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卡帅奇梦记
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定 义
示例剖析
有序数对：有顺序的两个数与组成的数对叫做有序数对，记作．利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置．
与是两个不同的有序数对.
平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．
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点的坐标：如右图，由点分别向轴和轴作垂线，垂足在轴上的坐标是，垂足在轴上的坐标是，则点的坐标为．
点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．
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象限和轴：
横轴（轴）上的点的坐标满足：；
纵轴（轴）上的点的坐标满足：；
第一象限内的点的坐标满足：；
第二象限内的点的坐标满足：；
第三象限内的点的坐标满足：；
第四象限内的点的坐标满足：；
点都在轴上；
点都在轴上．
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易错点1：当时，和是两个不同的有序实数对．
易错点2：原点在坐标轴上，两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
【引例】已知、、为长方形的三个顶点，
⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出、、三点；
⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点，并写出它的坐标；
⑶ 描点后并进一步判断点、、、分别在哪一象限？
⑷ 观察、两点，它们的坐标有何特点？与呢？与呢？
⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那 么“炮”所在位置的坐标为 ．
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⑵ 由坐标平面内的三点构成的是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
⑶ 若规定向北方向为轴正方向，向东方向为轴正方向，小明家的坐标为，小丽家的坐标为，则小明家在小丽家的（ ）
A．东南方向 B．东北方向 C．西南方向 D．西北方向
⑷ 已知点在轴上，则点的坐标为 ．
⑸ 方格纸上两点，若以点为原点，建立平面直角坐标系，则点坐标为，
若以点为原点建立平面直角坐标系，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
⑴ 如果点在第四象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（人大附中期中）
⑵ 已知点在第三象限，且它的坐标都是整数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
（一五六中学期中）
⑶ 已知点在第一象限，点在第四象限，若都为整数，
则 ．
（人大附中期中）
⑷ 已知点，若点在轴上，则点的坐标为 ；若点 在第二象限，并且为整数，则点坐标为 ．
（四中期中）
⑸ 如果点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
⑹ 设在第三象限，则：
在第 象限；
在第 象限；
在第 象限.
⑴ 对任意实数，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
⑵ 点，当变化时，点不可能在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
（四中期中）
⑶ 证明：①点不在第三、四象限；
②点不在第四象限．
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定 义
示例剖析
平行于坐标轴的直线：
与横轴平行的直线：点表示法，为任意实数，的常数（即直线）；
与纵轴平行的直线：点表示法，为任意实数，的常数（即直线）.
直线平行于轴；
直线平行于轴．
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角平分线：
一、三象限角平分线：点表示法，
，为任意实数，且；
二、四象限角平分线：点表示法，
，为任意实数，且.
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注：1平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；
2平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．
【引例】已知是平面直角坐标系内一点. 请在下面横线上填上点的具体位置：
⑴ 若，则点在 ；
⑵ 若，则点在 ；
⑶ 若，则点在 ；
⑷ 若，则点在 ；
⑸ 若，则点在 ；
⑹ 若，则点在 ．
⑴ 已知点在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点的坐
标为 ．
⑵已知点在坐标轴夹角平分线上，则点的坐标为 ．
⑶ 已知点在第二、四象限的角平分线上，求的值．
⑴ 点的坐标为，点的坐标为，则线段所在的直线与轴的位置 关系是 ．
（八十中学期中试题）
⑵ 在下列四点中，与点的连线平行于轴的是（ ）
A． B． C． D．
（人大附中期中试题）
⑶ 过点且与轴平行的直线是 ，与轴平行的直线是 ．
⑷ 已知：点，试分别根据下列条件，直接写出点的坐标.
①点在轴上：
②点在轴上：
③点的纵坐标比横坐标大：
④点在过点且与轴平行的直线上：
(2011年北京四中期中考试题)
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1. 点到轴的距离
点到到轴的距离是，到轴的距离是.
