第一课时 柱、锥、台、球的结构特征
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.
3．情感、态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.
（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.
（二）教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.
（三）教学方法
通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考空间几何体的结构特征，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1．小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过那些？
2．你能根据某种标准对下列几何体进行分类吗？（展示具有柱、锥、台、球结构的空间物体）
1．学生回忆，相互交流教师对学生给予及时评价.
2．教师对学生分类进行整理。分类多面体和旋转体分类，分类二按柱、锥、台、球分类
以旧导新
棱柱的结构特征
1．观察教科书第2页中和图（2）、（5）、（7）、（9），它们各自的特点是什么？
在归纳的过程中，可引导学生从围成几何体的面的特征去观察，从而得出棱柱的主要结构特征.
1．有两个面互相平行；
2．其余各面都是平行四边形；
3．每相邻两个四边形的公共边互相平行.
引出棱柱概念之前，应注意对具体的棱柱的特点进行充分分析，让学生能够经历共同特点的概括过程.
在得到棱柱的结构特征后教师归结棱柱定义，并结合图形认识棱柱有关概念.
从分析具体棱柱的特点出发，通过概括共同特点得出棱柱的结构特征.
例1 如图，过BC的截面截去长方形的一角，所得的几何体是不是棱柱？
解析：以A′ABB′和D′DCC′为底即知所得几何体是棱柱.
例2 观察螺杆头部模型，有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的有几对？
解析：略
教师投影例一并读题.
有的学生可能会认为不是棱柱，因为如果选择上下两平面为底，则不符合棱柱结构特征的第二条.
引导学生讨论：如何判定一个几何体是不是棱柱？
教学时应当把学生的注意力引导到用概念进行判断上来，即看所给的几何体是否符合棱柱定义的三个条件.
教师投影例2并读题.
教师引导学生分析得出，平行平面共有四对，但能作为棱柱底面的只有一对，即上下两个平行平面.
引导学生探究：棱柱的哪些平行的面能作为底面，此时侧面是什么？哪些平行的平面不能作为底面？
通过改变棱柱放置的位置（变式），引导学生应用概念判别几何体.加深对棱柱结构特征的认识.
棱锥的结构特征
1．观察教材节2页的图（14）（15）它们有什么共同特征？
2．请类比棱柱、得出相关概念，分类及表示.
学生进行观察、讨论、然后归纳，教师注意引导，整理.得出棱锥的结构特征，有关概念分类及表示方法.
棱锥的结构特征：
1．有一个面是多边形.
2．其余各面都是有一个公共点的三分形.
从分析具体棱锥出发，通过概括棱锥的共同特点，得出棱锥的结构特征.
棱台的结构特征
1．观察教材第2页中图（13）、（16），思考它们可以怎样得到？有什么共同特征？
2．请仿照棱锥中关于侧面、侧棱、顶点的定义，给棱台相关概念下定义.
教师在学生讨论中可引导学生思考棱台可以怎样得到，从而迅速得出棱台的结构特征.
由一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分.
突出棱台的形成过程，把握棱台的结构特征.
圆柱的结构特征
观察下面这个几何体（圆柱）及得到这种几何体的方法，思考它与棱柱的共同特点，给它定个名称并下定义.
教师演示，学生观察，然后学生给出圆柱的名称及定义，教师给出侧面、底面、轴的定义.
以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
圆柱和棱锥统称为柱体.
突出圆柱的形成过程，把握圆柱的结构特征.
圆锥的结构特征
1．观察下面这个几何体（圆锥）及得到这种几何体的方法，思考它与棱锥的共同特点，给它定个名称并下定义.
2．能否将轴改为斜边？
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.
圆锥与棱锥统称为锥体.
突出圆锥的形成过程，把握圆锥的结构特征.
圆台的结构特征
下面这种几何体称为圆台，请思考圆台可以用什么办法得到？请在教材图11-9上标上圆台的轴、底面、侧面、母线.
学生1：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分.
学生2：以直角梯形，垂直于底面的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体（教师演示）
师：棱台与圆台统称为台体.
开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念理解.
球的结构特征
观察球的模型，思考球可以用什么办法得到？球上的点有什么共同特点.
学生1：以半圆的直径所在直线为旋转思，半圆面旋转一圆形的旋转体叫做球体，简称球.（教师演示）
学生2：球上的点到求心的距离等于定长.
教师讲解球的球心、半径、直径、表示方法.
开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念理解.
归纳总结
简单几何体的结构特征及有关概念.
学生总结，然后老师补充.
