex－1+x，所以f＇（x）=ex－1+1，则切线斜率为f＇（1）=2，
所以切线方程为y－2=2（x－1），即y=2x．
10.【答案】
【解析】y＇=1－2sinx=0，在区间上得
故在区间上是增函数，在区间上是减函数，
∴时，函数在区间上的最大值是，
故答案为。
11．【答案】；
【解析】，
因为，所以极大值为，极小值，
解得。
12．【解析】（Ⅰ）,由已知得，
解得，
(Ⅱ)由（Ⅰ）知
当或时，，当时，.
因此的单调增区间是，，
的单调减区间是.
13. 【解析】
14. 【解析】
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴，
当k≤0时，kx≤0，
∴ex－kx＞0，
令f′(x)＝0，则x＝2，
∴当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
∴f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，
故f(x)在(0，2)内不存在极值点；
当k＞0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．
∵g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，
当0＜k≤1时，
当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)单调递增，
故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；
当k＞1时，
得x∈(0，lnk)时，g′(x)＜0，函数y＝g(x)单调递减，
x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)＞0，函数y＝g(x)单调递增，
∴函数y＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk)
函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点
当且仅当，解得：
综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.
15. 【解析】　
(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?
2(1－ln2＋a)
单调递增?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.