2. 点到水平直线、竖直直线的距离
点到直线（为常数）的距离为，
注：当时，就是点到横轴（轴）的距离为；
点到直线（为常数）的距离为，
注：当时，就是点到纵轴（轴）的距离为．
3. 同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离
在直线上，点，则；
在直线上， 点，则.
【引例】⑴点到横轴的距离为 ，到纵轴的距离为 ．
⑵点在第二象限内，且点到轴的距离是4，到轴距离是3，那么点的坐标是 ．
⑴ 点到轴的距离为，到轴的距离为，该点坐标为 ．
⑵ 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为3，则的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．或1
（人大附中期中）
⑶ 若轴上的点P到轴的距离为3，则点P的坐标为（ ）．
A． B．或
C． D．或
（西外期中）
⑷ 点到直线的距离为 ，到直线的距离为 ．
⑸ 点到直线的距离为，求的坐标．
⑹ 已知点
①若轴，则 ；
②若轴，则 ；
已知：实数满足，且以关于的方程组的解为坐标的点在第二象限，求实数的取值范围．
（2013首师大附中中学期中）
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题型一 平面直角坐标系的基本概念 巩固练习
⑴ 点（，）在第一象限，则的取值范围是 ．
⑵ 在直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是 ．
⑶ 点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
⑴ 已知，则的坐标为 ，在第 象限内．
⑵ 若，满足，则在第 象限．
⑶ 如果点在第二象限，那么点在第 象限．
⑷ 已知点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型二 坐标平面内的特殊直线 巩固练习
⑴ 若点在第二象限的角平分线上，则 ．
⑵ 点在第三象限的角平分线上，则 ；
⑶ 若点在第一、三象限的角平分线上，且点到轴的距离为2，则点的坐标是( )
A． B．
C．或 D．或
⑴ 点的坐标为，点的坐标为，则线段所在的直线与轴的位
置关系是 ．
⑵ 已知：，点在轴上，且．则点的坐标为 ．
⑶ 已知：点坐标为，过作轴，则点纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．无法确定
⑷ 线段的长度为3且平行于轴，已知点坐标为，则点的坐标为 .
题型三 点到线的距离 巩固练习
⑴ 点到轴距离为 ，到轴距离为 ．
⑵ 点在第二象限内，且点到轴的距离是4，到轴距离是3，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（北京27中期中）
⑶ 若点到轴的距离是2，到轴的距离是3，则这样的点有（ ）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
⑷已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ．
⑸ 点到直线的距离为 ，到直线的距离为 .
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卡帅奇梦记
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编写思路：
一：让学生认识平面直角坐标系，让学生自己动手找点、描点，体会坐标与点的一一对应关系。
二：让学生认识并且理解坐标系中特殊直线的表示方法。
三：让学生充分体会点的坐标（数字）与距离（线段长度）之间的关系。
平面直角坐标系是数形结合最重要的工具，它将坐标与几何图形紧密的结合在一起。在这讲中，老师一定要向学生传达这个意识，由数到形、由形到数的转化。
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定 义
示例剖析
有序数对：有顺序的两个数与组成的数对叫做有序数对，记作．利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置．
与是两个不同的有序数对.
