课件21张PPT。21.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法二次根式的乘法法则
积的算术平方根的性质计算：
(1)
(2) 观察计算的结果，你能发现什么？试一试1知识点二次根式的乘法法则思 考
从计算的结果我们发现：
这是什么道理呢？用计算器分别计算一下，看看两者是否相等，你能说出道理吗？事实上，根据积的乘方法则，有
并且
所以 是2×3的算术平方根，即法则：一般地，有 这就是说，两
个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．
2. 要点精析：(1)法则中被开方数a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负数；
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为根号外因数(式)，被开方数之积作为被开方数；
(3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；
(4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．3. 拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：
(2)几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．注意：在上式中，a、b都表示非负数.在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数.例1 计算：
(1) (2)
解：例2 计算：
(1) (2)
(3) (4)
导引：(1)(2)两题直接利用公式
计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二
次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相乘，
同时注意确定积的符号．(1)
(2)
(3)
(4)解：(1) 两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方
的一定要开方；
(2) 当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式
相乘的法则进行运算，如
（b ≥ 0 ,d ≥ 0）即将根号外的因数(式)a、c相乘，
被开方数b、d相 乘． ＝________等式 成立的条件是( )
A．x≥1 B．－1≤x≤1
C．x≤－1 D．x≤－1或x≥1
2知识点积的算术平方根的性质 上面得到的等式 也可
以写成性质： 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．要点精讲： （1）积的算术平方根的性质的实质是逆用
二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方
根同样适用；
（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件是乘积中的每
个因数(式)必须是非负数；应用此性质的作用是化简
二次根式；
（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数(式)分解，
然后将能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外．例3 化简 使被开方数不含完全平方的因数. 解： 这里，被开方数12＝22×3，含有完全平方的因数22，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用 (a≥0)，将这个因数“开方”出来．例4 化简：导引：二次根式乘法运算化简的目的：转化为没有二
次根式的乘法运算，且将二次根式被开方数中
能开得尽方的因数(式)从根号中开出来． 解： (1)方法一：
方法二：
二次根式的乘法运算过程的实质是二次根式的乘法法则 的正用与逆用的一个综合过程，它不仅是简单地将两个被开方数相乘，而且更重要的是将所得的积化简，因此解形如 的过程如下：
方法一：
方法二：
当被开方数是数时，用方法二更简便1 下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
计算：
运用二次根式的乘法法则时注意被开方数都必须是非负
数，否则公式不成立．
逆用公式时必须将被开方数(式)进行因数(式)分解，再进
行计算，将开得尽方的因数(式)移到根号外．化简时注意
题目中隐含的条件．
3．把根号外的因式移到根号内的方法：先要根据题意确定根
号外因式的符号，当根号外因式的符号为正时，直接平方
后移到根号内，当根号外因式的符号为负时，只能将正因
式平方后移到根号内，负号留在根号外．课件25张PPT。21.2 二次根式的乘除第2课时 二次根式的除法二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
最简二次根式 两个二次根式相除，怎样进行运算呢？
商的算术平方根又等于什么？试参考上面
的研究，和同伴讨论，提出你的见解．讨论1知识点二次根式的除法法则概 括一般的，有
____
这就是说，两个算术平方根的商，等于______
______________________________________．这里为什么要求法则：一般地，有 (a≥0，b＞0)．这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根．
2. 要点精析： (1)法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的且b不为0；
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算；将根号外因数(式)之商作为根号外商的因数(式)；被开方数之商作为被开方数．
易错警示：(1)在 (a≥0，b＞0)中，特别注意b＞0，
若b＝0，则代数式无意义；
(2) 二次根式的运算结果要尽量化到最简；
(3) 如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数；以免出现类似 这样的错误；
(4) 如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．例1 计算：
(1) (2)
解：题(2)也可先将分子化简为 从而容易算得结果．例2 计算：
(1) (2) (3)
(4)
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；
(2)(4)要注意根号外的因数与因数相除，同时
要注意结果的符号；(3)进行计算时需先把带
分数化成假分数．解：(1)
(2)
(3)
(4) 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简． 计算 的结果是__________．
成立的条件是( )
A．a≠1 B．a≥1且a≠3
C．a＞1 D．a≥3
性质： 这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
要点精析：(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则；
(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；
(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分母中的根号化去．2知识点商的算术平方根的性质分母有理化：
(1)定义：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘
以一个恰当的二次根式就可以了，通常这种化简过程
称为分母有理化；
(2)依据：分式的基本性质及
(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
拓展：(1)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，
如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为
有理化因式；(2)常用的有理化因式：
例3 化简 使分母中不含二次根式，并且被开方
数中不含分母． 解： 这里，二次根式 的被开方数中含有分
母，通常可利用分数(或分式)的基本性质将分
母“配”成完全平方，再“开方”出来．例4 将下列各式化简：导引： (1) 先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；
(2) 需要将分子、分母同时乘以2，将分母化成一个
完全平方数，然后应用性质化简；
(3) 方法一，先用性质 化简，再
分母有理化；方法二，先将被开方数的分子、分母
同乘以a，再应用 进行化简． 解：(3) 方法一：
方法二：
利用商的算术平方根化简二次根式的方法：
（1）若被开方数的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接
利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别开平
方，然后求商；
（2）若被开方数的分母不是完全平方数(式)，可根据分式的
基本性质，先将分式的分子、分母同时乘以一个不等于0
的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用
商的算术平方根进行化简．1 下列各式计算正确的是( ) 2 下列结果正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1. 定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方
数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像 这样
的二次根式称为最简二次根式．
要点精析：最简二次根式必须满足：(1) 被开方数不
含分母，也就是被开方数必须是整数(式)； (2) 被开
方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；即每个因
数(式)的指数都是1.3知识点最简二次根式2. 将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：
(1) “一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中
的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置
上；
(3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的
分母．例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不 是 最
简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．导引： 根据最简二次根式的定义进行判断．解： (1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．
(2)是最简二次根式．
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有
分母)．（4）不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开
得尽方的因数4，4＝22.
（5）不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x
＋9)＝x(x＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因
式．判断一个二次根式是最简二次根式的方法：
利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：
(1) 被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个
因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备分母中不
含二次根式．1 下列式子为最简二次根式的是( )2 计算: 1. 运用二次根式的除法法则时，一是注意成立的条件，二是结果一定要化为最简二次根式或整式．
2．逆用二次根式的除法法则时，一是注意成立的条件，
二是注意二次根式有意义的隐含条件．
3．进行二次根式混合运算时要注意运算顺序．