回顾反思、归纳知识、提升学生知识、整合能力.
课后作业
1.1第一课时 习案
学生独立完成
巩固知识
提升能力
备用例题
例1 下列命题中错误的是（ ）
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
【解析】圆锥的母线长相长，设为l，若圆锥截面三角形顶角为，圆锥轴截面三角形顶角为，则0＜≤. 当≤90°时，截面面积S = ≤. 当90°＜＜180°时.截面面积S≤，故选B.
例2 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；
（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.
【分析】要判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的结构特征.
【解析】（1）如图1，该几何体满足有两个面平行，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱.
（2）如图2，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台.
点评：对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分割，再根据圆柱、圆 锥、圆台的结构特征进行判断.
例3 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求圆锥的母线长.
【分析】 画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解.
【解析】 设圆锥的母线长为ycm，圆台上、下底面半径分别是xcm 、4xcm.作圆锥的轴截面如图. 在Rt△SOA 中，O′A′∥OA，∴SA′∶SA= O′A′∶OA，即（y-10）∶y=x∶4x. ∴y=13.
∴圆锥的母线长为13cm
【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.
1. 1.1柱、锥、台、球的结构特征
【教学目标】
1.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
3.提高学生的观察能力；培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
【教学重难点】
教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
【教学过程】
1.情景导入
教师提出问题，引导学生观察、举例和相互交流，提出本节课所学内容，出示课题。
2.展示目标、检查预习
3、合作探究、交流展示
（1）引导学生观察棱柱的几何物体以及棱柱的图片，说出它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？
（2）组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。
（3）提出问题：请列举身边的棱柱并对它们进行分类
（4）以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
（5）让学生观察圆柱，并实物模型演示，概括出圆柱的概念以及相关的概念及圆柱的表示。
（6）引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。
（7）教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。
4．质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
（1）有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明）
（2）棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
（3）圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
（4）棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？
（5）绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？
5、典型例题
例1：判断下列语句是否正确。
⑴有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。
⑵有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱柱。
答案 A B
6、课堂检测：
课本P8，习题1.1 A组第1题。
7.归纳整理
由学生整理学习了哪些内容
【板书设计】
一、柱、锥、台、球的结构
二、例题
例1
变式1、2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
课前预习学案
一、预习目标：
通过图形探究柱、锥、台、球的结构特征
二、预习内容：
阅读教材第2—6页内容，然后填空
（1）多面体的概念： 叫多面体，
叫多面体的面， 叫多面体的棱，
叫多面体的顶点。
① 棱柱:两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都 ，这些面围成的几何体叫作棱柱
②棱锥：有一个面是 ，其余各面都是 的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥
③棱台：用一个 棱锥底面的平面去截棱锥， ，叫作棱台。
（2）旋转体的概念： 叫旋转体， 叫旋转体的轴。
①圆柱： 所围成的几何体叫做圆柱
②圆锥： 所围成的几何
体叫做圆锥
③圆台： 的部分叫圆台
. ④球的定义
思考：
（1）试分析多面体与旋转体有何去别
（2）球面球体有何去别
（3）圆与球有何去别
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、【学习目标】
1.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
3.提高学生的观察能力；培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
学习重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
学习难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
二、学习过程
1、 教师引导学生观察几何物体和图片，通过思考、交流得出课前预习学案中的结论
2、思考：
（1）有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明）
（2）棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
（3）圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
（4）棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？
（5）绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？
3、典型例题
例1：判断下列语句是否正确。
⑴有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。
⑵有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱柱。
答案（1）错 （2）错
变式练习：
（1）给出下列几种说法：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱任意两条母线互相平行。其中不正确的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
（2）下列说法①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形一边为旋转轴，旋转而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台底面都是圆；④分别以矩形长和宽所在直线为旋转轴旋转而得的两个圆柱是两个不同的圆柱。其中正确的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
答案 A B
4、课堂检测：
课本P8，习题1.1 A组第1题。
课后练习与提高
一、选择题
1、有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是
A.棱柱 B棱锥 C棱台 D可能是棱台，也可能不是，但一定不是棱柱、棱锥
2、下列说法正确的是
①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台
A ① B ② C ③ D④
3、四棱柱有 条体对角线
A 6 B 7 C 4 D 3
二、填空题
4、圆台有 个面，这些面相交于 条线
5、以两条直角边为3cm和4cm的直角三角形旋转而形成的圆锥，其地面积为
母线长为
三、解答题
6把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm。求圆锥的母线长。
答案 一 D B C 二 3 、2. 9π、 16π、 5 . 三、40/3cm
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课后提升作业 二
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是 ( )
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.两个共底的圆锥
【解析】选D.连BD交AC于O，则AC⊥BD.BC，AB绕直线AC旋转各得一圆锥.
