§2.3 幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
5．学法与教具
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;
（2）教学用具：多媒体
三．教学过程：
引入新知
阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方
（4）求算术平方根 （5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.
探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.
如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
2．研究函数的图像
（1） （2） （3）
（4） （5）
一．提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图像，填P91探究中的表格
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限单调增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
定点
（1，1）
（1，1）
（1，1）
（1，1）
（1，1）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
例题：
1．证明幂函数上是增函数
证：任取＜则
=
=
因＜0，＞0
所以，即上是增函数.
思考：
我们知道，若得，你能否用这种作比的方法来证明上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
（1） （2） （3）
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
5．课堂练习
画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.
6．归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
作业：P79 习题 2.3 第2、3 题
课时提升作业(二十二)
幂 函 数
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列函数中,是幂函数的是 ( )
A.y=2x B.y=2x3
C.y= D.y=2x2
【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项C中y==x-1符合幂函数的特征.
【补偿训练】下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是 ( )
A.①⑤ B.①②③
C.②④ D.②③⑤
【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知②④符合,而①③⑤中有常数项1,均不符合幂函数的特征.
2.(2018·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图象不过原点,则m的取值范围为 ( )
A.1≤m≤2 B.m=1或m=2
C.m=2 D.m=1
【解析】选D.由题意得解得m=1.
3.函数y=x-2在区间上的最大值是 ( )
A. B. C.4 D.-4
【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,
所以x=时,取得最大值为4.
【延伸探究】若本题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少?
【解析】y=x-2在区间上单调递减,所以x=2时,取得最小值为,当x=时,取得最大值为4.故最大值和最小值的和为.
4.在下列函数中,定义域为R的是 ( )
A.y= B.y=
C.y=2x D.y=x-1
【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).
【误区警示】本题在确定函数的定义域时易忽略指数是负数,从而自变量不能为0的情况,导致错选B或D.
【补偿训练】设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为 ( )
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
【解析】选A.函数y=x-1的定义域是,函数y=的定义域是[0,+∞),函数y=x和y=x3的定义域为R且为奇函数.
5.(2018·荆门高一检测)函数y=|x(n∈N,n>9)的图象可能是 ( )
【解析】选C.因为y=|x为偶函数,所以排除选项A,B.又n>9,所以<1.由幂函数在(0,+∞)内幂指数小于1的图象可知,只有选项C符合题意.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是 .
【解析】因为幂函数f(x)过点,所以=2α,
所以α=-1,所以f(x)=x-1=,
所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
答案:(-∞,0)∪(0,+∞)
7.(2018·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是 .
【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
【补偿训练】(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)xm为减函数,则实数m的值为 .
【解析】由于函数y=(m2-m-1)xm为幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
当m=2时函数在(0,+∞)上递增,所以要舍去.
当m=-1时函数在(0,+∞)上递减,
所以m=-1符合题意,故填-1.
答案:-1
8.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于 .
【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log23,
则f(x)=,于是f====.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;
(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,
又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
10.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满足条件(a+1<(3-2a的实数a的取值范围.
【解析】因为幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,所以函数y=x3-p是偶函数.
又y=x3-p在(0,+∞)上为增函数,
所以3-p是偶数且3-p>0.
因为p∈N*,所以p=1,
所以不等式(a+1<(3-2a化为:
(a+1<(3-2a.
因为函数y=是[0,+∞)上的增函数,
所以??-1≤a<,故实数a的取值范围为.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是 ( )
A.y= B.y=x2
C.y=x3 D.y=
【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数.
【补偿训练】下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是 ( )
A.y= B.y=x4
C.y=x-2 D.y=
【解析】选B.函数y=x4是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故B正确;函数y=x-2不过点(0,0),故C不正确;函数y=,y=是奇函数,故A,D不正确.
2.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是 ( )
【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,此时y=xa在(0,+∞)上也是减函数,同时为减的只有D选项,而函数y=ax-与y轴相交于点,此点在y轴的正半轴上,故D选项不适合.当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点,此点在y轴的负半轴上,只有A,C适合,此时函数y=xa在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有C适合.
【补偿训练】函数y=xα与y=αx(α∈{-1,1,,2,3})的图象只可能是下面中的哪一个 ( )
【解析】选C.A中直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x-1,1≠-1,故A错;B中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=,2≠,故B错;C中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2,,22=2×2,故C对;D中直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,-1≠3.故D错.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 .