平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．
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点的坐标：如右图，由点分别向轴和轴作垂线，垂足在轴上的坐标是，垂足在轴上的坐标是，则点的坐标为．
点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．
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象限和轴：
横轴（轴）上的点的坐标满足：；
纵轴（轴）上的点的坐标满足：；
第一象限内的点的坐标满足：；
第二象限内的点的坐标满足：；
第三象限内的点的坐标满足：；
第四象限内的点的坐标满足：；
点都在轴上；
点都在轴上．
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易错点1：当时，和是两个不同的有序实数对．
易错点2：原点在坐标轴上，两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
【引例】已知、、为长方形的三个顶点，
⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出、、三点；
⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点，并写出它的坐标；
⑶ 描点后并进一步判断点、、、分别在哪一象限？
⑷ 观察、两点，它们的坐标有何特点？与呢？与呢？
⑴ 如右图所示；
⑵ ；
⑶ ：第二象限；：第三象限；：第四象限；：第一象限
⑷ 、坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
位置特点：关于轴对称．
、坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，
位置特点：关于轴对称．
、坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，
位置特点：关于原点对称．
⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“炮”
所在位置的坐标为 ．
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⑵ 由坐标平面内的三点构成的是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
⑶ 若规定向北方向为轴正方向，向东方向为轴正方向，小明家的坐标为，小丽家
的坐标为，则小明家在小丽家的（ ）
A．东南方向 B．东北方向 C．西南方向 D．西北方向
⑷ 已知点在轴上，则点的坐标为 ．
⑸ 方格纸上两点，若以点为原点，建立平面直角坐标系，则点坐标为，
若以点为原点建立平面直角坐标系，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
⑴； ⑵B； ⑶ B； ⑷ ；⑸ A．
⑴ 如果点在第四象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（人大附中期中）
⑵ 已知点在第三象限，且它的坐标都是整数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
（一五六中学期中）
⑶ 已知点在第一象限，点在第四象限，若都为整数，
则 ．
（人大附中期中）
⑷ 已知点，若点在轴上，则点的坐标为 ；若点在
第二象限，并且为整数，则点坐标为 ．
（四中期中）
⑸ 如果点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
⑹ 设在第三象限，则：
在第 象限；
在第 象限；
在第 象限.
⑴D； ⑵ B； ⑶ 7或8； ⑷ ，； ⑸A；
⑹由题意知，答案依次为：一；三；一.
⑴ 对任意实数，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
⑵ 点，当变化时，点不可能在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
（四中期中）
⑶ 证明：①点不在第三、四象限；
②点不在第四象限．
⑴ C；⑵ D；
⑶ ①∵，∴点不在第三、四象限；
② 若，不等式组无解，
∴点不在第四象限.
“不存在类问题”需要对点坐标进行正负分析．
【变式】平面直角坐标系内，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
C
本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等式组的问题．
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定 义
示例剖析
平行于坐标轴的直线：
与横轴平行的直线：点表示法，为任意实数，的常数（即直线）；
与纵轴平行的直线：点表示法，为任意实数，的常数（即直线）.
直线平行于轴；
直线平行于轴．
/
角平分线：
一、三象限角平分线：点表示法，
，为任意实数，且；
二、四象限角平分线：点表示法，
，为任意实数，且.
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注：1平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；
2平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．
【引例】已知是平面直角坐标系内一点. 请在下面横线上填上点的具体位置：
⑴ 若，则点在 ；
⑵ 若，则点在 ；
⑶ 若，则点在 ；
⑷ 若，则点在 ；
⑸ 若，则点在 ；
⑹ 若，则点在 ．
⑴ 第一或三象限；⑵ 第二或四象限；⑶ 坐标轴上；
⑷ 原点；⑸ 一、三象限角平分线上；⑹ 二、四象限角平分线上.
⑴ 已知点在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点的坐标
为 ．
⑵已知点在坐标轴夹角平分线上，则点的坐标为 ．
⑶ 已知点在第二、四象限的角平分线上，求的值．
⑴；
⑵或；
⑶.
⑴ 点的坐标为，点的坐标为，则线段所在的直线与轴的位置关系
是 ．
（八十中学期中试题）
⑵ 在下列四点中，与点的连线平行于轴的是（ ）
A． B． C． D．
（人大附中期中试题）
⑶ 过点且与轴平行的直线是 ，与轴平行的直线是 ．
⑷ 已知：点，试分别根据下列条件，直接写出点的坐标.
①点在轴上：
②点在轴上：
③点的纵坐标比横坐标大：
④点在过点且与轴平行的直线上：
(2011年北京四中期中考试题)
⑴平行；所在的直线与轴平行，则这两点纵坐标相同，横坐标不同．
⑵D．两点所在的直线与轴平行，则这两点横坐标相同，纵坐标不同．
⑶．
⑷①；②；③；④.
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1. 点到轴的距离
点到到轴的距离是，到轴的距离是.
