§3.2.1 几类不同增长的函数模型
一、教学目标:
1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.
2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.
3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
二、 教学重点、难点：
1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.
三、 学法与教学用具：
1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.
2．教学用具：多媒体.
四、教学设想：
（一）引入实例，创设情景.
教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.
（二）互动交流，探求新知.
1. 观察数据，体会模型.
教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.
2. 作出图象，描述特点.
教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.
（三）实例运用，巩固提高.
1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.
2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.
3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。
4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求.
5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数（＞0）、指数函数（＞1）、对数函数（＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告. 教师对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.
6. 课堂练习
教材P91练习1、2，并由学生演示，进行讲评。
（四）归纳总结，提升认识.
教师通过计算机作图进行总结，使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的含义及其差异，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值和内在变化规律.
（五）布置作业
教材P93练习第3题
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用，并思考。有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，在具体应用函数模型时，应该怎样选用合理的函数模型.
直观
性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.
（四）布置作业
作业：教材P107习题3.2（A组）第3 、4题：
课时提升作业(二十五)
几类不同增长的函数模型
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若x∈(0,1),则下列结论正确的是 ( )
A.2x>>lgx B.2x>lgx>
C.>2x>lgx D.lgx>>2x
【解析】选A.结合y=2x,y=,及y=lgx的图象易知当x∈(0,1)时,2x>>lgx.
【补偿训练】当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是 ( )
A.y=100x B.y=log100x
C.y=x100 D.y=100x
【解析】选D.因为指数函数的增长是爆炸式增长,所以当x越来越大时,函数y=100x增长速度最快.
2.某工厂6年来生产甲种产品的情况是:前3年年产量的增大速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为 ( )
【解析】选A.由题意知前3年年产量增大速度越来越快,可知在单位时间内,C的值增大的很快,从而可判定结果.
3.(2018·潍坊高一检测)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示,现给出下列说法,其中正确的是 ( )
①前5分钟温度增加越来越快;
②前5分钟温度增加越来越慢;
③5分钟后温度保持匀速增加;
④5分钟后温度保持不变.
A.①④ B.②④ C.②③ D.①③
【解析】选C.前5分钟,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5分钟后,温度y随x变化呈直线,即温度匀速增加.故说法②③正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到 只.
【解析】由x=1时,y=100,得a=100,把x=7代入,得y=100log28=300.
答案:300
5.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为 .
【解析】由题意得解得所以y=-2×0.5x+2,所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
答案:1.75万件
三、解答题
6.(10分)(2018·昆明高一检测)树林中有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增加20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:
甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.
乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.
请计算后回答:十年内哪一个方案可以得到较多的木材?
【解题指南】栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐;或栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次,按这两种情形分别计算木材量进行比较即可.
【解析】设树林中这种数木的最初栽植量为a(a>0),甲方案在10年后树木产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a≈4a.
乙方案在10年后树木产量为:
y2=2a(1+20%)5=2a×1.25≈4.98a.
y1-y2=4a-4.98a<0,因此,乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算).
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·滁州高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是 ( )
【解析】选D.设该林区的森林原有蓄积量为a(a>0),由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.
【补偿训练】如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图象大致为四个选项中的
( )
【解析】选C.设AB=a,则y=a2-x2=-x2+a2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y轴上方.
2.(2018·天津高一检测)某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是 ( )
A.增加7.84% B.减少7.84%
C.减少9.5% D.不增不减
【解析】选B.设该商品原价为a,四年后价格为a(1+0.2)2(1-0.2)2=0.9216a,所以(1-0.9216)a=0.0784a=7.84%a,即比原来减少了7.84%.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后经过 分钟,该病毒占据64MB内存(1MB=210KB).
【解析】设过n个3分钟后,该病毒占据64MB内存,
则2×2n=64×210=216,
所以n=15,故时间为15×3=45(分钟).
答案:45
【补偿训练】(2018·泰安高一检测)某产品计划每年成本降低p%,若三年后成本为a元,则现在成本为 .
【解析】设现在成本为m元,则m(1-p%)3=a,
所以m=.
