第三章 函数的应用
一、课程要求
本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .
1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.
2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.
3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .
4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.
二、 编写意图和教学建议
1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.
2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.
3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.
4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.
5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .
三、教学内容与课时的安排建议
全章教学时间约需9课时.
3.1 函数与方程 3课时
3.2函数模型及其应用 4课时
实习作业 1课时
小结 1课时
§3.1.1方程的根与函数的零点
一、教学目标
知识与技能
①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
②培养学生的观察能力．
③培养学生的抽象概括能力．
过程与方法
①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．
②让学生归纳整理本节所学知识．
情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
二、教学重点、难点
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
三、学法与教学用具
学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
教学用具：投影仪。
四、教学设想
(一)创设情景，揭示课题
1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
（用投影仪给出）
①方程与函数
②方程与函数
③方程与函数
1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．
生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
互动交流 研讨新知
函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
函数零点的求法：
求函数的零点：
①（代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
①代数法；
②几何法．
2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数的零点：
二次函数
．
（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
3．零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数的图象：
① 在区间上有零点______；
_______，_______,
·_____0（＜或＞＝）．
② 在区间上有零点______；
·____0（＜或＞＝）．
（Ⅱ）观察下面函数的图象
① 在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞＝）．
② 在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞＝）．
③ 在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞＝）．
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？
4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．
生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
（三）、巩固深化，发展思维
1．学生在教师指导下完成下列例题
例1、求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。
问题：
（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
例2．求函数，并画出它的大致图象．
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
2．P88页练习第二题的（1）、（2）小题
（四）、归纳整理，整体认识
请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；
在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。
（五）、布置作业
P88页练习第二题的（3）、（4）小题。
课时提升作业(二十三)
方程的根与函数的零点
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=-x的零点是 ( )
A.2 B.-2 C.2,-2 D.(2,-2)
【解析】选C.令-x=0,得=0,
得x=±2.故函数y=-x的零点是±2.
2.若函数f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点,则 ( )
A.f(1)·f(2)>0 B.f(1)·f(2)=0
C.f(1)·f(2)<0 D.不确定
【解析】选D.当f(x)在区间(1,2)上单调时,f(1)·f(2)<0,当其不单调时,如f(x)=,就没有f(1)·f(2)<0,而是f(1)·f(2)>0,但f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点.
3.(2018·梅州高一检测)下列图象表示的函数中没有零点的是 ( )
【解题指南】由函数零点的意义可得:
函数没有零点?函数的图象与x轴没有交点.
【解析】选A.由图象可知,只有选项A中的函数图象与x轴无交点.
4.若x0是方程lgx+x=2的解,则x0属于区间 ( )
A.(0,1) B.(1,1.25)
C.(1.25,1.75) D.(1.75,2)
【解析】选D.构造函数f=lgx+x-2(x>0),
则函数f的图象在(0,+∞)上是连续不断的一条曲线,
又因为f(1.75)=f=lg-<0,
f=lg2>0,所以f·f<0,
故函数的零点所在区间为(1.75,2),
即方程lgx+x=2的解x0属于区间(1.75,2).
【补偿训练】函数f=2x+3x的零点所在的一个区间是 ( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
【解析】选B.由题意可知f(-2)=-6<0,f(-1)=-3<0,f=1>0,
f>0,f(-1)·f(0)<0,因此在区间(-1,0)上一定有零点.
5.(2018·赤峰高一检测)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a
A.a<αC.α【解析】选C.f(a)=-2,f(b)=-2,而f(α)=f(β)=0,如图所示,
所以a,b,α,β的大小关系是α二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·十堰高一检测)函数f(x)=的零点是 .
【解析】令=0,即x2-4=0且x-2≠0,解得x=-2,故函数的零点为-2.
答案:-2
【误区警示】本题易认为函数的零点有两个,即由x2-4=0求出x=±2.
7.对于方程x3+x2-2x-1=0,有下列判断:
①在(-2,-1)内有实数根;
②在(-1,0)内有实数根;
③在(1,2)内有实数根;
④在(-∞,+∞)内没有实数根.
其中正确的有 .(填序号)
【解析】设f=x3+x2-2x-1,
则f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0,f=-1<0,
f=-1<0,f=7>0,
则f(x)在(-2,-1),(-1,0)(1,2)内均有零点,即①②③正确.
答案:①②③
【补偿训练】若函数f=2x2-ax+8只有一个零点,则实数a的值等于 .
【解析】因为函数f=2x2-ax+8只有一个零点,
即方程2x2-ax+8=0只有一个解,
则Δ=a2-4×2×8=0,解得a=±8.
答案:±8
8.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是 (填序号).
x
-1
0
1
2
3
f(x)
-0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
①(-1,0); ②(0,1); ③(1,2); ④(2,3).
【解析】令F(x)=f(x)-g(x),F(-1)=-0.147<0,
F(0)=-0.44<0,F(1)=0.542>0,
F(2)=0.739>0,F(3)=0.759>0,
所以F(0)·F(1)<0,
所以f(x)=g(x)有实数解的区间是②.
