§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）
一、 教学目标：
1. 知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
2．过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.
3．情感、态度、价值观 体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.
二、 教学重点与难点：
1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.
三、 学法与教学用具
1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.
2. 教学用具：多媒体
四、 教学设想
（一）创设情景，揭示课题
引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
（二）结合实例，探求新知
例1. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.
探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；
2）所涉及的变量的关系如何？
3）写出本例的解答过程.
老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.
学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.
例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：
1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？
2）本例涉及到几个函数模型？
3）如何理解“更省钱？”；
4）写出具体的解答过程.
在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等 .
课堂练习1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
引导学生探索过程如下：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
[略解：]
设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30
设客房租金总上收入元，则有：
=（20+2）(300－10)
=－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）
由二次函数性质可知当=10时，=8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.
课堂练习2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
（三）归纳整理，发展思维.
引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：
合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为
函数模型问题：
2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；
3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；
4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的
3 .2 .2 函数模型的应用实例（Ⅱ）
一、 教学目标
1. 知识与技能 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.
2. 过程与方法 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.
二、 教学重点
重点 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.
难点 将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.
三、 学法与教学用具
1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.
2. 教学用具：多媒体
四、 教学设想
（一）创设情景，揭示课题.
现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.
（二）实例尝试，探求新知
例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
1）写出速度关于时间的函数解析式；
2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；
3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.
本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.
教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.
注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数
1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
探索以下问题：
1）本例中所涉及的数量有哪些？
2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
3）根据表中数据如何确定函数模型？
4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？
如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？
本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.
完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.
在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.
引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.
课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
探索以下问题：
1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？
2）如何对所确定的函数模型进行评价？
本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型.
引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.
本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.
（三）. 归纳小结，发展思维.
利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；
1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；
2）利用待定系数法，确定具体函数模型；
3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.
图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.
（四）布置作业：教材P107习题32（A组）第5、6题.
课时提升作业(二十七)
指数型、对数型函数模型的应用举例
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林
( )
A.14400亩 B.172800亩
C.17280亩 D.20736亩
【解析】选C.设第x年造林y亩,则y=10000(1+20%)x-1,所以x=4时,y=10000×1.23=17280(亩).
2.(2018·四平高一检测)某化工厂2014年的12月份的产量是1月份产量的n倍,则该化工厂这一年的月平均增长率是 ( )
A. B. C.-1 D.-1
【解析】选D.设月平均增长率为x,第一个月的产量为a,则有a(1+x)11=na,所以1+x=,所以x=-1.
3.(2018·长沙高一检测)在一次教学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
x
-2.00
-1.00
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x,y的函数关系与下列各类函数中最接近的是(其中a,b为待定系数)
( )
A.y=a+ B.y=a+bx
C.y=a+logbx D.y=a·bx
【解析】选D.因为f(0)=1,所以A.y=a+,C.y=a+logbx不符合题意.
先求y=a+bx,由得所以y=1+1.02x,当x=-2时,1+1.02×(-2)=-1.04,不满足题意,选项B错误.
下面求y=a·bx,由得
所以y=2.02x,满足题意,选项D正确.
4.某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是 ( )
A.y=0.2x B.y=
C.y= D.y=0.2+log16x
【解题指南】利用所给函数,分别令x=1,2,3,计算相应的函数值,即可求得结论.
【解析】选C.对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16;
对于B,x=1时,y=0.3;x=2时,y=0.8;x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意;
对于C,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较,更符合题意;
对于D,x=1时,y=0.2;x=2时,y=0.45;x=3时,y<0.6,相差较大,不符合题意.
5.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如表:
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是 ( )
A.y=2x-1 B.y=x2-1
C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2
【解析】选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,可知应选D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·镇江高一检测)某细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),则这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过 小时.
【解析】设共分裂了x次,则有2x=4096,即2x=212,所以x=12.所用的时间为15分钟×12=180分钟=3小时.
答案:3
7.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t= .(已知lg5≈0.699,lg3≈0.477)
【解析】当N=40时,则t=-144lg
=-144lg
=-144(lg5-2lg3)≈36.72.
答案:36.72
8.(2018·扬州高一检测)现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用 作为拟合模型较好.(填“甲”或“乙”)
【解析】图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象如图所示,比较发现选甲更好.
答案:甲
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某种新式杀菌剂,每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的60%,要使该物质上的细菌少于原来的0.1%,则至少要喷洒多少次?(lg2≈0.3010)
【解析】设喷洒x次,该物质上原有细菌为a,则a(1-60%)x<0.1%·a,即(1-60%)x<0.1%,xlg0.4=≈7.5,故至少要喷洒8次.
10.某工厂今年1月,2月,3月,4月生产某种产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,1.37万件,为了以后估计每个月的产量,以1,2两个月的产品数据为依据.用一个函数模型模拟产品的月产量y与月份数x的关系,模拟函数可选用f(x)=-0.05x2+qx+r或g(x)=a·0.5x+c,其中q,r,a,c为常数,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好?说明理由.
