课件26张PPT。第二十四章 解直角三角形24.4 解直角三角形解直角三角形及一般应用已知两边解直角三角形 已知一边及一
锐角解直角三角形 已知一边及一锐角的三角函数值解直角三角形 方位角 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？ 1知识点已知两边解直角三角形1.问：在三角形中共有几个元素？
2.问：直角三角形ABC中，∠ C=90°，a、b、c、∠A、
∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
答：1.三个角，三条边，共六个元素。2.(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
(3)边角之间关系
1. 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，
叫做解直角三角形．
2.直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，a，b，c 分
别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°.
(1)三边关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角关系：sin A＝ ，cos A＝ ，
tan A＝ ，sin B＝ ，cos B＝ ，tan B＝ .
3. 易错警示：解直角三角形除直角外共有5个元素，已
知其中的两个元素(至少有一边)求另外的三个元素时，
要尽可能地运用所给出的原始数据，以减少误差．
【例1】在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C
的对边，∠C＝90°，a＝6，b＝ ，解这个
直角三角形．
导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理
求出斜边长，然后根据正切的定义求出∠A的
度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．解：如图所示，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，a＝6，b＝
∴
∵
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
本题运用数形结合思想和定义法解题．已知两条直角边，解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据 求出斜边的长；
(2)根据 求出∠A的度数；
(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．1(兰州)如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝( )
A． B. C． D．
2如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝( )
A． B. C． D．
2知识点已知一边及一锐角解直角三角形 【例2】如图24. 4. 2,在相距2 000米的东、西两座炮台A、
B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰 C
在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C
在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离.（精确
到1米）解：在Rt△ABC中，
∵ ∠CAB＝90°- ∠DAC=50°
∴
∵
∴
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.本题运用数形结合思想和定义法解题.已知斜边和一锐角
解直角三角形的一般步骤是：
（1）根据∠A+∠B=90°求出另一锐角；
（2）根据 求出a的值；
（3）根据 求出b的值或根据勾股定理求出b的值.(杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，
∠A＝40°，BC＝3，则AC的长等于( )
A．3sin 40° B．3sin 50°
C．3tan 40° D．3tan 50°
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
?A．3.5 B．4.2
C．5.8 D．7123知识点已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形 【例3】 (中考·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的
高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝ ，
AD＝1.求BC的长.解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，
∵∠ADB＝90°，sin B＝ ，AD＝1，
∴
∴
∴BC＝BD＋DC＝ ＋1.(滨州)如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC
＝ ，则对角线AC的长为________．
如图，△ABC中，AC＝5，cos B＝ ，sin C＝ ，则△ABC的面积是( )
A. B．12 C．14 D．21
12第1题第2题4知识点方位角【例3】〈浙江温州〉某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看成直线l
(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正
北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往
救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处
入海，径直向B处游去．甲在乙入海10 s后赶到海
岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40 m，B在
C的北偏东35°方向上，甲、乙的游泳速度都是2
m/s.谁先到达B处？请说明理由．(参考数据：sin
55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)导引：在Rt△BCD中，求出BC与BD的长，再求出甲、乙所
用的时间，比较其大小即可知道谁先到达B处．解：乙先到达B处．理由：由题意得∠BCD＝55°，
∠BDC＝90°，
∵tan∠BCD＝
∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan 55°≈57.2(m)，
又cos∠BCD＝
∴BC ≈70.2(m)，
∴t甲≈ ＋10＝38.6(s)，t乙 ≈ ＝35.1(s)，
∵t甲>t乙，
∴乙先到达B处．
本题是利用解直角三角形解决实际问题中的方向角问题，运用建模思想和数形结合思想解题．解答的关键是在直角三角形中根据已知条件选择恰当的三角函数关系式解题，同时对于方向角问题，还运用了转化思想，即利用互余关系将方向角转化为直角三角形的内角．(南充)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB是( )
A．2海里
B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里
D．2tan 55°海里1如图，一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上，2小时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上，则灯塔B到船所在的航线AC的距离是( )
A．(18＋16 )千米
B．(19＋18 )千米
C．(20＋20 )千米
D．(21＋22 )千米
2解直角三角形直角三角形的边角关系解直角三角形课件15张PPT。24.4 解直角三角形用解直角三角形解视角问题仰角、俯角1、什么叫解直角三角形？
2、解直角三角形的类型有哪些？复习提问知识点仰 角、俯 角读一读
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.1【例1】 如图24.4.4，为了测量旗杆的高度BC，在离
旗杆底部10米的A处，用高1. 50米的测角仪
DA测得旗杆顶端C的仰角α= 52°.求旗杆BC
的高.（精确到0. 1米） 解： 在 Rt△CDE中，
∵ CE = DE × tan α
= AB × tan α
= 10× tan 52°
≈12.80,
∴BC = BE + CE
=DA + CE
≈1. 50 + 12. 80
= 14.3(米).
答：旗杆BC的高度约为14. 3米.?【例2】 〈四川凉山州，图文信息题，易错题〉如图所示，
某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不
知道这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段
对话：
小明：我站在此处看树顶A的仰角为45°.
小华：我站在此处看树顶A的仰角为30°.
小明：我们的身高都是1.6 m.
小华：我们相距20 m.
请你根据这两位同学的对话，结合图形，计算这棵汉柏树的高度．(参考数据： ≈1.41， ≈1.73，结果精确到0.1 m)错解： 如图所示，延长BC交AD于点E，则BE⊥AD.
