课件28张PPT。24.3 锐角三角函数第2课时 余弦、正切函数余弦函数 正切函数
锐角三角函数间的关系 下面图1和图2中各有一个比较陡的梯子，你能把它们找出来吗？说说你的理由。图1图21知识点余弦 余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝ .【例1】（山东 枣庄）如图1，直径为10的⊙A经过点
C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A上一
点，则cos∠OBC的值为( )
A. B. C. D.
解析：设⊙A与x轴的另一交点为D，连接CD，如图2
所示．∵∠COD＝90°，∴CD为⊙A的直径，
∴CD＝10.∵∠OBC与∠CDO为 所对的圆
周角，∴∠OBC＝∠CDO.∵C(0，5)，∴OC
＝5.在Rt△CDO中，CD＝10，OC＝5，根据
勾股定理得：OD＝
∴cos∠OBC＝cos∠CDO＝
故选B.B图1图2 本题运用构造法得到直角三角形，然后运用圆周角定理的推论，勾股定理以及三角函数的定义解答． 1 (温州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5，BC＝3，那么cos A的值等于( )
A. B. C. D.在△ABC中，若三边BC,CA,AB满足BC:CA:AB=5：
12：13，则cos B的值是( )
A. B. C. D.3．(乐山)如图，已知△ABC的三个顶点均在格点
上，则cos A的值为( )
A. B. C. D.2知识点正切函数如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子
的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的
比，也能说明梯子的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？
（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
（2） 和 有什么关系？
（3）如果改变B2在梯子上的位置呢？
由此你能得出什么结论？ 正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记做tan A，即tan A＝ ．【例2】如图24.3.3，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC
＝15，BC＝8.试求出∠A的三个三角函数值.
解：【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对
边分别为a，b，c，请根据下列条件分别求出∠A
的三个三角函数值：(1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，
c＝ .导引：锐角三角函数揭示了直角三角形的三边关系，
所以先利用勾股定理求出未知边的长度，然
后根据定义求∠A的三角函数值．
解：(1)如图，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，a＝6，b＝8，
∴
∴
(2)如图，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，b＝2，c=
∴
∴
已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求三角函数值．1．(包头)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB
是直角边BC的3倍，则tan B的值是( )
A. B. 3 C. D.2. (中考·鄂州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan B＝
( )
A. B. C. D.3．(烟台)如图，BD是菱形ABCD的对角线，
CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是AB的中点，
则tan ∠BFE的值是( )
A. B. 2 C. D.3知识点锐角三角函数间的关系1.同角的正弦、余弦、正切的关系：同角的正弦与余弦值的比等于该角的正切值，即tan A=
在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则sin A= cos A=
∴tan A=(1)“sin A”“cos A”“tan A”是整体符号，不能理解为
“sin·A”“cos ·A”“tan ·A”．
(2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母
表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sin
A，cos α，tan B等；当锐角是用三个大写英文字母
或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，
如sin ∠ABC，sin ∠1等．
(3)三角函数符号后面可以写成度数，如sin 20°等．易错警示：
(1)在sin A，cos A，tan A中，三角函数的符号一定要
小写，不能大写．
(2)正弦、余弦、正切函数是直角三角形中相对于锐角
而定义的，反映了直角三角形边角之间的关系，是
两条线段的比值，没有单位．【例4】 如图，在△ABC中，AC＝5，∠B＝45°，sin C
＝ ，则△ABC的面积是( )
A. B．12 C．14 D．21A导引：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD.
∵sin C ，∴
解得AD＝BD＝3，
∴DC
∴BC＝BD＋DC＝7.
∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×7×3＝ . 锐角三角函数表示的是边与角之间的关系，三者之间可以相互转化．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，所以sin A＝ ，则a＝c·sin A，c＝ ；cos A＝ ，则b＝c·cos A，c＝ ；tan A＝ ，则a＝b·tan A，b＝ .这九个式子应该灵活运用．1.（ 汕尾）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，则cos B的值是（ ）
A. B. C. D.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立
的是( )
A．tan A＝
B．sin2 A＋cos2 A＝1
C．sin2 A＋sin2 B＝1
D．tan A·tan B＝1求锐角的三角函数值的三种方法：
1．在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求
出．
2．利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角
(若该角的三角函数值知道或者易求)．
3．利用互余的两个角间的特殊关系求． 课件16张PPT。24.3 锐角三角函数第1课时 正弦函数正弦函数的定义 正弦函数的应用 如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶?如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC和A′C′相等吗？AB、AC、BC与∠α，A′B′、A′C′、B′C′与∠β之间有什么关系呢？1知识点正弦函数的定义 在24.1节中，如图，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即
△ABC∽△
按1:500的比例，就一定有
就是它们的相似比当然也有 正弦：如图所示，在Rt△ABC中， ∠C＝90°.
