23.4 中位线 课件（23张PPT）

课件23张PPT。第23章 图形的相似23.4 中位线三角形的中位线
三角形的重心
中点四边形 在23.3节中，我们曾得到如下结论:
如图, 在△ABC中，DE//BC，则△ADE∽△ABC.
在推理过程中，我们由DE∥BC推得
那么当点D是AB的中点时，利用该比例式容易推知点 E也是AC的中点，并且
现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?
DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？画画看，你能有什么猜想？1知识点三角形的中位线猜 想如图，在△ABC中，点D、E分别是
AB与AC 的中点.根据画出的图形，
可以猜想：
DE // BC,且DE = BC.
对此，我们可以用演绎推理给出证明.在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC
∵∠ADE = ∠ABC,
∴证明：1. 三角形中位线的定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．一个三角形共有3条中位线.
易错警示：三角形的中位线要与三角形的中线严格区别开来，三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，而三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线．
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，它的周长等于原三角形周长的 ，面积等于原三角形面积的 例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为________．直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
所以DE＝ BC＝ ×6＝3(cm)．
3cm导引：证明：连结DE、EF.
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且 等于第三边的一半).
同理可得EF//BA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴ AE、DF互相平分.例2 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相
平分. 已知：如图, 在 △ABC 中，AD =DB，
BE=EC, AF = FC. 求证：AE、DF互相平分. 三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关系的重要依据．当已知线段的中点求某条线段的长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解答．如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个2 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°2知识点三角形的重心如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的
中点，AD、CE相交于点G.求证：例3证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC ， (三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半).
∴△ACG∽△DEG,
∴三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三
条中线的交点．
三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的
连线的长是对应中线长的
例4 如图所示，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交
边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD的面
积为________．导引： 由点G为△ABC的重心可知AD为
BC边上的中线，且DG＝ AD，
故S△ABD＝ S△ABC＝3 cm2，
由△BGD与△ABD同高不等底易
得
故S△BGD＝ S△ABD＝ ×3＝1(cm2)．1cm2 已知三角形的重心求线段的长度或比值时，要准确把握以下几点：
三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线
长的
(2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长
的
(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF
的长为(　　)
A．2 B．1.5 C．3 D．42 给出以下判断：
(1) 线段的中点是线段的重心；
(2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角
形的重心；
(3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；
(4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点．
那么以上判断中正确的有(　　)
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个3知识点中点四边形1. 中点四边形：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
2．常见的中点四边形：
(1) 顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；
(2) 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形；
(3) 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；
(4) 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形；
(5) 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形．如图所示，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
请判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)若四边形EFGH为正方形，则
四边形ABCD的对角线应满足
怎样的条件？(1)由点E，F，G，H分别是各边
的中点可以联想到中位线，故连结AC，把四边形ABCD分成△ABC和△ADC，然后利用三角形的中位线定理判断四边形EFGH的形状；(2)在(1)的基础上结合正方形的判定方法考虑对角线AC，BD应满足的条件．例5 导引：解：(1)四边形EFGH是平行四边形．
理由如下：如图所示，连结AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF＝ AC.
∵G，H分别是CD，DA的中点，
∴GH是△ADC的中位线， ∴GH∥AC，GH＝ AC.
∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)四边形ABCD的对角线应满足：AC⊥BD且AC＝BD. 本题是一道猜想说理题，首先应根据题目给出的条件进行初步推断，然后进行判断，最后对猜想的结论进行推理论证，以证明猜想的正确性．判断中点四边形的形状，关键是三角形中位线定理的运用． 1 求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边
形是平行边形.运用中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法：
当题目中有中点时，特别是有两个中点时，如果
中点都在一个三角形中，直接用中位线定理.如果不在
一个三角形中，就需要作辅助线取某边上的中点，构
造三 角形的中位线，然后利用中位线定理及相关的知
识解决问题.