22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件（19张PPT）
文档属性
| 名称 | 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件（19张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 418.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-16 15:17:53 | ||
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文档简介
课件19张PPT。一元二次方程的根与系数的关系22.2 一元二次方程的解法第22章 一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系的应用求出一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根x1和x2，计算x1＋x2和x1·x2的值．它们与方程的系数有什么关系？试一试方程x2＋3x－4＝0的两根为x1＝1，x2＝－4，
于是x1＋x2＝－3，x1·x2＝－4.
我们发现：这个方程的二次项系数为1，它的两根之和－3等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项－4.换几个一元二次方程再试试，结果怎样？ 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？1知识点一元二次方程根与系数的关系
探究：我们来考察方程 x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)．由一
元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
1. 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，
那么 x1＋x2＝－p， x1·x2＝q.例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋3x－5＝0；(2)2x2－3x－5＝0.解： (1) 设两根为x1、x2，由上述二次
项系数为1的一元二次方程根与
系数的关系，可得
x1＋x2＝－3，x1·x2＝－5. (2) 方程两边同除以2，得
设两根为x1、x2，可得
例2 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2－
4ac≥0)的根与系数的关系．解：方程两边同除以a，得
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，
可得
这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关
系，前面概括的结论是它的特征(二次项系数为1)．
利用这个结论，我们可以直接写出例8中题(2)的答案：一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0)，当b2－4ac≥0时，
方程有实数根，设这两个实数根分别为x1、x2，这
两个根与系数的关系是
要点精析：(1) 一元二次方程的根与系数的关系成立的前
提条件是二次项系数不为0和方程有实数根．
(2) 根与系数的关系刻画了一元二次方程的两根和、
两根积与系数a、b、c之间的关系．例3 不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积.
(1) x2－5x＋2＝0；(2) 4x2－2x－7＝0；
(3) 3x2＋10＝2x2＋8x.
解：导引：根与系数的关系是建立在方程有根的前提条件下的；
系数是方程化为一般形式后的系数．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则
的值是( )
A．19 B．25 C．31 D．32知识点一元二次方程根与系数的关系的应用1. 利用根与系数的关系求值：例4 已知关于x的方程 x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个
根是2，求方程的另一个根和p的值．导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和
可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中
p的值．解： 设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.
又∵x1x2＝ ＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.
已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．2. 已知方程两根的关系求方程中待定的字母系数的值：例5 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的两个实数根x1、
x2满足x12＋x22 ＝ 4 ，求k的值．导引：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2
－2x1·x2＝4，然后根据根与系数的关系即可得
到一个关于k的方程，从而求得k的值．解： x12＋x22＝4，
即x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2
＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4
将x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，
代入上式有4k2－2(k2－2k＋1)＝4，
解得k＝1或k＝－3.
当k＝－3时，(2k)2－4(k2－2k＋1)＝－28＜0，
不符合题意舍去，∴k＝1.已知方程两根的关系求待定字母系数的值：
先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，然后将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，求出待定字母的值，求出待定字母的值必须满足根的判别式大于或等于0.若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( )
A．－2 B．2 C．4 D．－3
若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的
两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，
则k的值为( )
A．－1或 B．－1 C. D．不存在1一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1、x2，这两个根与系数的关系是x1＋x2＝
x1·x2＝一元二次方程根与系数的关系的几种常用变形：
(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1； 2
一元二次方程的根与系数的关系的应用求出一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根x1和x2，计算x1＋x2和x1·x2的值．它们与方程的系数有什么关系？试一试方程x2＋3x－4＝0的两根为x1＝1，x2＝－4，
于是x1＋x2＝－3，x1·x2＝－4.
我们发现：这个方程的二次项系数为1，它的两根之和－3等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项－4.换几个一元二次方程再试试，结果怎样？ 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？1知识点一元二次方程根与系数的关系
探究：我们来考察方程 x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)．由一
元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
1. 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，
那么 x1＋x2＝－p， x1·x2＝q.例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋3x－5＝0；(2)2x2－3x－5＝0.解： (1) 设两根为x1、x2，由上述二次
项系数为1的一元二次方程根与
系数的关系，可得
x1＋x2＝－3，x1·x2＝－5. (2) 方程两边同除以2，得
设两根为x1、x2，可得
例2 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2－
4ac≥0)的根与系数的关系．解：方程两边同除以a，得
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，
可得
这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关
系，前面概括的结论是它的特征(二次项系数为1)．
利用这个结论，我们可以直接写出例8中题(2)的答案：一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0)，当b2－4ac≥0时，
方程有实数根，设这两个实数根分别为x1、x2，这
两个根与系数的关系是
要点精析：(1) 一元二次方程的根与系数的关系成立的前
提条件是二次项系数不为0和方程有实数根．
(2) 根与系数的关系刻画了一元二次方程的两根和、
两根积与系数a、b、c之间的关系．例3 不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积.
(1) x2－5x＋2＝0；(2) 4x2－2x－7＝0；
(3) 3x2＋10＝2x2＋8x.
解：导引：根与系数的关系是建立在方程有根的前提条件下的；
系数是方程化为一般形式后的系数．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则
的值是( )
A．19 B．25 C．31 D．32知识点一元二次方程根与系数的关系的应用1. 利用根与系数的关系求值：例4 已知关于x的方程 x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个
根是2，求方程的另一个根和p的值．导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和
可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中
p的值．解： 设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.
又∵x1x2＝ ＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，解得p＝3或p＝－1.
已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．2. 已知方程两根的关系求方程中待定的字母系数的值：例5 方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的两个实数根x1、
x2满足x12＋x22 ＝ 4 ，求k的值．导引：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2
－2x1·x2＝4，然后根据根与系数的关系即可得
到一个关于k的方程，从而求得k的值．解： x12＋x22＝4，
即x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2
＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4
将x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，
代入上式有4k2－2(k2－2k＋1)＝4，
解得k＝1或k＝－3.
当k＝－3时，(2k)2－4(k2－2k＋1)＝－28＜0，
不符合题意舍去，∴k＝1.已知方程两根的关系求待定字母系数的值：
先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，然后将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，求出待定字母的值，求出待定字母的值必须满足根的判别式大于或等于0.若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( )
A．－2 B．2 C．4 D．－3
若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的
两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，
则k的值为( )
A．－1或 B．－1 C. D．不存在1一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1、x2，这两个根与系数的关系是x1＋x2＝
x1·x2＝一元二次方程根与系数的关系的几种常用变形：
(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1； 2