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记做sin A，即
sin A＝ ；
【例1】(浙江温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5，BC＝3，则sin A的值是( )
A. B. C. D.
解析：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴sin A＝ C 本题利用正弦的定义，也就是利用∠A的对边长比上斜边长直接求解． 【例2】如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=12，BC=5.求∠A
的正弦函数值.
解：在Rt△ABC中，AC=12，BC=5，∠C=90°，
∴AB=
∴sin A=把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐
角∠A的正弦函数值( )
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
(贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，
BC ＝5，则sin A的值为( )
A. B. C. D.3．(威海)在如图所示的网格中，小正方形的边长
均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值
是( )
A. B.
C. D.
2知识点正弦函数的应用【例3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，
sinA＝0.6，求BC的长.
解：∵∠B=90°，AC=200，
∴BC=AC×sinA=200×0.6=120.1．如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，
另一边OA上有一点P(b，4)，若sin α＝ ，则b＝
________．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sin B＝ ，
则AB等于( )
A．15 B．12 C．9 D．63．(中考·杭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，
sin A＝ ，则斜边上的高等于( )
A. B. C. D.4．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则
sin ∠AOB的值是( )
A. B. C. D.求锐角的正弦值的方法：
1．没有直接给出对边或斜边的题目，一般先根据勾
股定理求出所需的边长,再求正弦值．
2．没有给出图形的题目，一般应根据题目，画出符
合题意的图形，弄清所求角的对边与斜边，再求
对边与斜边的比．
3．题目中给出的角不在直角三角形中，应先构造直
角三角形再求解． 课件16张PPT。24.3 锐角三角函数特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值
已知特殊三角函数值求角如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则
从而可得：你知道这些结论的理由吗？1知识点特殊角的三角函数值 做一做
在Rt △ABC中，∠C=90°，∠A=45°.根据锐角三
角函数的定义，求出∠A的三角函数值.1. 特殊角的三角函数值?
说明：由上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角．要点精析：
(1) 特殊角的三角函数值必须熟练记住，既能由角得值，又能由值得角．记忆这个结果，可以结合三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为
而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为 其正切值分别为
或记作 (2) 对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，
如15°，22.5°，75°，36°等．
(3) 等边三角形、等腰直角三角形及与30°，45°角相
联系的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函
数值解答．【例1】 求值：sin 30°? tan 30°+ cos60°? tan60°.解： sin 30°? tan 30°+ cos60°? tan60°? 有关特殊角的三角函数值的计算，先直接写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算．(天津)cos45°的值等于（ ）(滨州)下列运算：sin 30°＝ ，
π0＝π，2－2＝－4，其中运算结果正确的个数
为( )
A．4 B．3 C．2 D．12知识点已知特殊三角函数值求角在△ABC中，若
则∠C的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°【例2】导引：先根据绝对值及平方的非负性，得sin A＝ ，
cos B＝ ；再根据特殊角的三角函数值，求得
∠A＝30°，∠B＝60°；最后利用三角形内角和
定理，求得∠C＝180°－30°－60°＝90°.
?
D如图所示，小雅家(图中的点O处)门前有一条东西走向的公路，有一水塔(图中的点A处)在她家北偏东60°方向的500 m处，过点A作AB⊥OB于点B，则点O到点B的距离是( )【例3】 错解： A
错解分析：本题易因记错特殊角30°的三角函数值而导
致错误，即由题意得：在Rt△AOB中，∠ABO=90°，
∠AOB＝30°.
∵ cos∠AOB＝cos30°＝
∴OB＝250 (m)．即点O到点B的距离为250 m.
? 正解：B
在运用特殊角的三角函数值计算时，要牢记30°、45°、60°角的三个三角函数值，其口诀记忆法为
“1，2，3；3，2，1；3，9，27；
弦是2，切是3，分子根号不能删．”
前三句分别是30°、45°、60°的正弦、余弦、正切中
分子根号内的值；
“弦是2，切是3”是指正弦、余弦的分母为2，正切的分 母为3；
③ “分子根号不能删”是指各分子上的根号不能丢掉．?(酒泉)已知α，β均为锐角，且满足
则 α＋β＝________．(庆阳)在△ABC中，若角A，B满足
＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小
是( )
A．45° B．60° C．75° D．105° 巧记特殊锐角三角函数值的方法：
1. 三角板记忆法：借助如图所示的三角板记忆．
特点记忆法：30°，45°，60°角的正弦值记为
余弦值相反，正切值记为
3. 口诀记忆法：1，2，3；3，2，1；3，9，27；弦比2，
切比3，分子根号别忘添．