【解析】因为y=在x∈(0,+∞)上递增,
所以>,即a>c,因为y=在x∈(-∞,+∞)上递减,所以>,即c>b,所以a>c>b.
答案:a>c>b
4.(2018·徐州高一检测)已知幂函数f=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f的解析式是 .
【解题指南】由于函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,再根据图象关于原点对称,且m∈Z,确定m的值.
【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,解得-1答案:f=x-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·广州高一检测)幂函数f的图象经过点(,2),点在幂函数g的图象上,
(1)求f,g的解析式.
(2)x为何值时f>g,x为何值时f【解析】(1)设f=xα,则()α=2,所以α=2,所以f=x2.设g=xβ,
则(-2)β=,所以β=-2,所以g=x-2(x≠0).
(2)从图象可知,当x>1或x<-1时,f>g;
当-16.(2018·秦皇岛高一检测)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)·x-5m-3在(0,+∞)上是增函数,又g(x)=lo(a>1).
(1)求函数g(x)的解析式.
(2)当x∈(t,a)时,g(x)的值域为(1,+∞),试求a与t的值.
【解析】(1)因为f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以解得m=-1,
所以g(x)=loga.
(2)由>0可解得x<-1或x>1,
所以g(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
又a>1,x∈(t,a),可得t≥1,
设x1,x2∈(1,+∞),且x10,x1-1>0,x2-1>0,
所以-=>0,
所以>.
由a>1,有loga>loga,即g(x)在(1,+∞)上是减函数.又g(x)的值域是(1,+∞),
所以得g(a)=loga=1,可化为=a,
解得a=1±,因为a>1,所以a=1+,
综上,a=1+,t=1.
【补偿训练】已知函数f(x)=xm-且f(4)=.
(1)求m的值.
(2)判定f(x)的奇偶性.
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
【解析】(1)因为f(4)=,所以4m-=,
所以m=1.
(2)由(1)知f(x)=x-,
因为f(x)的定义域为{x|x≠0},
又f(-x)=-x-=-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(3)f(x)在(0,+∞)上单调递增.
设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1--
=(x1-x2),
因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
课件21张PPT。2.3 幂函数一、实例探究1、如果小红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需要付的钱数y是2、如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y为3、如果正方体的边长为x，那么正方体的体积y为4、如果正方形场地面积为x，那么正方形的边长y为5、如果小兰在x秒内骑车行进了1km，那么她骑车的速度y是1、幂函数的定义：一般的，函数 y = xα 叫做幂函数，
其中 x 是自变量，α 是常数。(2)(5)二、基础知识讲解关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.二、基础知识讲解值 域：____________
奇偶性：________________
单调性：_________________二、基础知识讲解定义域：____________值 域：_____________
奇偶性：______________
单调性：_______________二、基础知识讲解定义域：_____________二、基础知识讲解定义域：_____________
值 域：_____________
奇偶性： _____________
单调性： _____________二、基础知识讲解二、基础知识讲解奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)RRR{x|x≠0}[ 0,+∞)RR{y|y≠0}[ 0,+∞)［0,+∞)［0，+∞)↗
(－ ∞，0) ↘↗↗↗几个幂函数的图象和性质(0，+∞) ↘
(－ ∞,0)↘二、基础知识讲解规律：三、例题分析三、例题分析例3、用所学的图象和性质，比较下列各组值的大小：三、例题分析例3、用所学的图象和性质，比较下列各组值的大小：三、例题分析四、练习巩固2、注意
区分幂函数与指数函数的概念及其表达式1、定义：一般地，函数 f(x)=x? 叫做幂函数，其中 x 是自变量， ? 是常数。 五、课堂小结3、幂函数 f(x)=x?的性质：1.?>0时，(1)图象都经过点（0，0）和 （1，1）；
(2)函数在( 0,+∞)上是增函数。
2.?<0时，(1)图象都经过点（1，1）；
(2)函数在( 0,+∞)上是减函数,且向右无限接
近x轴，向上无限接近y轴。作业（1）在同一个坐标系中，画出本节学习的5个幂函数图象。注意标出关键点和坐标轴。
(2)
完成练习册相关内容①求定义域④”同增异减”下结论②确定内外函数，求中间量范围③分析内外函数单调性课题：§2.3幂函数
教学目标：
知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
教学重点：
重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创
设
情
境
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：
1．它们的对应法则分别是什么？
2．以上问题中的函数有什么共同特征？
（答案）
1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．
2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数．
生：独立思考完成引例．
师：引导学生分析归纳概括得出结论．
师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．
组
织
探
究
材料一：幂函数定义及其图象．
一般地，形如
的函数称为幂函数，其中为常数．
下面我们举例学习这类函数的一些性质．
作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
[解] 列表（略）
图象
师：说明：
幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．
生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．
师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．
师生共同分析，强调画图象易犯的错误．
环节
教学内容设计
师生双边互动
组
织
探
究
材料二：幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．
生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．
材料三：观察与思考
观察图象，总结填写下表：
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
材料五：例题
[例1]
（教材P92例题）
[例2]
比较下列两个代数值的大小：
（1），
（2），
[例3] 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．
师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．
并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．
生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
尝
试
练
习
1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．
3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．
4．用图象法解方程：
（1）； （2）．
探
究
与
发
现
1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为： ．
2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？
（1）和；
（2）和．
规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．
作业回馈
1．在函数中，幂函数的个数为：
A．0 B．1 C．2 D．3
环节
呈现教学材料
师生互动设计