2. 点到水平直线、竖直直线的距离
点到直线（为常数）的距离为，
注：当时，就是点到横轴（轴）的距离为；
点到直线（为常数）的距离为，
注：当时，就是点到纵轴（轴）的距离为．
3. 同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离
在直线上，点，则；
在直线上， 点，则.
【引例】⑴点到横轴的距离为 ，到纵轴的距离为 ．
⑵点在第二象限内，且点到轴的距离是4，到轴距离是3，那么点的坐标是 ．
⑴，；⑵.
⑴ 点到轴的距离为，到轴的距离为，该点坐标为 ．
⑵ 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为3，则的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．或1
（人大附中期中）
⑶ 若轴上的点P到轴的距离为3，则点P的坐标为（ ）．
A． B．或
C． D．或
（西外期中）
⑷ 点到直线的距离为 ，到直线的距离为 ．
⑸ 点到直线的距离为，求的坐标．
⑹ 已知点
①若轴，则 ；
②若轴，则 ；
⑴（，）、（，）、（，）、（，）；
⑵ C； ⑶ B； ⑷ ，；
⑸ ，∴，∴点的坐标为（，）或（，）．
⑹① ；②
针对第（5）题对点到特殊直线、坐标轴和特殊点的距离问题进行变式.
【变式1】点到直线的距离为，求的坐标．
，即，解得
∴点的坐标为（，）或（1，1）
【变式2】点到坐标轴的距离为3，求的坐标．
分类讨论：
点到x轴：
，解得，
点到y轴：
，解得
综上，点的坐标为（9，-3）或（-3,3）或（3,0）.
【变式3】点到点的距离为3，求的坐标．
观察可得这两个点的纵坐标相同，可得
解得或
故点的坐标为或.
注：本题也可变为点到点的距离为3，求的坐标．
由题意得，解得或. 故点的坐标为或.
【点评】例6（5）和变式1是为了让学生区分点到平行于x轴、y轴的公式计算方法，而变式2是一道典型的需要分类讨论的问题，学生需要考虑全面.
已知：实数满足，且以关于的方程组的解为坐标的点在第二象限，求实数的取值范围．
（2013首师大附中中学期中）
解得 ，代入方程组解得，
由题意得，解得
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题型一 平面直角坐标系的基本概念 巩固练习
⑴ 点（，）在第一象限，则的取值范围是 ．
⑵ 在直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是 ．
⑶ 点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
⑴ ；⑵ ；⑶ B．
⑴ 已知，则的坐标为 ，在第 象限内．
⑵ 若，满足，则在第 象限．
⑶ 如果点在第二象限，那么点在第 象限．
⑷ 已知点在第二象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
⑴ ，在第四象限；⑵ 二；⑶ 三；⑷ D．
题型二 坐标平面内的特殊直线 巩固练习
⑴ 若点在第二象限的角平分线上，则 ．
⑵ 点在第三象限的角平分线上，则 ；
⑶ 若点在第一、三象限的角平分线上，且点到轴的距离为2，则点的坐标是( )
A． B． C．或 D．或
⑴ ； ⑵ ；⑶ C．
⑴ 点的坐标为，点的坐标为，则线段所在的直线与轴的位置关系
是 ．
⑵ 已知：，点在轴上，且．则点的坐标为 ．
⑶ 已知：点坐标为，过作轴，则点纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．无法确定
⑷ 线段的长度为3且平行于轴，已知点坐标为，则点的坐标为 .
⑴ 垂直；
⑵ ；
⑶ B；
⑷
题型三 点到线的距离 巩固练习
⑴ 点到轴距离为 ，到轴距离为 ．
⑵ 点在第二象限内，且点到轴的距离是4，到轴距离是3，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（北京27中期中）
⑶ 若点到轴的距离是2，到轴的距离是3，则这样的点有（ ）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
⑷ 已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ．
⑸ 点到直线的距离为 ，到直线的距离为 .
⑴ 4，5；⑵ C；⑶ B；⑷ 或；⑸ 1，5．