设AE的长为 x m．在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，
∴CE＝AE＝x m．
在Rt△ABE中，∵∠ABC＝30°，AE＝x m，
∴
∴
∵ BE-CE=BC，
∴
∴这棵柏树的高度约为27.3 m正解： 如图所示，延长BC交AD于点E，则BE⊥AD，设AE的长为x m，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，
∴CE＝AE＝x m.
在Rt△ABE中，∵∠ABC＝30°，AE＝x m，
∴tan 30°＝ ，
∴BE＝
∴
∴这棵汉柏树的高度约为28.9 m.错解分析：错误之处在于求汉柏树的高度时忽视了
人的高度1.6 m．注意树高AD＝AE＋ED. 本题运用建模思想，构造直角三角形，然后利用AE将Rt△ACE与Rt△ABE联系起来，运用直角三角形的边角关系解答(长沙)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
A. B.30sin α 米
C.30tan α 米 D.30cos α 米(聊城)湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添上一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5° (如图)．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为( )
(参考数据：sin 41.5°≈0.663，cos 41.5°≈0.749，
tan 41.5°≈0.885)
A．34米 B．38米
C．45米 D．50米3 (哈尔滨)如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则A处与指挥台B的距离为( )
A．1 200 m B．1 200 m
C．1 200 m D．2 400 m
4 (东营)4月26日，2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点间的距离是________米．
解答含有仰角、俯角问题的方法
1．仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
2. 视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
3．弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解． 课件19张PPT。24.4 解直角三角形用解直角三角形解坡角问题第二十四章 解直角三角形坡角问题 利用解直角三角形解决
实际问题的一般步骤读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图24. 4. 5,坡面的铅垂高度（ h）和水平长度（ l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i,即i = .
坡度通常写成1 :m的形式，如 i =1 :6.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 有
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.1知识点坡角问题坡角、坡度问题
在实际生活中，正切经常用来描述坡面的倾斜程度，
坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，人们经
常把坡面的铅垂高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡
度(或坡比)，如图24.4-8所示，记作：i＝ ；
坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡，即tan α的值
就越大．
【例1】 如图24.4. 6，一段路基的横断面是梯形，
高为4. 2米，上底宽为12. 51米，路基的坡面
与地面的倾角分別是32°和28°，求路基下
底的宽.（精确到0. 1米）解： 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F 由题意
可知 DE = CF = 4.2,
EF = CD = 12.51.
在 Rt△ADE 中，?
在Rt△ BCF中，同理可得
∴AB = AE + EF + BF
≈6. 72 + 12.51 +7.90≈27. 1(米).
答：路基下底的宽约为27. 1米.
【例2】 〈广东〉如图所示，小山岗的斜坡AC的坡度
tan α＝ ，在与山脚C距离200 m的D处，测
得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.
(结果取整数，参考数据：sin 26.6°≈ 0.45，
cos 26.6°≈ 0.89，tan 26.6°≈ 0.50)导引： 设小山岗的高AB为x m，
∵在Rt△ABC中，
在Rt△ABD中，
tan 26.6°＝ 而BD＝BC＋DC，
∴可得关于x的方程，解之即可求得AB的长．解： 设小山岗的高AB为x m，在Rt△ABC中，
? ∴BC＝ x m．
∴BD＝DC＋BC＝
∵在Rt△ABD中，tan∠ADB＝
tan 26.6°≈0.50，
∴ ≈0.50，解得x≈300.
答：小山岗的高AB约为300 m.(邵阳)如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000米，则他实际上升了________米．(凉山州)拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB
的坡比是1∶ ，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长
度是( )
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m2知识点利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化
为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模
型）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直
角三角形的有关性质，解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案.2. 易错警示：
① 在解决方向角问题时，要将方向角正确地转化为
直角三角形的内角使用．
在利用仰角、俯角解决问题时，一定要注意测角
仪的高度是否在所测物的高度中．
③ 在解决坡度问题时，要正确理解坡度与锐角三角
函数的联系，正确列出相应的关系式．【例3】 〈山东青岛，实际应用题〉如图所示，某校教学楼
AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是
22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2 m的影子
CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼楼
顶A在地面上的影子F与墙脚C有13 m的距离(B、F、
C在一条直线上)．
(1) 求教学楼AB的高度；
(2) 学校要在点A、E之间挂一些
彩旗，请你求出点 A、E之间
的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin 22°≈ ，
cos 22°≈ ，tan 22°≈ )导引： 如图，过E作EM⊥AB于M， (1)设AB＝x m，由
tan 22°＝ 求x的值即可．
(2)由cos 22°＝
得 解： (1) 如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M，设AB＝x m.
在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x m.
∴BC＝BF＋FC＝(x＋13) m.
在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB－BM＝
AB－CE＝(x－2) m，
∴tan 22°= 解得x≈12.
即教学楼AB的高度为12 m.(2) 由(1)可得ME＝BC＝x＋13 ≈ 12＋13＝25(m)．
在Rt△AME中，cos 22°＝
∴
即点A、E之间的距离约为27 m. 本题是解直角三角形与方程的综合，在有关直角三角形的应用题中，当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接解直角三角形时，常引入未知数构造方程求解，体现了方程思想及数形结合思想．
1. (泰州)如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1∶2，顶部A处的高AC为4 m，B，C在同一水平地面上．
(1) 求斜坡AB的水平宽度BC；
(2) 矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5 m，
EF＝2 m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5 m
时，求点D离地面的高度．( ≈2.236，结果精确到
0.1 m)1.坡角是坡面与水平面间的夹角；坡度(或坡比)是坡
面的铅垂高度与水平长度的比．
2.坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡
面就越陡；坡角的正切值等于坡比．
?