答案:
4.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中关于x呈指数函数变化的函数是 .
【解析】从题表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y1呈指数函数变化,故填y1.
答案:y1
三、解答题
5.(10分)(2018·嘉兴高一检测)某地区为响应上级号召,在2018年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后,该地区的廉价住房为y万平方米,求y=f的表达式,并求此函数的定义域.
(2)作出函数y=f的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米?
【解析】(1)经过1年后,廉价住房面积为200+200×5%=200(1+5%);经过2年后为200(1+5%)2;
…
经过x年后,廉价住房面积为200(1+5%)x,
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N*).
(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0,x∈N*)的图象,如图所示.
作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时所经过的时间x的值.因为8
课件26张PPT。3.2.1 几类不同增长的函数模型一、新课引入有人说，一张普通的纸对折30次之后高度会超过10座珠穆朗玛峰，你相信吗？解：设纸厚度为0.01cm，
一张纸对折x次的厚度是约8844米实例2 根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训。他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏。国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，便问宗师想要得到什么赏赐。宗师开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。 你知道这需要多少麦粒吗？
????指数爆炸例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻
一番。
请问，你会选择哪种投资方案？二、例题分析解：设第x天所得回报是y元方案一可以用函数 进行描述；y=40 (x∈N*)方案二可以用函数 进行描述；y=10x (x∈N*)方案三可以用函数 进行描述.y=0.4×2x-1 (x∈N*)我们来计算三种方案所得回报的增长情况：1234040400010203010100.40.81.60.40.8y=40y=10xy=0.4×2x-1从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。2亿1亿下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：二、例题分析我们看到，底为2的指数函数模型比一次函数模型增长速度要快得多。二、例题分析下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长： 根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？8结论：投资1 ～ 6天，应选择方案一；
投资7天，可选择方案一或方案二；
投资8～10天，应选择方案二；
投资11天以上(含11天)，应选择方案三。总天数回报方案一二三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8下面再看累计的回报数：二、例题分析由例1得到 解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解解决二、例题分析例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行提成奖励，且奖金 y (单位：万元)随销售利润 x (单位：万元)的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
y=0.25x， y=log7x+1， y=1.002x，
其中哪个能符合公司的要求？二、例题分析1)本例涉及了哪几类函数模型？2)你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型应满足哪些条件才能符合公司要求吗？ 思考：我们不妨先作出函数图象：二、例题分析通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。下面通过计算确认以上判断对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律首先计算哪个模型的奖金不超过5万 对于模型 y=0.25x，它在 [10,1000]上是 递增
当 x=20 时，y＝5，所以 x > 20 时，y>5，因此该模型 不符合要求；单调性x=?哪个范围？符合要求否？首先计算哪个模型的奖金不超过5万对于模型 y=1.002x，它在 [10,1000]上 递增单调性 由函数图像并利用计算器，可以知道在区间
(805，806)内有一个点 x0，满足 1.002x0=5因此当x>x0时，因此该模型也不符合要求1;y>5，首先计算哪个模型的奖金不超过5万所以它符合要求1。对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上 递增,而且当 x=1000 时，y =log71000+1≈4.55<5单调性当 是否有用计算机作图得它在[10，1000]上为减函数，再计算按该模型奖金 y 是否不超过利润 x 的25%Oxy所以，当 有用计算机作图得它在[10，1000]上为减函数，所以有再计算按该模型奖金 y 是否不超过利润 x 的25%当 是否有x二、例题分析Oxy二、例题分析综上所述：(1) 在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数。(2) 随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。(3) 随着x的增大，y=logax (a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn (n>0)的增长速度。总存在一个x0，当x>x0时，就有:
logax（1）P61课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．
情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创
设
情
境
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的
组
织
探
究
例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
探究：
1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
2）分析解答（略）
3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．
生：阅读题目，理解题意，思考探究问题．
师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．
生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．
师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．
环节
教学内容设计
师生双边互动
组
织
探
究
4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？
师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势．
生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据．
师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．
生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
组
织
探
究
3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．
生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求．
师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．
生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．
探
究
与
发
现
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．
师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．
生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．
巩
固
与
反
思
尝试练习：
教材P116练习1、2；
教材P119练习．
小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．
生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．
师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
作
业
与
回
馈
教材P127
习题32（A组）第1~5题；
（B组）第1题
课
外
活
动
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；
有时同一个实际问题可以建立多个函数模型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？
课件32张PPT。3.2.1 几类不同增长的函数
模型第三章 3.2 函数的模型及其应用1.尝试将实际问题转化为函数模型；
2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异；
3.体会直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数模型思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型.函数模型通常用来解释已有数据和预测.一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.知识点二 三种常见函数模型比较三种函数模型的性质，填写下表.答案增函数增函数增函数陡稳定快于快于ax>xn>logax返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 建立函数模型解决实际问题例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？解析答案反思与感悟解析答案解 设第x天所得的回报为y元，那么方案一对应的函数为y＝40(x∈N*)；
方案二对应的函数为y＝10x(x∈N*)；
方案三对应的函数为y＝0.4×2x－1(x∈N*).
