§3.1.2用二分法求方程的近似解
一、教学目标
知识与技能
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
过程与方法
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、 教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?
三、 学法与教学用具
想－想。
教学用具：计算器。
四、教学设想
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程 ㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．
生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。
2．为什么由︱a － b ︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：
0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；
由于︱a － b ︳＜，所以
︱x0 － a ︳＜b－a＜,︱x0 － b ︳＜∣ a－b∣＜,
即a或b 作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。
㈢、巩固深化，发展思维
学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）
问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
师：引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．
（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
本节我们学过哪些知识内容？
你认为学习“二分法”有什么意义？
在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（五）、布置作业
P92习题3.1A组第四题，第五题。
课时提升作业(二十四)
用二分法求方程的近似解
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是 ( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
【解题指南】观察图象,与x轴交点的两侧符号相同时不能用二分法求零点.
【解析】选C.观察图象可知:点x3的附近两旁的函数值都为负值,所以点x3不能用二分法求,故选C.
2.下列函数不能用二分法求零点的是 ( )
A.f(x)=3x-2 B.f(x)=log2x+2x-9
C.f(x)=(2x-3)2 D.f(x)=3x-3
【解析】选C.因为f(x)=(2x-3)2≥0,所以不能用二分法求零点.
【补偿训练】下列函数零点不能用二分法求解的是 ( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=-x2+2x+2
【解析】选C.对于C,f(x)=(x+1)2≥0,不能用二分法.
3.(2018·本溪高一检测)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为 ( )
A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4
【解析】选B.因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,
所以零点在区间(0.68,0.72),|0.72-0.68|=0.04<0.1,零点在区间[0.68,0.72]内,故只有B选项符合要求.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2018·四平高一检测)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.57 50)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈-0.029
f(1.550 0)≈-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为 .
【解析】注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003,显然f(1.5562)·f(1.5625)<0,且=0.0063<0.01,
故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.5625或1.5562.
答案:1.5625(或1.5562)
【补偿训练】在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,
f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为
(精确度0.1).
【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,
所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解.
答案:0.75(或0.6875)
5.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0且a≠1).当2
【解析】因为函数f(x)=logax+x-b(2在(0,+∞)上是增函数,
f(2)=loga2+2-bf(3)=loga3+3-b>logaa+3-b=4-b>0,
所以x0∈(2,3)即n=2.
答案:2
三、解答题
6.(10分)(2018·南京高一检测)在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km的线路,电线杆的间距为100m.如何迅速查出故障所在呢?
【解题指南】利用二分法,将线路不断一分为二,最终缩小到100m之内,即可查出故障所在.
【解析】如图所示,首先从AB线路的中点C开始检查,当用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,判定故障在BC;再到BC段中点D检查,这次发现BD段正常,可见故障出在CD段;再到CD段中点E来检查……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半.要把故障可能发生的范围缩小到100m之内,查7次就可以了.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·银川高一检测)在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是 ( )
A.[1,4] B.[-2,1]
C.[-2,2.5] D.[-0.5,1]
【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],
所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4],
第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项D在其中.
2.(2018·东营高一检测)已知函数f(x)的一个零点x0∈(2,3),在用二分法求精确度为0.01的x0的一个值时,判断各区间中点的函数值的符号最少要 ( )
A.5次 B.6次 C.7次 D.8次
【解析】选C.区间长度为1,每次长度缩小一半,注意到>0.01,>0.01,<0.01,因此判断各区间中点的函数值符号最少7次.
【延伸探究】若将函数y=f(x)的零点所在的区间改为在[0,1]内,欲使零点的近似值的精确度达到0.01,则用二分法取中点的次数的最小值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选B.因为=0.015625,=0.0078125,所以至少要取7次中点,区间的长度才能达到精确度要求.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知f(x)图象是一条连续的曲线,且在区间(a,b)内有唯一零点x0,用“二分法”求得一系列含零点x0的区间,这些区间满足(a,b)?(a1,b1)?(a2,b2)?…? (ak,bk),若f(a)<0,f(b)>0,则f(ak)的符号为 .(填“正”,“负”,“正、负、零均可能”)
【解题指南】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题,直接根据二分法的定义即可得到结论.
