课件14张PPT。23.3 相似三角形相似三角形的判定
——利用三边关系相似三角形判定定理3
网格上的相似三角形的判定如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？探索1知识点相似三角形判定定理 3 在如图所示的方格图中任画一个三 角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数.画完之后，用量角器 度量并比较两个三角形对应角的大小，你得出了 什么结论？你同伴的结论和你的一样吗？做一做要点精析：由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边
对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应
相等改为三边成比例即可．相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角 形相似.
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
∴△ABC∽△A′B′C′.
试试看，写出这个判断定理的证明过程.例1 在△ABC和△A′B′C′中，AB=6 cm , BC=8 cm ,
AC=10 cm, A′B′=18 cm, B′C′ =24cm , A′C′
=30cm. 试证明△ABC和△A′B′C′相似.证明：∴△ABC∽△ A′B′C′ ，(三边成比例的两个 三
角形相似).若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；
A′B′＝3 cm，B′C′＝4 cm，A′C′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；
A′B′＝3 cm，B′C′＝6 cm，A′C′＝ cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；
A′B′＝ cm，B′C′＝A′C′＝ cm
D．AB＝1 cm，BC＝ cm，AC＝3 cm；
A′B′＝ cm，B′C′＝ cm，A′C′＝ cm已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，
△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下
列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2 cm，3 cm
B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm
D．6 cm，7 cm2知识点网格上的相似三角形的判定例2 图1，图2中小正方形的边长均为1，则图1中的
三角形(阴影部分)与图2中的△ABC相似的是哪
一个图形？解：由勾股定理知AC＝ BC＝2，AB＝
图2(1)中，三角形的三边长分别为
图2(2)中，三角形的三边长分别为
图2(3)中，三角形的三边长分别为
图2(4)中，三角形的三边长分别为
∴图2(2)中的三角形与△ABC相似．导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各
边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来
判断哪个三角形与△ABC相似．利用三角形三边成比例判定两三角形相似的方法：
首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似．
特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．1 如图，四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1)，每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形顶点在小正方形的顶点上)，是相似三角形的为( )
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
2 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”
1．排序：将三角形的边按大小顺序排列；
2. 计算：分别计算它们对应边的比值；
3. 判断：通过比值是否相等判断两个三角形是否相似．课件23张PPT。23.3 相似三角形相似三角形的判定
——利用角的关系用两角对应相等判定两三角形相似
判定两直角三角形相似 我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应边是否成比例，对应角是否相等.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？1知识点用两角对应相等判定两三角形相似 你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要的判定三角形全等的方法.
那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？回 顾 让我们先从最常见的三角尺开始.
观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实是这样吗？ 如图23. 3. 6,任意画两个三角形（可以画在教科书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等.用刻 度尺量一量两个三角形的对应边，看看这两个三角形的边是否对应成比例.你能得出什么结论？和其他同学比较一下，你们的结论都相同吗？探 索我们可以发现，此时它们的边对应成比例，于是这两个三角形相似.1、（1）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两
个三角形相似.
（2）已知:如图23.3.7，在△ABC和△ A 1 B1C1中，
∠ A= ∠ A 1, ∠ B = ∠ B 1. 求证： △ABC ∽△ A 1 B1C1.证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1，
过点D作BC的平行线交AC于点E,则
△ADE∽△ABC
∵DE∥BC
∴ ∠ADE= ∠B.
在△ADE与△A1B1C1 中，
∵∠A=∠A1， ∠ADE= ∠B=∠B1，AD=A1B1,
∴ △ADE≌△A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1 .数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，
∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.2、常见的相似三角形类型：
(1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC.
(2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.(3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
(4) “K”型：如图 (4)，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则
△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，可以称
为“K”型相似．
?例1 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的
垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.
求证：△ABF∽△CAF.导引： 要证△ABF∽△CAF，
∠AFB是公共角，只要再
找一对角相等即可，因为 ∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可得△ABF∽△CAF.证明：∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠3.
∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，
∠1＝∠2，
∴∠B＝∠4.