答案:②
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列函数的零点.
(1)f=-6x2+5x+1.
(2)f=x3+1.
(3)f=.
【解析】(1)因为f=-6x2+5x+1=-(6x+1)(x-1),令-(6x+1)(x-1)=0,解得x=-或x=1,
所以f=-6x2+5x+1的零点是-和1.
(2)因为f=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1,
所以f=x3+1的零点是-1.
(3)因为f==,
令=0,解得x=-1,
所以f=的零点是-1.
10.(2018·九江高一检测)已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点.
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
【解析】(1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,可解得m<.
由Δ=0,可解得m=;
由Δ<0,可解得m>.
故当m<时,函数有两个零点;
当m=时,函数有一个零点;当m>时,函数无零点.
(2)因为0是对应方程的根,有1-m=0,可解得m=1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
【解析】选C.因为Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.
2.(2018·海口高一检测)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1003个,则f(x)的零点的个数为 ( )
A.1003 B.1004 C.2006 D.2007
【解题指南】利用函数为奇函数,则其图象关于原点对称,又f(0)=0,故可判断该函数图象与x轴交点的个数.
【解析】选D.因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内有1003个零点,所以在(-∞,0)上也有1003个零点,
又因为f(0)=0,所以共有2006+1=2007个零点.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·玉林高一检测)函数f(x)=-的零点个数为 .
【解题指南】利用函数与方程思想,把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题,再转化为求两个函数图象的交点个数问题.
【解析】函数f(x)=-的零点个数,是方程-=0的解的个数,
即方程=的解的个数,
也就是函数y=与y=两图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图可得交点个数为1个.
答案:1
【补偿训练】函数f=lnx-x+2(x>0)的零点个数是 .
【解析】取g=lnx,h=x-2,(x>0)
则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点的横坐标,如图:
由图可知两函数的图象有两个交点,故原函数有两个零点.
答案:2
4.若函数f=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数g(x)=ax与函数h(x)=x+a交点的个数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,01.
答案:(1,+∞)
【补偿训练】已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3有两个零点,一个大于1,一个小于1,则实数m的取值范围为 .
【解析】y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3,
如图,有两种情况.
第一种情况,此不等式组无解.
第二种情况,解得-2综上,m的取值范围是-2答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·南京高一检测)若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数k的取值范围.
【解析】令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,
由图象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,
即解得
因此实数k的取值范围为.
【补偿训练】1.已知函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,讨论a为何值时,
(1)函数有一零点.(2)函数有一正一负两零点.
【解题指南】对a分类讨论求解.
【解析】(1)①当a=0时,f(x)=0即为-2x-1=0,则x=-,符合题意;
②当a≠0时,函数为二次函数,若函数有一零点,则Δ=12a+4=0,解得a=-.
故当a=0或a=-时,函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有一零点.
(2)若函数有一正一负两零点,则a≠0且Δ=12a+4>0,且a(a-1)<0,解得0故当02.讨论函数f=(ax-1)(x-2)(a∈R)的零点.
【解析】当a=0时,函数为f(x)=-x+2,则其零点为2.
当a=时,则(x-2)=0,解得x1=x2=2,则其零点为2.
当a≠0,且a≠时,则(ax-1)(x-2)=0,解得x=或x=2,其零点为和2.
6.(2018·南昌高一检测)已知函数f(x)=ax2-4x+2.
(1)若f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
(2)已知a≤1,若函数y=f(x)-log2在区间[1,2]内有且只有一个零点,试确定实数a的取值范围.
【解析】(1)因为f(2-x)=f(2+x),
所以f(x)的对称轴为x=2,
即-=2,即a=1.所以f(x)=x2-4x+2.
(2)因为y=f(x)-log2=ax2-4x+5-log2x,
设r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x(x∈[1,2]),
则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点,
当a=0时,r(x)=-4x+5在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点.
当a<0时,r(x)图象开口向下,对称轴为x=<0,
所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,
则由??-1≤a≤1,
所以-1≤a<0.
当0所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,
则由??-1≤a≤1,
所以0综上所述,实数a的取值范围为[-1,1].