2．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．
3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．
（1）写出函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．
4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：
（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；
（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．
课
外
活
动
利用图形计算器探索一般幂函数的图象随的变化规律．
收
获
与
体
会
1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？
2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？
课件25张PPT。2.3 幂函数第二章 基本初等函数 (Ⅰ)1.理解幂函数的概念；
2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法；
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 幂函数的概念答案 底数为x，指数为常数.答案一般地， 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.函数y＝xα知识点二 幂函数的图象与性质思考 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x； (3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象.答案填写下表：RRR[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞)RR[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增减增增减减根据上表，可以归纳一般幂函数特征：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ；
(2)α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ；
(3) 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.答案(1,1)原点增下凸上凸α<0小大返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 幂函数的概念例1 已知 是幂函数，求m，n的值.解析答案反思与感悟解析答案A.0 B.1 C.2 D.3y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),
所以常函数y＝1不是幂函数.B类型二 幂函数的图象及应用解析答案反思与感悟则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，
观察图象可得：(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1A.1 B.2 C.3 D.无法确定∴αβ＝1.故选A.A类型三 幂函数性质的综合应用例3 (1)探讨函数 的单调性.解析答案解 的定义域为(0，＋∞).任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x1>0，所以x1－x2<0，所以 在区间(0，＋∞)内是减函数.解析答案(2)若 则a的取值范围是________.解析 由(1)知 在区间(0，＋∞)内是减函数.反思与感悟本例第(2)问是核心问题，第(1)问是铺垫，很多时候，我们会直接面对没有第(1)问的第(2)问，这个时候需要我们主动构造函数，并针对解题需要研究某方面的性质.解析答案跟踪训练3 已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；解 ∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数.解析答案返回解 ∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数.
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，123达标检测 45解析答案C12345答案D12345A.1,3 B.－1,1
C.－1,3 D.－1,1,3答案A123454.下列是 的图象的是( )答案B123455.以下结论正确的是( )
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大
而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限答案D1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.返回§2.3 幂函数
课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．
1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝B．y＝x3
C．y＝2xD．y＝x－1
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为( )
A.B．64
C．2D.
3．下列是y＝的图象的是( )
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )
A．0B．2
C．3D．4
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
8．函数y＝＋x－1的定义域是____________．
9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
三、解答题
10．比较1.、、的大小，并说明理由．
11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
能力提升
12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
13．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、
n互质)时，有：
n
m
y＝的奇偶性
定义域
奇数
偶数
非奇非偶函数
[0，＋∞)
偶数
奇数
偶函数
(－∞，＋∞)
奇数
奇数
奇函数
(－∞，＋∞)
3.幂函数y＝的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．
§2.3 幂函数
知识梳理
1．函数y＝xα 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸
(3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四
作业设计
1．C [根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]
2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]
3．B [y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．]
4．B [作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]
5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c；y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.]
6．B [因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]
7．④
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
8．(0，＋∞)
解析 y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
9．m<－
解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，
故m<－.
10．解 考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵>，∴>.
再考查函数y＝，∵>0，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵1.4>1.1，∴>，
∴>>.
11．解 由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.
12．解 (1)若f(x)为正比例函数，
则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
13．解 设f(x)＝xα，则由题意，得
2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1