【补偿训练】将图①所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图②所示的几何体的是 ( )
【解析】选B.由旋转体的结构特征知，几何体由上、下两个同底的圆锥组成，因此只有B符合题意.
2.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是 ( )
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B.该组合体仍然关于轴l对称
C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
【解析】选A.该组合体中有一个球和一个半球，故A错误.
3.(2016·银川高一检测)圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 ( )
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.顶角为30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形
【解析】选A.设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2πr=π·，则r=，故轴截面是边长为的等边三角形.
4.如图所示的简单组合体，其结构特征是( )
A.两个圆锥
B.两个圆柱
C.一个棱锥和一个棱柱
D.一个圆锥和一个圆柱
【解析】选D.上面是圆锥，下接一个同底的圆柱.
5.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 ( )
【解析】选A.该几何体自上向下是由一个圆锥，两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的.
6.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是 ( )
A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确.Com]
【解析】选B.当过AB的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时可作无数个；当直线AB不过球心时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作一个大圆.
【补偿训练】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 ( )
【解析】选C.正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确.
7.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为 ( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
【解析】选B.外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱.
8.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是 ( )
A.①③ B.①② C.②④ D.②③
【解析】选A.①正确，截面过三棱锥底面的一边；
②错误，截面圆内三角形的一条边不可能过圆心；
③正确，为截面平行于三棱锥底面；
④错误，截面圆不可能过三棱锥的底面.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2016·济宁高一检测)一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2.
【解析】设截面圆半径为rcm.
则r2+42=52，所以r=3.
所以截面圆面积为9πcm2.
答案：9π
10.圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________.
【解析】如图，把圆台还原为圆锥，设截面☉O1的半径为r，因为圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面的半径为1，下底面的半径为4，所以=，设SO=x，SO2=4x，则OO2=3x，又OO1∶O1O2=2∶1，所以OO1=2x，在△SBO1中，=，所以r=3.因此截面面积为9π.
答案：9π
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD【解析】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.
12.已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.
【解题指南】过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，将有关量放在平面图形中，建立正方体的棱长与圆锥有关量的关系即可求解.
【解析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽△VMN，所以=.
所以hx=2rh-2rx，
所以x==.
即圆锥内接正方体的棱长为.
【能力挑战题】
如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.
【解析】将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧
AA′的长度L就是圆O的周长，
所以L=2πr=2π.
所以∠ASM=×360°=×360°=90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM=(0≤x≤4).
所以f (x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，
因为S△SAM=SA·SM=AM·SR，
所以SR==(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)因为f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)=32.
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课后提升作业 二
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是 ( )
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.两个共底的圆锥
【解析】选D.连BD交AC于O，则AC⊥BD.BC，AB绕直线AC旋转各得一圆锥.
【补偿训练】将图①所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图②所示的几何体的是 ( )
【解析】选B.由旋转体的结构特征知，几何体由上、下两个同底的圆锥组成，因此只有B符合题意.
2.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是 ( )
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B.该组合体仍然关于轴l对称
C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
【解析】选A.该组合体中有一个球和一个半球，故A错误.
3.(2018·银川高一检测)圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 ( )
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.顶角为30°的等腰三角形 D.其他等腰三角形
【解析】选A.设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2πr=π·，则r=，故轴截面是边长为的等边三角形.
4.如图所示的简单组合体，其结构特征是( )
A.两个圆锥
B.两个圆柱
C.一个棱锥和一个棱柱
D.一个圆锥和一个圆柱
【解析】选D.上面是圆锥，下接一个同底的圆柱.
5.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 ( )
【解析】选A.该几何体自上向下是由一个圆锥，两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的.
6.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是 ( )
A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确.Com]
【解析】选B.当过AB的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时可作无数个；当直线AB不过球心时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作一个大圆.
【补偿训练】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 ( )
【解析】选C.正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确.
7.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为 ( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
【解析】选B.外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱.
8.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是 ( )
A.①③ B.①② C.②④ D.②③
【解析】选A.①正确，截面过三棱锥底面的一边；
②错误，截面圆内三角形的一条边不可能过圆心；
③正确，为截面平行于三棱锥底面；
④错误，截面圆不可能过三棱锥的底面.
二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2018·济宁高一检测)一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2.