这三个方案的回报如下表：反思与感悟解析答案反思与感悟解析答案从每天的回报量来看：第1～3天方案一最多；
第4天方案一和方案二一样多，方案三最少；
第5～8天方案二最多；
第9天以后方案三最多.
这三个函数模型的图象如下图所示.反思与感悟解析答案从中分析出它们的增长在速度上的差异是：方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数是增函数，
方案二的函数的增长量固定不变，方案三的增长是加速的，比方案二快的多.反思与感悟从累积回报来看，投资1～6天，应选择第一种投资方案；
投资7天，应选择第一或第二种投资方案；
投资8～10天，应选择第二种投资方案；
投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案. 反思与感悟建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度.而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据.解析答案跟踪训练1 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解 按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；
按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86万元.
故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，更有利.类型二 需选择函数模型的实际问题例2 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？解析答案反思与感悟解析答案解 确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是判断这三个函数模型哪一个的函数值y符合y≤5且y≤0.25x.
下面画出了三个奖励模型的函数图象，反思与感悟解析答案观察图象，对于模型y＝0.25x，当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以不符合.
对于模型y＝1.002x，由函数图象知，当x的取值在800附近，y值为5，由于函数是增函数，所以y值越过了5，不符合要求.
对于函数y＝log7x＋1，当x∈[10,1000]时，函数y＝log7x＋1是增函数，所以y≤log71 000＋1按y＝log7x＋1奖励时，奖金不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，反思与感悟解析答案令f(x)＝log7x ＋1－0.25x，x∈[10,1 000] .
利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象可知，f(x)在[10,100]上是递减的，
因此f(x)≤f(10)≈－0.316 7<0即log7x＋1＜0.25x.说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.反思与感悟根据以上分析可知，只有奖励模型y＝log7x＋1符合y≤5且y≤0.25x的要求，
所以模型y＝log7x＋1符合公司的要求.如果某人的销售利润是343万元，按奖励模型y＝log7x＋1，所获奖金数为(log7343＋1)万元.反思与感悟用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关.
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.解析答案解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费为y，旅游原价为a.∴当x＝1时，两家旅行社收费相等.
当x＞1时，甲旅行社更优惠.类型三 幂函数、指数函数、对数函数增长的差异例3 观察下面表中的数据，你对函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长差异有什么认识？解析答案解 尽管在x的某一范围内，有2x4时，2x>x2>log2x.反思与感悟判断函数的增长速度，一是可以直接感受函数值的增长快慢.二是可以设缩小，Δx＝xn＋1－xn.通过观察函数值的差Δy＝f(x＋Δx)－f(x)来量化.三还可以借助图象，增长速度匀速的，图象是直线；增长速度越来越快的图象表现为下凹，反之则为上凸.跟踪训练3 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.解析答案(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；解 当x充分大时，
图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，
另一个函数就是幂函数y＝x3.
∴C1对应的函数为g(x)＝x3，
C2对应的函数为f(x)＝2x.解析答案返回(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小.解 ∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10.∴x1＜6＜x2,2 013＞x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6).
