人教版高中数学文科选修1-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：39【提高】《导数及其应用》全章复习与巩固

《导数及其应用》全章复习与巩固
【学习目标】
1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.
2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.
3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.
4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题
【要点梳理】
要点一：有关切线问题
直线与曲线相切，我们要抓住三点：
①切点在切线上；
②切点在曲线上；
③切线斜率等于曲线在切点处的导数值.
要点诠释：
通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.
要点二：有关函数单调性的问题
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数.
要点诠释：
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则.
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法：
① 分离参数法：或.
② 若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使.
（或是求含参函数 的最大值 ，使）
要点三：函数极值、最值的问题
函数极值的问题
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点诠释：
①先求出定义域
②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.
注意：无定义的点不用在表中列出
③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值.
函数最值的问题
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内所有使的的点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
要点四：优化问题
在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.
利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式；
(2) 求函数的导数，解方程；
(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．
要点诠释：
①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
②得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围；
③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
【典型例题】
类型一： 利用导数解决有关切线问题
例1．若直线与曲线相切，试求的值．
【思路点拨】当切点未知时，应先设出切点．
【解析】　设与相切于
则①
，②
又 ∴，③
由①②③得：（）＝，
即
∴，∴.
【总结升华】当切点未知时，要先设切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.
举一反三：
【变式】 已知曲线在处的切线恰好与抛物线相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标．
【答案】∴曲线上的切点为A(－1,2).
,∴，
∴切线方程为，即.
设抛物线上的切点为,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支，
抛物线上半支的方程为,
则, ∴,得 　 （1）
又∵点Ｂ在切线上，∴ （2）
由(1)(2)求得，∴.
故抛物线方程为,切点为(2,8).
类型二： 利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题
例2. （2018 北京高考）设函数，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e-1)x+4，
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【思路点拨】求出后，讨论它的正负.
【解析】 (1)因为，所以．
依题设，即
解得a=2，b=e；
(2)由(Ⅰ)知．
由即知，与同号．
令，则．
所以，当x∈(-∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(-∞，1)上单调递减；
当x∈(1，∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，+∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(-∞，+∞)上的最小值，
从而g(x)＞0，x∈(-∞，+∞)．
综上可知，f′(x)＞0，x∈(-∞，+∞)，故f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞)．
举一反三：
【变式1】 若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间.
【答案】
（1）当时，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；
（2）当时，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；
（3）当时，则
由得，
由，得
∴综上可知，当时，恰有三个单调区间：
减区间；增区间
【变式2】函数的图象大致是（ ）
A B C D
【答案】C
首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C.
【变式3】(2018 安徽文)已知函数
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若，求f(x)在(0，+∞)内的极值。
【答案】(Ⅰ)由题意可知x+r≠0即x≠-r，即可求出f(x)的定义域；
∴ f(x)的定义域为(-∞，-r)∪(-r，+∞)
又
又a＞0，r＞0
令 令
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f(x)在(0，+∞)内的极大值为
F(x)在(0，+∞)内无极小值；
所以f(x)在(0，+∞)内极大值为100，无极小值.
例3. 已知a∈R，函数，
（1）求f(x)的单调区间，
（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ ＞0.
【思路点拨】（1）求导后对参数进行分类讨论，由导函数的正负号求出原函数的单调区间；（2）首先要考虑去掉绝对值，显然要分类讨论，其次是要证明高次函数在所给区间恒大于零，构造函数，利用导函数的知识解决.
【解析】（1）由题意得，
当时，恒成立，此时的单调递增区间为.
当时，，此时函数的单调递增区间为.
(2)由于，当时，.
当时，.
设，则.
则有
0
1
-
0
+
1
减
极小值
增
1
所以.
当时，.
故.
【总结升华】导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点.
举一反三：
【变式1】 已知函数f(x)=ax3+x2+1，x∈(0，1]
（1）若f(x)在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求f(x)在（0，1）上的最大值.
【答案】
（1）f′(x)=3ax2+2x，
∵f(x)在（0，1）上是增函数，
∴ x∈（0，1）时，f′(x)=3ax2+2x>0恒成立，
即对x∈（0，1）恒成立，
∵在（0，1）上单调增，
∴x=1时，
∴
（2）
①
②
∴
∴
【变式2】(2018 江西)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b) (b∈R)
(1)当b＝4时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围．
【答案】
(1)当b＝4时，f(x)＝(x2＋4x+4)＝)，
则．
由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0．
当x＜－2时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，－2)上为减函数．
当－2＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)在(－2，0)上为增函数．
当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)在(0，)上为减函数．
∴当x＝－2时，f(x)取极小值为0．
当x＝0时，f(x)取极大值为4；
(2)由f(x)＝(x2＋bx+b)，得：
由f(x)在区间(0，)上单调递增，
得f′(x)≥0对任意x∈(0，)恒成立．
即－5x2－3bx+2x≥0对任意x∈(0，)恒成立．
∴对任意x∈(0，)恒成立．
∵．
∴．
∴b的取值范围是．
例4. 设函数（），其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值.
【解析】
（Ⅰ）当时，，得，且
，．
所以，曲线在点处的切线方程是，整理得
．
（Ⅱ）
．
令，解得或．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
（2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且；
函数在处取得极大值，且．
【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图象法.
2. 列表能比较清楚的看清极值点.
3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚.
举一反三：
【变式1】设函数则 （ ）
A. 在区间内均有零点.
B. 在区间内均无零点.
C. 在区间内有零点，在区间内无零点.
D. 在区间内无零点，在区间内有零点.
【答案】D
由题得，
令得；令得；
得，
故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，
在点处有极小值；
又，故选择D.
【变式2】求函数在上的最大值（其中）.