【解析】用g(x)=a·0.5x+c作为模拟函数较好,理由如下:
f(x)=-0.05x2+qx+r由f(1)=1,f(2)=1.2得
q=0.35,r=0.7,f(3)=1.3,f(4)=1.3;而对于g(x)=a·0.5x+c,
由g(1)=1,g(2)=1.2,得a=-0.8,c=1.4,g(3)=1.3,g(4)=1.35,所以用g(x)=a·0.5x+c作为模拟函数较好.
【拓展延伸】函数建模的基本思想
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·舟山高一检测)若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=1-(0.0424
【解析】选A.设镭一年放射掉其质量的t%,则有95.76%=1·(1-t%)100,
t%=1-,所以y=(1-t%)x=(0.9576.
2.一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于 ( )
A.lg B.lg C. D.
【解析】选C.由题意得a(1-8%)t=,
所以0.92t=0.5.两边取对数得lg0.92t=lg0.5,
所以tlg0.92=lg0.5.故t=.
【误区警示】解答本题容易因忽视利用两边取对数的方法求出t的值而致误.另外对数的运算性质应用不当也易导致出错.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·鹰潭高一检测)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2000·ln.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12000米/秒.
【解析】当v=12000时,2000·ln=12000,
所以ln=6,所以=e6-1.
答案:e6-1
【补偿训练】用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是 .
【解题指南】先将污垢原量视为单位1,再把洗x次后污垢含量表示出来,列出不等式,最后解不等式求出.
【解析】选B.设要洗x次,则≤,所以x≥≈3.32,因此至少要洗4次.
答案:4
4.(2018·邵武高一检测)如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y=at,有以下几种说法:
①这个指数函数的底数为2;
②第5个月时,浮萍面积就会超过
30m2;
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;
④浮萍每月增加的面积都相等.
其中正确的命题序号是 .
【解析】由图象知,t=2时,y=4,
所以a2=4,故a=2,①正确.
当t=5时,y=25=32>30,②正确,
当y=4时,由4=知t1=2,
当y=12时,由12=知t2=log212=2+log23.
t2-t1=log23≠1.5,故③错误;
浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误.
答案:①②
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0解得x=1-.
(2)设经过m年,森林剩余面积为原来的,则
a(1-x)m=a,即=,=,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.
【延伸探究】本题条件不变的情况下,问今后最多还能砍伐多少年?
【解析】设从今年开始,以后砍n年,则n年后森林剩余面积为a(1-x)n.令a(1-x)n≥a,即(1-x)n≥,可得≥,≤,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.
6.(2018·十堰高一检测)某地区大力加强对环境污染的治理力度,使地区环境污染指数逐年下降,自2010年开始,连续6年检测得到的数据如表:
年份
2010年
2011年
2012年
2013年
2014年
2018年
环境污
染指数
2.000
1.595
1.278
1.024
0.819
0.655
根据这些数据,建立适当的函数模型,预测2021年的环境污染指数.(精确到0.1)(参考数据:0.83=0.512,0.84=0.410,0.85=0.328,0.810=0.107)
【解析】设年份为变量x,且2010年为0,2011年为1,…,2018年为5,环境污染指数为y.作出年份x与环境污染指数y的散点图(略).
由散点图可设函数模型为y=a·bx.
取(0,2.000),(5,0.655)代入得
所以
所以函数模型为y=2×0.8x.
令x=11,得y=2×0.811≈0.2.
故预测2021年该地区的环境污染指数约为0.2.
课件43张PPT。3.2.2 函数模型及其
应用实例学习目标：1、找出简单的实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数解决实际问题；
2、综合运用所学函数建立分段函数模型，并对实际问题加以解答.例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间关系如图所示(1)求图中阴影部分的面积，
说明所求面积的实际含义；解：（1）阴影面积为：
50×1+80×1+90×1+75 ×1+65 ×1=360含义：表示汽车5小时内行驶的路程为360km。分段函数模型例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间，关系如图所示(2)根据图表请写出速率 v 关
于时间 t 的函数关系式；从图上很明显看出汽车在每一小时
都有固定速率，而进入下一小时后
速率则变为另一个固定值，
这是很明显的分段函数特征。一次函数模型（3）假设这辆汽车的里程表在汽车
行驶这段路程前的读数为2004km，
试建立汽车行驶这段路程时汽车里
程表读数 s(km)，与时间 t (h)的函数
解析式，并作出相应图象。分段函数模型例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本
为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量
的关系如表所示请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能
获得更大利润？构建函数模型例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本
为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量
的关系如表所图示，求最大利润？解：由表可得，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。
设销售单价定为x元，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为：
480-40(x-6)=720-40x（桶）
由x>5，且720-40x>0，即5y=(x-5)(720-40x) -200=-40x2+920x-3800，5易得，当x=11.5时，y有最大值。
答：只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本
为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量
的关系如表所图示，求最大利润？函数拟合相关练习P90 第12题2、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水位h的关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）ABCDBo练习：练习：一次函数模型二次函数模型【题型归纳】 建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际
中的最优化问题。注意：一定要注意自变量的取值范围，根据
图象的对称轴与x所取区间之间的位置关系讨论求解. 1、用长度为24m的材料围成一个矩形家禽养殖场，要使矩形面积最大，则矩形的长为( )A、3 B、4 C、6 D、12C变式：如图，若要在场地中间再加两道隔墙，则隔墙长为多少时面积最大？即隔墙长 3m时，面积最大.x随堂练习指数函数型
例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
y=y0ert,
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.表3-8是1950~1959年我国人口数据资料： （1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解： （1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.