课件24张PPT。3.1.1 方程的根与函数的零点第1课时中外历史上的方程求解 《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法。 19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。无实数根无交点一、基础知识讲解OOO 上述方程的不相等的根的个数和对应的函数图象与 x 轴交点的个数相同。 方程f(x)=0的实数根就是相应函数图象与x轴的交点的横坐标.无交点二次方程的根和二次函数图象与x轴交点的关系没有实数根有两个不等的实根有两个相等的实根一、基础知识讲解OOO函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点方程 f(x)=0 有实数根 方程f(x)=0的实数根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标.2、有关函数与方程的三个等价关系：函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点1、零点的定义： 对于函数 y=f(x) ，我们把使 f(x)=0 的 实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点。函数 y=f(x) 有零点一、基础知识讲解思考：零点是不是一个点？方程 f(x)=0 有实数根由此可见:确定函数y=f(x)的零点的两种途径
(1)解方程 f(x)=0； (2)画图求与 x 轴的交点的横坐标零点不是点，是实数零点不是点，是数三、基础知识讲解有没有有没有-+-+则函数在区间(a,b)
内有零点f(a)×f(b) <0思考：能充分保证有零点吗？连续不断O1 2 3-2 -13、零点存在性定理：
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。三、基础知识讲解则在下列哪个区间内函数 f(x) 一定存在零点 （ ）3、零点存在性定理：
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。三、基础知识讲解B确定函数零点途径：(1)解方程 f(x)=0；
(2)画图求与x轴交点的横坐标 (3)利用零点存在性定理判断3、零点存在性定理：
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) · f(b)<0 ？三、基础知识讲解3、零点存在性定理：
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。三、基础知识讲解思考2：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且有 f(a) · f(b)>0 ，是否可以判断函数y=f(x) 在 (a,b) 内没有零点？3、零点存在性定理：
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。三、基础知识讲解三、基础知识讲解A、B、C、D、四、例题分析四、例题分析四、例题分析五、基础知识讲解 1.函数f(x)=x2- 3x+2的零点是（ ）
A.(1,0) B.(2,0) C.(1,0) D.1,2 D 2.已知函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)
在区间(a,b)内（ ）
A.一定有零点 B.一定没有零点
C.可能有两个零点 D.至多有一个零点C六、针对性练习4函数 y =f (x) 有零点函数 y =f (x) 的图象与 x 轴有交点2、三个等价关系：方程 f (x)=0 有实数根3、零点存在性定理七、课堂小结1、函数的零点：对于函数 y=f (x) ，使 f (x)=0的实数x叫做函数y=f (x)的零点 七、课堂小结作业：练习册
P55 题型一，题型二，题型三
P87 第1-6
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点
教学目标：
知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法 零点存在性的判定．
情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点：
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设置
师生双边互动
创
设
情
境
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
方程与函数
方程与函数
方程与函数
师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．
生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．
师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
组
织
探
究
函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
函数零点的求法：
求函数的零点：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．
生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：
代数法；
几何法．
二次函数的零点：
二次函数
．
１）△＞０，方程有两不等
师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．
环节
教学内容设置
师生双边互动
组
织
探
究
实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数的图象：
在区间上有零点______；
_______，_______,
·_____0（＜或＞）．
在区间上有零点______；
·____0（＜或＞）．
（Ⅱ）观察下面函数的图象
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞）．
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．
生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．
师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．
生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．
师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
环节
教学内容设置
师生互动设计
例
题
研
究
例1．求函数的零点个数．
问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
例2．求函数，并画出它的大致图象．
师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
尝
试
练
习
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
探
究
与
发
现
1．已知，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．
2．设函数．
（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；
（2）当时，函数的零点是怎样分布的？
环节
教学内容设置
师生互动设计
作
业
回
馈
教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
求下列函数的零点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：
（1）；
（2）．
已知：
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．
求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）
课
外
活
动
研究，，
，的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．
考虑列表，建议画出图象帮助分析．
收
获
与
体
会
说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．
课件22张PPT。3.1.1 方程的根与函数的零点第三章 3.1 函数与方程1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系；
2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数的零点概念思考 函数的“零点”是一个点吗？答案答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的 .
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0 ?函数y＝f(x)的图象 ?函数y＝f(x) .f(x)＝0零点有实数根与x轴有交点有零点知识点二 零点存在定理答案答案一般地，有函数零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 ，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根.连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)＝0返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 求函数的零点例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为____________.解析答案解析 由(lg x)2－lg x＝0，
得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，
∴x＝1或x＝10.x＝1或x＝10反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.解析答案跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________.解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).
可知零点为±1，－2,3，共4个.4类型二 判断函数的零点所在的区间例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )解析答案A.(－1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.C反思与感悟在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.解析答案跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点.
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.2类型三 判断函数零点个数例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.解析答案反思与感悟解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在
(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和
g(x)＝lg (x＋1)的草图.由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点.反思与感悟判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.解析答案跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数.解 方法一 由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点.
函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，
观察两图象的交点个数得出结论.
也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数.返回123达标检测 45答案1.函数y＝x的零点是( )
A.(0,0) B.x＝0
C.x＝1 D.不存在B123452.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3答案C123453.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案C123454.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )答案D12345答案B1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.返回3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
与x轴交点个数
____个
____个
____个
方程的根
____个
____个
无解
2.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．
3．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0__________?函数y＝f(x)的图象______________?函数y＝f(x)__________．
4．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．0个B．1个
C．2个D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，－B．0，
C．0,2D．2，－
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
5．函数f(x)＝零点的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
三、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
能力提升
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的
解的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
知识梳理
1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0
作业设计
1．C [方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C [对于选项A，可能存在根；
对于选项B，必存在但不一定唯一；
选项D显然不成立．]
3．A [∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
4．C [∵f(x)＝ex＋x－2，
f(0)＝e0－2＝－1<0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]
5．C [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R上有2个零点．]
6．A [设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)?b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.]
7．3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx－x＋2有2个零点．
9．1
解析 设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明 设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－12．C [由已知得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．]
13．解 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即
∴