【解析】设截面圆半径为rcm.
则r2+42=52，所以r=3.
所以截面圆面积为9πcm2.
答案：9π
10.圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________.
【解析】如图，把圆台还原为圆锥，设截面☉O1的半径为r，因为圆台的上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面的半径为1，下底面的半径为4，所以=，设SO=x，SO2=4x，则OO2=3x，又OO1∶O1O2=2∶1，所以OO1=2x，在△SBO1中，=，所以r=3.因此截面面积为9π.
答案：9π
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD【解析】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.
12.已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.
【解题指南】过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，将有关量放在平面图形中，建立正方体的棱长与圆锥有关量的关系即可求解.
【解析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽△VMN，所以=.
所以hx=2rh-2rx，
所以x==.
即圆锥内接正方体的棱长为.
【能力挑战题】
如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离.
(3)f(x)的最大值.
【解析】将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧
AA′的长度L就是圆O的周长，
所以L=2πr=2π.
所以∠ASM=×360°=×360°=90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM=(0≤x≤4).
所以f (x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，
因为S△SAM=SA·SM=AM·SR，
所以SR==(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)因为f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)=32.
课件36张PPT。第一 章 § 1.1 空间几何体的结构第1课时 多面体的结构特征1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；
2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念
思考 观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？答案答案 几何体的表面由若干个平面多边形围成.答案 几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成.答案1.空间几何体的定义及分类
(1)定义：如果只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 叫做空间几何体.
(2)分类：常见的空间几何体有 与 两类.
2.多面体与旋转体答案形状大小空间图形多面体旋转体平面多边形定直线答案多边形定直线公共边知识点二 棱柱的结构特征思考 观察下列多面体，有什么共同特点？答案答案 (1)有两个面相互平行；
(2)其余各面都是平行四边形；
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.棱柱的定义、分类、图示及其表示答案互相平行四边形互相平行平行其余各面公共边侧面与底面ABCDEF—A′B′C′D′E′F′答案边数三棱柱四棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′知识点三 棱锥的结构特征思考 观察下列多面体，有什么共同特点？答案答案 (1)有一个面是多边形；
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.答案棱锥的定义、分类、图形及表示多边形有一个公共顶点多边形公共顶点公共边公共顶点三棱锥四棱锥S----ABCD答案知识点四 棱台的结构特征思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？答案 (1)区别：有两个面相互平行.
(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体.棱台的定义、分类、图形及表示答案平行于棱锥底面截面底面公共边侧面与上(下)底面三棱台返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 棱柱的结构特征例1 试判断下列说法是否正确：
(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；解 正确.
由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平行四边形.解析答案反思与感悟(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.解 错误.
如长方体中相对侧面互相平行.概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例；(2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断.跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体.解 这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱.解析答案(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.解 该几何体是六棱柱.类型二 棱锥的结构特征
例2 如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征.在立体图中画出截面.解析答案反思与感悟解 (1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
∴这个几何体不是棱柱.
(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；
在BB1上取F点，使BF＝2；
连接C1E、EF、C1F，
则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，
其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；
截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F，
该几何体的特征为：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.反思与感悟认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开.跟踪训练2 试从如图正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；解析答案解 如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).解析答案(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；解 如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).解 如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).(3)三棱柱.解析答案类型三 棱台的结构特征
例3 有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析答案反思与感悟反思与感悟解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错；
②③可用反例去检验，如图所示，故②③错.答案 A一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据.返回?解析答案?123达标检测 45解析答案1.下列说法中正确的是( )
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析 棱柱的两底面互相平行，故A正确；
棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；
立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；
由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.答案 A12345123452.下列说法中，正确的是( )
A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由
这些面所围成的几何体是棱锥
B.棱柱的底面一定是平行四边形
C.棱锥的底面一定是三角形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形A答案123453.下列说法错误的是( )
A.多面体至少有四个面
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.D解析答案12345解析答案4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱 B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定
解析 形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义.A12345解析答案5.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱.
解析 ①正确，根据棱柱的定义可知；
②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；
③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；
④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.①③1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.
2.各种棱柱之间的关系
(1)棱柱的分类棱柱(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：返回课件34张PPT。生活中的几何体空间几何体的结构我要问这些图片中的物体具有什么样的几何
结构特征?你能对它们进行分类吗?我来答 上图中的物体大体可分为两大类.