由 55196（1+r1）=56300，
可得1951年的人口增长率
r1≈0.0200.
同理可得，
r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，
r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为
r=（r1+r2+… +r9）÷9≈0.0221.
令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
y=55196e0.0221t，t∈N. 根据表3-8中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象（图3.2-9）. 由图3.2-9可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000代入
y=55196e0.0221t（t∈N），
由计算器可得
t≈38.76. 所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.函数拟合问题
例6. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值
如表3-10. （1）根据表3-10提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？分析：根据表3-10的数据画出散点图（图3.2-10） 观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系. 思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型.解： （1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图3.2-10. 根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y=a·bx得：用计算器算得这样，我们就得到一个函数模型： 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3.2-11） 可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x，得
y=2×1.02175，
由计算器算得
y≈63.98.
由于 78÷63.98≈1.22>1.2，
所以，这个男生偏胖.建立函数模型解决实际问题的基本过程；收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题检验不符合实际符合实际课件30张PPT。3.2.2 函数模型的应用实例第三章 3.2 函数的模型及其应用1.能利用已知函数模型求解实际问题；
2.能自建确定性函数模型解决实际问题；
3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 几类已知函数模型思考 指数型函数与指数函数在解析式上有什么不同？答案答案 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的系数为1，且没有常数项.确定一个指数函数解析式只需要一个条件；指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)指数式前的系数不一定是1，而且可能还有常数项.所以确定指数型函数通常需要3个条件.几类函数模型：答案ax＋b(a、b为常数，a≠0)ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0
且a≠1)axn＋b(a，b为常数，a≠0)知识点二 自建函数模型思考 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？答案答案 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验；
(6)用函数模型解释实际问题.返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 利用已知函数模型求解实际问题例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.反思与感悟解析答案反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.解析答案跟踪训练1 商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中
y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？解 由优惠办法①得函数关系式为
y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*).
由优惠办法②得函数关系式为
y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*).
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；
采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.解析答案解 设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元.解析答案由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.类型三 拟合函数模型例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：解析答案(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 解析答案解 设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.
由55 196(1＋ r1) ＝ 56 300，
可得1951年的人口增长率r1≈0.020 0.
同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.
于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令y0＝55 196，由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象.解析答案反思与感悟(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 解 将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.反思与感悟1.已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.
2.判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解.解析答案跟踪训练3 已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？解 已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y＝5e0.003t.
当y＝10时，解得t≈231.
所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.
同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.解析答案返回(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解 由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.123达标检测 45答案1.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( )
A.17 B.18 C.19 D.20C123452.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )答案A.分段函数 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数A123453.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )答案B.y＝(0.957 6)100x A123454.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：答案下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2D123455.某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如图所示，可选择的模拟函数模型是( )答案A.y＝ax＋b B.y＝ax2＋bx＋c
C.y＝aex＋b D.y＝aln x＋bB规律与方法解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.返回3．2.2 函数模型的应用实例
课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型
(1)一次函数：y＝______________________
(2)二次函数：y＝______________________
(3)指数函数：y＝______________________
(4)对数函数：y＝______________________
(5)幂函数：y＝________________________
(6)指数型函数：y＝pqx＋r
(7)分段函数
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)________________；
(2)________________；
(3)________________；
(4)________________；
(5)______；
(6)__________________________．
一、选择题
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x(h)
0
1
2
3
细菌数
300
600
1200
2400
据此表可推测实验开始前2h的细菌数为( )
A．75B．100C．150D．200
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元B．300元
C．290元D．280元
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )
A．减少7.84%B．增加7.84%
C．减少9.5%D．不增不减
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
5．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2B．4cm2
C．3cm2D．2cm2
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．
9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
三、解答题
10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
能力提升
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
3．2.2 函数模型的应用实例
知识梳理
1．(1)kx＋b(k≠0) (2)ax2＋bx＋c(a≠0) (3)ax(a>0且a≠1)
(4)logax(a>0且a≠1) (5)xα(α∈R) 2.(1)收集数据 (2)画散点图 (3)选择函数模型
(4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解释实际问题
作业设计
1．A [由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为
y＝300·2x(x∈Z)．
当x＝－2时，y＝300×2－2＝＝75.]
2．B [由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.]
3．A [设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，即减少7.84%.]
4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画，故选A.]
5．D [设一段长为xcm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2.]
6．A [由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
7．2250
解析 设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2250(元)．
8．400
解析 由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.
9．2ln2 1024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln2，
∴y＝e2tln2，当t＝5时，
∴y＝e10ln2＝210＝1024.
10．解 设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为
100－10n(n∈N且n<10)
租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)
＝20[－(n－)2＋]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；
若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；
综合考虑，n应当取3，
即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．
11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为
Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/10kg)．
12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