【解析】因为f(a)<0,f(b)>0,
要想一步步进行下去,直到求出零点,
按二分法的的定义可知,f(ak)<0.
如果f(ak)为0的话,零点就是ak,应该是左闭区间;
如果f(ak)为正的话,零点应该在(ak,bk)的前面那个区间内.
答案:负
4.(2018·滁州高一检测)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162
f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.1)为 .
【解析】因为=0.0625<0.1,所以在区间内的任何一个值都可以作为x3+x2-2x-2=0的一个近似解,故方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解可取为1.4375或1.375.
答案:1.4375(或1.375)
【补偿训练】下面是连续函数f(x)在上一些点的函数值:
x
1
1.25
1.375
1.406 5
1.438
1.5
1.625
1.75
1.875 2
f(x)
-2
-0.984
-0.260
-0.052
0.165
0.625
1.982
2.645
4.356
由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为 .(精确度0.1)
【解析】由题中表格对应的数值可得函数零点必在区间(1.4065,1.438)上,由精确度可知近似解可取为1.438或1.4065.
答案:1.438(或1.4065)
三、解答题
5.(10分)(2018·株洲高一检测)已知函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).
【解题指南】由函数在(-1,+∞)上单调递增,故在(0,+∞)上也单调递增,可先判断出f(x)=0的正根最多有一个,然后选用二分法逐次计算求解.
【解析】由于函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增,
因此f(x)=0的正根最多有一个.
因为f(0)=-1<0,f(1)=>0,
所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区间
中点值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
-0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
-0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
-0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)
因为=0.0078125<0.01,所以方程的根的近似值为0.2734375,即f(x)=0的正根约为0.2734375.
【补偿训练】利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解.(精确度0.1)
【解析】设f=lgx+x-3,在同一坐标系中,作出y=lgx和y=3-x的图象,如图所示,观察图象可以发现lgx=3-x有唯一解x1,且x1∈,f<0,利用二分法,可列下表:
区间
中点值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
-0.102 059 991
(2.5,3)
2.75
0.189 332 694
(2.5,2.75)
2.625
0.044 129 308
(2.5,2.625)
2.562 5
-0.028 836 126
(2.562 5,2.625)
由于|2.625-2.5625|=0.0625<0.1,
所以原方程的近似解可取2.5625.
【拓展延伸】数形结合思想在求方程近似解中的妙用
(1)求解形如f(x)=g(x)的根时,通过在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,观察交点位置,可以得到方程的近似解所在的区间.
(2)可以利用函数的单调性等,分析函数图象交点的个数,从而指导我们利用计算器列函数对应值表时,有针对性地对变量取值.
(3)借助方程求交点,利用图象求近似解是数形结合思想的重要体现.
课件17张PPT。3.1.1 方程的根与函数的零点（第2课时）3、零点存在性定理：
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) · f(b)<0 ？三、基础知识讲解3、零点存在性定理：
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。三、基础知识讲解思考2：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且有 f(a) · f(b)>0 ，是否可以判断函数y=f(x) 在 (a,b) 内没有零点？3、零点存在性定理：
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。三、基础知识讲解注2：该定理只能解决存在零点，不一定唯一
若需要证明有唯一零点，还需要确保函数为
单调函数。四、例题分析四、例题分析四、例题分析五、基础知识讲解 1.函数f(x)=x2- 3x+2的零点是（ ）
A.(1,0) B.(2,0) C.(1,0) D.1,2 D 2.已知函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)
在区间(a,b)内（ ）
A.一定有零点 B.一定没有零点
C.可能有两个零点 D.至多有一个零点C六、针对性练习4三、二次函数零点分布与系数关系三、二次函数零点分布与系数关系三、二次函数零点分布三、二次函数零点分布81三、二次函数零点分布问题课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创
设
情
境
材料一：二分查找(binary-search)
（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（? ）个单元。
Ａ．1000 Ｂ．10 ? Ｃ．100 ? Ｄ．500
二分法检索（二分查找或折半查找）演示．
材料二：高次多项式方程公式解的探索史料
由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．
师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．
生：体会二分查找的思想与方法．
师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．
组
织
探
究
二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间，，验证·，给定精度；
2．求区间，的中点；
3．计算：
师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．
分析条件
“·”、“精度”、“区间中点”及“”的意义．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
组
织
探
究
若=，则就是函数的零点；
若·<，则令=（此时零点）；
若·<，则令=（此时零点）；
4．判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．
生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．
师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．
例题解析：
例1．求函数的一个正数零点（精确到）．
分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．
解：（略）．
注意：
第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；
建议列表样式如下：
零点所在区间
中点函数值
区间长度
[1，2]
>0
1
[1，1.5]
<0
0.5
[1.25，1.5]
<0
0.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
例2．借助计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到）．
解：（略）．
思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？
结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．
师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．
生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．
师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．
生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
探
究
与
发
现
函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．
用二分法求函数的变号零点
二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
尝
试
练
习
教材P106练习1、2题；
教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
求方程的解的个数及其大致所在区间；
求方程的实数解的个数；
探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．
作
业
回
馈
教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；
提高作业：
已知函数
．
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？
（2）如果函数的一个零点在原点，求的值．
借助于计算机或计算器，用二分法求函数
的零点（精确到）；
用二分法求的近似值（精确到）．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
课
外
活
动
查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．
收
获
与
体
会
说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；
谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？
课件28张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近
似解第三章 3.1 函数与方程1.理解二分法的原理及其适用条件；
2.掌握二分法的实施步骤；
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 二分法的原理思考 上节课，我们已经知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？答案答案 ①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内.二分法的概念：
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 .答案f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点方程的近似解知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点 ；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则 ；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈ )；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈ ).
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).答案f(a)·f(b)<0cc就是函数的零点(a，c)(c，b)知识点三 精确度与运算次数思考1 “精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗？答案答案 不一样.比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34).若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.返回答案思考2 如果给定零点所在的初始区间[a，b]与精确度ε，如何估算二分次数？题型探究 重点难点 个个击破类型一 二分法求零点近似值例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解.(精确度0.1)解析答案反思与感悟解析答案解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，
说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，
用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1,1.5).反思与感悟再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.437 5.反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.解析答案跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点.(精确度0.01)解析答案解 经试算f(1)<0，f(1.5)>0，
所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5).
如果继续下去，如下表：因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.类型二 二分法的应用解析答案反思与感悟解析答案由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：反思与感悟由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01，反思与感悟“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.解析答案跟踪训练2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解，精确度为0.01.返回解析答案解 考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.
经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解.
如此下去，得到方程2x3＋3x－3＝0有解区间的表.至此，我们得到，区间[0.734 375,0.742 187 5]的区间长度为0.007 812 5，它小于0.01，
因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解.所以可取一个近似解为0.734 375.返回123达标检测 45答案D123452.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )答案A123453.方程2x－1＋x＝5的根所在的区间( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)答案C12345答案B12345答案B1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号.返回3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.
4.二分法的实施步骤可以概括为一段口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办？精确度上来判断.3．1.2 用二分法求方程的近似解
课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________________________________________________________．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点____；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则________________；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈________)；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈________)．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
一、选择题
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2007)<0，f(2008)<0，f(2009)>0，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点
B．函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点
C．函数f(x)在(2008,2009)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]
⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
三、解答题
10．确定函数f(x)＝＋x－4的零点所在的区间．
11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)
能力提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为( )
A．0B．1C．3D．4
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．
3．1.2 用二分法求方程的近似解
知识梳理
1．f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解
2．(1)f(a)·f(b)<0 (2)c (3)①c就是函数的零点 ②(a，c)
③(c，b)
作业设计
1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
2．A [由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]
3．D
4．B [∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.
又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]
5．C [设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，
f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]
6．B [∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]
7．③④⑤
8．[2,2.5)
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
9．0.75或0.6875
解析 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，
所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．
10．解 (答案不唯一)
设y1＝，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
11．证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.16<0，
f(1.1875)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.1875,1.25)．
∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，
∴1.1875可作为这个方程的实数解．
12．A [∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]
13．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；
第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