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 013)＞g(2 013).
又g(2 013)＞g(6)，∴f(2 013)＞g(2 013)＞g(6)＞f(6).123达标检测 4答案1.下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝x100 D.y＝2xA12342.能使不等式log2xA.(0，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(4，＋∞)答案D12343.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为( )
A.8℃ B.78℃
C.112℃ D.18℃答案B12344.细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长.若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：答案据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( )
A.75 B.100
C.150 D.200A1.函数应用题的类型
函数应用题主要有：(1)函数类型已知的问题；(2)函数类型未知的问题；(3)利用函数拟合法得到函数模型的问题.
2.解决实际问题的流程返回3.在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)、y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，logax＜xn＜ax.§3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
课时目标 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用.3.初步学会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
________
________
________
图象的变化
随x的增大逐渐
变“________”
随x的增大逐渐
趋于______
随n值而不同
2.三种函数模型的增长速度比较
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于________的增长快于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有__________．
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于____________的增长慢于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有______________．
一、选择题
1．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.40
7.5
12
18.01
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )
A．v＝log2tB．v＝
C．v＝D．v＝2t－2
2．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数B．二次函数
C．指数型函数D．对数型函数
4．某自行车存车处在某天的存车量为4000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4000)
C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)
D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)
5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )
A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)
C．f(bx)6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是________元．( )
A．45.606B．45.6
C．45.56D．45.51
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．
8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是____________．
三、解答题
9．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝ (t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．
能力提升
11．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．
12．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L?
1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．
2．常见的函数模型及增长特点
(1)直线y＝kx＋b (k>0)模型，其增长特点是直线上升；
(2)对数y＝logax (a>1)模型，其增长缓慢；
(3)指数y＝ax (a>1)模型，其增长迅速．
§3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
知识梳理
1．增函数 增函数 增函数 陡 稳定 2.(1)y＝ax y＝xn ax>xn (2)y＝logax y＝xn logax作业设计
1．C [将t的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v＝的函数比较接近表中v的5个数值．]
2．C [由题意知s与t的函数关系为s＝20－4t，t∈[0,5]，所以函数的图象是下降的一段线段，故选C.]
3．D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]
4．C [由题意得：y＝0.2x＋0.3(4000－x)
＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)．]
5．B [由f(1＋x)＝f(1－x)，知对称轴＝1，b＝2.
由f(0)＝3，知c＝3.
此时f(x)＝x2－2x＋3.
当x<0时，3x<2x<1，
函数y＝f(x)在x∈(－∞，1)上是减函数，
f(bx)当x＝0时，f(bx)＝f(cx)；
当x>0时，3x>2x>1，
函数y＝f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，
f(bx)综上，f(bx)≤f(cx)．]
6．B [设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆．
由题意可知所获利润l＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.
当x＝10时，lmax≈45.6(万元)．]
7．45
解析 设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216?n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．
8．80(1＋x)10
解析 一年后的价格为80＋80·x＝80(1＋x)．
二年后的价格为80(1＋x)＋80(1＋x)·x
＝80(1＋x)(1＋x)＝80(1＋x)2，
由此可推得10年后的价格为80(1＋x)10.
9．解 (1)b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2
＝14(a－)2＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.
10．解 据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0≤t<20与20≤t≤40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F(t)．
①当0≤t<20，t∈N时，
F(t)＝(t＋11)(－t＋)
＝－(t－)2＋(＋946)，
故当t＝10或11时，F(t)max＝176.
②当20≤t≤40时，t∈N时，
F(t)＝(－t＋41)(－t＋)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，F(t)max＝161.
综合①、②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.
11．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m，
则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)m×1.1n (0(2)令yn＋1－yn≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0.
解得n≤9，
所以y1令yn＋1－yn＋2≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，
解得n≥8.
所以y9＝y10>y11>…>y19.
所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
12．解 由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝.①
设再过tmin后桶1中的水有L，
则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝.②
将①式平方得e－10n＝.③
比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.
即再过5min后桶1中的水只有L.