又∵∠BFA＝∠AFC，
∴△ABF∽△CAF. 当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角(或补角)等．如图所示的三个三角形中，相似的是( )
A．(1)和(2) B．(2)和(3)
C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是( )
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°
C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′
D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，
∠A－∠B＝∠A′－∠B′2知识点判定两直角三角形相似例2 如图，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C 与 ∠C ′
都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°.
∠ A = ∠ A ′ ，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′(两角分别相
等的两个三角形相似). 此时，把直角 算在内，实际上有 两对角对应相等
此例告诉我们，两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似.例3 已知：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为
BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证：AC·CF＝BC·DF.
导引：将待证的等积式化为比例式：
横看：比例式的两
个分子有A，C，D，F四点，
不能构成三角形；
竖看：比例式的左端构成△ABC，比例式的右端构成
△DCF，很明显看出这两个三角形不相似，故需要找一
个中间比来联系证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，
∴CE＝EB＝DE.∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.
∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD.∴∠FDA＝∠ACD.
又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD.∴
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD.
即AC·CF＝BC·DF. “三点定形法”是证明线段等积式或比例式中找相似三角形的最常用且最有效的方法，它就是设法找出比例式或等积式中(或转化后的式子中)所蕴含的几个字母，是否存在可由“三点”确定的两个相似的三角形．
而导引中“横看”与“竖看”是“三点定形法”找相似三角形的常用方法，要做到“一比两用”．1 如图，在△ABC中，BD，CE是高，则与△BOE相似的三角形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( )
A． B． C．5 D．6“三点定形法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长中找相似三角形的最常用的方法，即设法找出比例式或等积式(或变化后的式子)中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角形．通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中．课件16张PPT。23.3 相似三角形相似三角形的判定
——利用边角关系相似三角形的判定定理 2
相似三角形判定定理的应用 观察图, 如果有一点E在边A C上
移动， 那么点E在什么位置时能使
△ADE与△ ABC相似呢？
图中△ADE与△ ABC的一组对应
边AD与AB的长度的比值为 将
点E由点A开始在AC上移动，可以
发现当AE = AC时， △ADE与
△ ABC似乎相似.此时 .1知识点相似三角形的判定定理 2 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.猜 想下面我们来证明上述猜想.
已知：如图，在△ABC和△ A1B1C1中，∠A=∠A1，
求证：△ABC∽△ A1B1C1.证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1， 过点D作
BC的平行线交AC于点E, 则△ADE∽△ABC
∴ AE= A1C1.
在△ADE与△A1B1C1 中，
∵ AD=A1B1 ,∠A=∠A1， AE= A1C1 ，
∴ △ADE≌△A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1 .相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等 的两
个三角形相似.
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
且∠A＝∠A′
∴△ABC∽△A′B′C′.如果相等的角 不是成比例的两边的夹角，那么这两个 三角形还相似吗？
画一画，看看是否不一定相似.易错警示：运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于判定三角形全等的SAS方法．例1 证明图中的△AEB和△FEC相似.证明：又∵∠AEB=∠FEC
∴△AEB∽△FEC，(两边成比例且
夹角相等的两个 三角形相似).已知△ABC如图所示，则与△ABC相似的是( )能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是( )2知识点相似三角形判定定理的应用例2 如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP
＝3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP.
导引： 要证△ADQ与△QCP相似，
已知这两个三角形分别有一
个角为直角，只需证明夹这
对直角的两组对应边成比例
即可．证明：设正方形ABCD的边长为4a，
则AD＝CD＝BC＝4a，
∵Q是CD的中点，BP＝3PC，
∴DQ＝CQ＝ CD＝2a，PC＝a.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.利用两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：
首先找出两个三角形中相等的那个角，再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边，最后看这两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似．如图，已知 AD＝3 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则DE的长为________cm.如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝
1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，
AC＝30米，求M，N两点之间的直
线距离．“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：虽然它们都表示
两个图形相似，但前者对应关系固定，后者对应关系不
固定．
如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不明确时，从
对应角入手，相等的角或公共角为对应角，则夹对应角的
两边成比例，根据对应分两种情况讨论．