其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)
具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形；
(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)
具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形.想一想?我们应该给上述两大类几何
体取个什么名字才好呢?1.1.1柱、锥、台、球的结构特征空间几何体: 对于空间的物体,如果只考虑它的的形状、大小和位置，而不考虑物体的其他性质,从中抽象出来的空间图形叫做空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征多面体的定义： (1)定义:由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体 (2)多面体的面：
多面体的棱：
多面体的顶点：
多面体的对角线： 围成多面体的各个多边形两个面的公共边棱和棱的公共点不在同一面上的两个顶点的连线段(3)多面体的分类:凸多面体凹多面体四面体五面体六面体……柱、锥、台、球的结构特征棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台球结构特征 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。棱柱的结构特征1.棱柱的概念：棱柱的底面：两个互相平行的面.简称底.底面底面棱柱的侧面：其余各面.棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边.棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点.侧
面侧
棱顶
点棱柱的结构特征2.棱柱的分类：按底面多边形的边数来分三棱柱四棱柱五棱柱3.棱柱的表示：棱柱ABC- A'B'C'用表示底面各顶点的字母表示棱柱的结构特征思考：对于棱柱，1.侧棱长相等吗？
侧面是什么四边形？平行四边形相等2.两个底面多边形是什么关系？
与平行于底面的截面呢？全等3.过不相邻的两条侧棱的截面是什么四边形？平行四边形棱柱的结构特征4.棱柱的性质：（1）侧棱相等，侧面都是平行四边形；（2）两个底面与平行于底面的截面是全等多边形；（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.例2.有两个面互相平行，其余各面都是
平行四边形的几何体是不是棱柱？ 长方体：侧面和底面都是矩形的棱柱.正方体：侧面和底面都是正方形的棱柱.柱、锥、台、球的结构特征棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台球SABCD结构特征 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。棱锥的结构特征1.棱锥的概念： 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.棱锥的结构特征1.棱锥的概念：棱锥的底面：多边形面.简称底.底面顶点棱锥的侧面：有公共顶点的
各个三角形面.棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边.棱锥的顶点：各侧面的公共顶点.侧
棱侧
面棱锥的结构特征2.棱锥的分类：按底面多边形的边数来分三棱锥四棱锥五棱锥3.棱锥的表示：棱锥S－ABC用顶点各底面各顶点的字母表示柱、锥、台、球的结构特征棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台球结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.棱台的结构特征1.棱台的概念：棱台的底面： 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。下底面侧
棱顶
点侧
面上底面棱台的结构特征1.棱台的概念： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.2.棱台的分类： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……三棱台四棱台五棱台3.棱台的表示：棱台ABCD－A‘B’C‘D’用顶点各底面各顶点的字母表示B’柱、锥、台、球的结构特征棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台球AA’OBO’结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。柱、锥、台、球的结构特征棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台球SABO结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。柱、锥、台、球的结构特征棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台球结构特征 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.柱、锥、台、球的结构特征棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台球结构特征O半径球心 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体.球的结构特征球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。 柱、锥、台、球的结构特征棱柱棱锥圆柱圆锥圆台棱台球（1）棱柱与圆柱统称为柱体。（2）棱锥与圆锥统称为锥体。旋转体（2）棱台与圆台统称为台体。多面体几何体的分类 前面提到的四种几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥，可以怎样分类？柱体锥体锥
体柱
体台
体柱、锥、台体的关系 棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？几何体的分类柱体锥体台体球多面体旋转体练习：1、下列命题是真命题的是（ ）A 以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的几何体为圆锥；
B 以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体为圆柱；
C 圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆；
D 有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体是棱锥。A2、过球面上的两点作球的大圆，可以作（ ）个。1或无数多3.下图中不可能围成正方体的是（ ）B4.在棱柱中………………..( )A . 只有两个面平行B . 所有的棱都相等C . 所有的面都是平行四边形D . 两底面平行，并且各侧棱也平行D知识小结简单几何体的结构特征柱体锥体台体球棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台第一章 空间几何体
§1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
一、基础过关
1．下列说法中正确的是 ( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图
C．正方体的各条棱长都相等
D．棱柱的各条棱长都相等
2．棱台不具备的特点是 ( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．
7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
二、能力提升
9．下图中不可能围成正方体的是( )
10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；
(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．
三、探究与拓展
12．正方体的截面可能是什么形状的图形？
答案
1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②
7．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
8．解 过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.
9．D 10.①③④⑤
11．解 (1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．
(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．
12．解 本问题可以有如下各种答案：
①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；
②截面三角形是锐角三角形；
③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；
④截面可以是五边形；
⑤截面可以是六边形；
⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．
截面图形举例
