课件18张PPT。22.3 实践与探索用一元二次方程解几何问题规则图形的应用
不规则图形的应用 很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解
决，前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传
播、增长率、营销问题等，本节课我们继续学习利
用一元二次方程解决几何相关问题.1知识点规则图形的应用例1 等腰梯形的面积为160cm2,上底比高多4cm,
下底比上底多16cm，求这个梯形的高.
导引： 本题可设高为x cm，上底和下底都可以用含
x的代数式表示出来.然后利用梯形的面积 公
式来建立方程求解.
解： 设这个梯形的高为 x cm,则上底为（x+4）cm,
下底为(x+20)cm. 根据题意得
整理，得
解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 )
答：这个梯形的高为8cm. 利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题.1某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 学校生物小组有一块长32 m、宽20 m
的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平
行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的
小道．要使种植面积为540 m2，小道的宽
应是多少？问 题（一）请完成本题的解答2知识点不规则图形的应用分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试
作出图22.3.1，不难发现小道的占地面积与位
置无关．设小道宽为x m，则两条小道的面积
分别为 32x m 2和20x m 2，其中重叠部分小正
方形的面积为x2 m2，根据题意，得
32×20－32x－20x＋x2＝540.试一试
如果设想把小道平移到两边，如图22.3.2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，
所列方程是否符合题目要求？处理问
题是否方便些？
在应用一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答．如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所
占面积是封面面积的四分之—，
上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度
(结果保留小数点后一位)?例2 分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩
形的长宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长
和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边
衬与左、右边衬的宽度之比是
＝9(3－a)∶7(3－a)
＝9∶7.设上下边衬的宽为9x cm,左右边衬的宽
为7x cm,依题意得
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右边衬的宽均为 1.4 cm解：思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题？请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解.1如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为( )
A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米2如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
A．1或9
B．3或5
C．4或6
D．3或6求解面积问题的方法：
1. 规则图形，套用面积公式列方程
2. 不规则图形，采用割补的办法，使其成为规则图形，根据面积间的和、差关系求解课件18张PPT。22.3 实践与探索用一元二次方程解营销问题变化率问题
营销策划问题 随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二次方程解决与营销有关的问题.1知识点变化率问题 增长率问题经常用公式 ，a为基
数, b为增长或下降后的数，x为增长率，“n”表
示 n次增长或下降.例1 有雪融超市今年的营业额为280万元，计划后
年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的
百分率？答：平均每年的增长20%解：平均每年增长的百分率为x, 根据题意得：1＋x＝±1.2
x1＝－2.2(舍去) x2＝0.2列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：审、设、列、解、验、答．
一般情况下， “审”不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，才能准确列出方程．例2 两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产
1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的
进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，
生产1 t乙种药品的成本是3 600元．哪种药品成
本的年平均下降率较大？ 分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为
(5 000－3 000)÷2＝1 000(元)，乙种药品成本
的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200(元)．
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降
率(百分数)． 设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲
种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为
5 000(1－x)2元，于是有
5 000(1－x)2＝3 000.
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均
下降率约为22.5%. 乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．
设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000（1 － y ）2=3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%.思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降
额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？
应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
结论：甲乙两种药的平均下降率相同；
成本下降额较大的药品，它的成本下降
率不一定较大.不但要考虑它们的平均下降
额，而且要考虑它们的平均下降率.1某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝3152某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为( )
A．25(1＋x)2＝82.75
B．25＋50x＝82.75
C．25＋25(1＋x)2＝82.75
D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.752知识点营销策划问题 例3 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元, 按
每千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?解： 设每千克核桃应降价x元,则每千克利润(60-40-x)
元,此时可销售(100+20× )千克 ，
根据题意,得 (60-40-x)(100+ 20× )=2240.
化简,得 x2-10x+24=0,
解得x1=4, x2=6
∴每千克核桃应降价4元或6元
∵要尽可能让利于顾客,
∴每千克核桃应降价6元.
此时,售价为60-6=54(元) , ×100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售。列一元二次方程解决利润问题的“一二三”
1.一个相等关系:单件利润×销售数量=总利润.
2.两个量:单件利润、销售数量是较难表示的两个量.