【答案】
令，则求在（0，1］上的最大值
当时，显然在（0，1］上为增函数，所以
当时，令 得：，
易知时，为增函数
时，为减函数.
于是若（此时），则在（0，1］上为增函数，此时.
若（此时）， 则在上为增函数，在上为减函数.
所以
由以上讨论知
当时， ； 当时， .
类型三：利用导数解决优化问题
例5. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12－x)2万件．
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．
【解析】（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x（元）的函数关系式为：
L=(x－3－a)(12－x)2，x∈[9，11]．
（2）L＇=(12－x)2－2(x－3－0)(12－x)=(12－x)·(18+2a－3x)．
令L＇=0得或x=12（不合题意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴．
在两侧L＇的值由正变负．
∴①当，即时，
Lmax=(9－3－0)(12－9)2=9(6－a)．
②当，即时，
．
∴．
综上，若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6－a)（万元）；若≤a≤5，则当每件售价为（）元时，分分司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（万元）．
【总结升华】 在第（2）问中，务必注意实际意义对定义域的影响；在第（2）问中，因的大小不确定，故的符号不确定，故必须对a进行分类讨论．
举一反三：
【变式】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为，则
．
，令，得x=15．
当x＞>15时，，当10≤x＜15时，．
因此，当x=15时，取得最小值．
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
【巩固练习】
一、选择题
1．已知函数的导函数的图像如下，则（ ）
A.函数有1个极大值点，1个极小值点.
B.函数有2个极大值点，2个极小值点.
C.函数有3个极大值点，1个极小值点
D.函数有1个极大值点，3个极小值点
2． 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )
A． [0,) B. C. D.
3．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．5，－15 B．5,4
C．－4，－15 D．5，－16
4．（2018 潮南区模拟）若a＞0，b＞0，， 函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)．
A．2 B．3 C．6 D．9
5．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
6．曲线上的点到直线的距离的最小值为( )
A. 　 B. 　　 C. 　 D.
7．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c(　　)
A．有最大值
B．有最大值－
C．有最小值
D．有最小值－
二、填空题
8.（2018 沈阳一模）函数f（x）=2x－lnx的单调增区间是________。
9．（2018 张家港市校级模拟）已知函数，则的极大值为
。
10.（2018 江西模拟）已知函数在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是________。
11、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_______。
三、解答题
12．设函数在处取得极值
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的单调区间.
13. 求：函数在区间（）内的极值。
14. 已知函数图象上的点处的切线方程为.
⑴若函数在处有极值，求的表达式；
⑵若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
15．已知函数f（x）=，其中a>0.
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
16. (2018 北京文)设函数，k＞0．
（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间上仅有一个零点．
【答案与解析】
1.【答案】　A
【解析】　因为极值点左右两边异号，所以是极大值点，是极小值点，选A
2. 【答案】D
【解析】，，
即，
3. 【答案】　A
【解析】　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，
令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．
∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，
∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.
4. 【答案】D
【解析】　f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)
在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b
都是正实数，所以ab≤＝＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．
5. 【答案】　C
【解析】　∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′>0，
x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增后减．
∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
6.【答案】D；
【解析】设曲线在点的切线平行于直线，
∵,
∴,，
故所求最小值就是点到直线的距离
7.【答案】　B
【解析】　由题意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成立．
所以
即
令b＋c＝z，b＝－c＋z，如图
过A得z最大，
最大值为b＋c＝－6－＝－.故应选B.
8.【答案】
【解析】f（x）=2x－lnx的定义域为（0，+∞）。
，令f＇（x）＞0，解得。
所以函数f（x）=2x－lnx的单调增区间是。
故答案为。
9. 【答案】
【解析】
由于函数，则
故 得到
令 ，解得：，令 ，解得： ，
则函数在（0,2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故的极大值为 。故答案为：
10.【答案】a≥0
【解析】求导函数可得
∵函数在[1，+∞）上单调递增，
∴在[1，+∞）上恒成立
∴
令，则在[1，+∞）上恒成立
∴函数在[1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数取得最大值0
∴a≥0
故答案为a≥0
11. 【答案】
【解析】，
，
当时，递减；当时，递增；
故当时，S的最小值是。
12．【解析】（Ⅰ）,由已知得，
解得，
(Ⅱ)由（Ⅰ）知
当或时，，当时，.
因此的单调增区间是，，
的单调减区间是.
13. 【解析】
f′(x)＝3x(x-2),
令f′(x)＝0得x=0或x=2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
X
(-∞.0)
0
(0,2)
2
(2,+ ∞)
f′(x)
+
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
由此可得：
当0当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；
当1当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.
综上得：
当0当1当a=1或a≥3时，f(x)无极值。
14. 【解析】
⑴∵点在切线方程上，∴ ，，
∵函数在处有极值，∴ ，可得：
∴
⑵由⑴可知：，∴，∴
∵函数在区间上单调递增，即：在区间上恒成立，
∴，解得：。
15.【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f′(x)=, f′(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）f′(x)=.令f′(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
若，当x变化时，f′(x)，f（x）的变化情况如下表：
X
0
f′(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-5若a>2，则.当x变化时，f′(x),f（x）的变化情况如下表：
X
0
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此2综合（1）和（2），可知a的取值范围为016. 【解析】(Ⅰ)由得
．
由f′(x)=0解得．
f(x)与f′(x)在区间(0，+∞)上的情况如下：
所以，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；
f(x)在处取得极小值．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)在区间(0，+∞)上的最小值为．
因为f(x)存在零点，所以，从而k≥e．
当k=e时，f(x)在区间上单调递减，且，
所以是f(x)在区间上的唯一零点．
当k＞e时，f(x)在区间上单调递减，
且，
所以f(x)在区间上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间上仅有一个零点．