3.三检验:列方程后检验每项意义、检验方程根求解
是否正确、作答前验根是否符合实际.1某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出
此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不
少于3 210元，问第一次降价后至少要售出该种
商品多少件？1. 平均变化率问题常列方程：a(1±x)n=b.
其中a为基数，x为平均增长（降低）率，
n为增长(降低)次数，b为增长(降低)后的量.
2. 解决利润问题常用的关系有：
（1）利润＝售价－进价．
（2）利润率＝ ×100% ＝ ×100%.
（3）售价＝进价(1＋利润率)．
（4）总利润＝单个利润×销售量＝总收入－总支出．课件21张PPT。用一元二次方程解一般应用问题22.3 实践与探索第二十二章 一元二次方程增长率问题
传播问题列方程解应用题的一般步骤是什么？复习回顾1知识点增长率问题某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百
分率．
分析：若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零
售价为原来的(1－x)倍，即56(1－x)元，第二
次降价后的零售价为56(1－x)元的(1－x)倍问 题 (一)设每次降价的百分率为x，根据题意，得
56(1－x)2＝31.5.
解这个方程，得
x1＝0.25，x2＝1.75.
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.75不符合题意．经检验，x＝0.25＝25%.符合本题要求．
答：每次降价的百分率为25%.解：如果增长率中的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长后的数量为a(1＋x)2，第n次增长后的数量为a(1＋x)n.
2．如果下降率中的基数为a，平均下降率为x，则两
次下降后的数量为a(1－x)2.某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？
分析：翻一番，即为原产值的2倍．若设原产值为
1个单位，那么两年后的产值就是2个单位．问 题 （二）如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整
为多少？又如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后
产值翻一番？探索： 例1 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方
有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款
10 000元，第三天收到捐款12 100元．
(1) 如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求
捐款增长率；
(2) 按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能
收到多少捐款？第一天到第三天，实际上是两天的增长，求平均增长率，可用a(1＋x) 2＝b这个增长率的模型求解．导引：(1) 设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100.
解这个方程，得 x1＝0.1＝10%，
x2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：捐款增长率为10%.
(2) 12 100×(1＋10%)＝13 310(元)．
答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到13 310元捐款．解：我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．
若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
A．1.4(1＋x)＝4.5
B．1.4(1＋2x)＝4.5
C．1.4(1＋x)2＝4.5
D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．
已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( )例2 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人
患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 2知识点传播问题审清题意设未知数列方程解方程验根作 答找出已知量、未知量解：设平均一个人传染了x个人．则第一轮后共有（1+x）个人患了流感，第二轮后共有[1+x+x(1+x) ]个人患了流感.依据题意得：1+x+x(1+x)=121.解得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）.平均一个人传染了10个人1. 解决传播类题目关键扣住两点：
一是传染源，二是传染的速度．
若开始时传染源是1，传染的速度是x，则一轮传染后是1＋x; 二轮传染时，传染源为(1＋x)，传染的速度还是x，则二轮传染后是(1＋x)2.
2．类似的分裂问题也要注意两点：
一是分裂源，二是分裂的速度．
若开始时分裂源是1，分裂的速度是x，则一轮分裂后是x; 二轮分裂时，分裂源为x，分裂的速度还是x，则二轮分裂后是：x2. 例3 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，
经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用
学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感
染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染
后，被感染的电脑会不会超过700台？本题属于病毒传染问题，设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则两轮传染后共有(1＋x)2台电脑感染病毒．导引：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，
依题意得：(1＋x)2＝81，
解得 x1＝8, x2＝－10(舍去)．
(1＋x)3＝(1＋8)3＝729>700.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三
轮感染后，被感染的电脑会超过700台．解： 病毒传染问题，每轮传染都保留原体，若传
染源为1，传染的速度为x，则n轮传染后传染源
为(1＋x)n.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝．在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为( )
A．10 B．9
C．8 D．7为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n＝________．列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：
审、设、列、解、验、答．
一般情况下，步骤中的第一步“审”不写出来，但
它是关键的一步，只有审清题意，明确了已知量、
未知量及它们之间的关系，才能准确列出方程．
(2) 设未知数有直接设元和间接设元两种方式，直接设
元就是问什么，设什么；间接设元就是在直接设元
比较困难，或所列方程较复杂时所采用的间接设未
知数的方法．
