/
色盲检测
/
/
/
/
定 义
示例剖析
三角形的定义：
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性.
表示法及读法：
三角形用符号“”表示，顶点是、、的三角形记作“ ”，读作“三角形”．
的三边有时也用，，表示．
/
顶点的对边
（）
顶点的对边
（）
顶点的对边
（）
三角形的内角：
三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.
是三角形的内角
三角形的分类：
注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角. 三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）．
//
///
三角形三条边的关系
三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.
三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边.
即、、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段.
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．
/
,
,
【引例】一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
⑴下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．1cm，2cm，5cm B．4cm，5cm，9cm
C．5cm，8cm，15cm D．6cm，8cm，9cm
⑵下列线段能组成三角形的是 ．
① ② ③ ④
⑶已知三角形三边长分别为，则的取值范围是 。
⑷如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选
取一点，测得米，米，、间的距离不可
能是（ ）
A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米
⑸已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A． B． C． D．
（人大附中期中考试）
⑴若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长满足，则这样的
三角形有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．11个 （北京二中分校期中考试）
⑵如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
（北京八中期中考试）
⑶、、为三角形的三边长，化简=_____.
⑷已知三角形三边长为a，b，c，且，求b的值.
/
定 义
示 例 剖 析
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于.
/
在中，
三角形的外角：
三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.
如图，是的外角.
三角形内角和定理的三个推论:
①推论1: 直角三角形的两个锐角互余.
②推论2: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
③推论3: 三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角.
如：外角
，
，
，
三角形的外角和：
每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和.
三角形的外角和等于.
注：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的.
∠1+∠2+∠3=360°
⑴三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不属于哪一类
（十一学校期中考试）
⑵中，若，则 ， .
（27中期中考试）
⑶若一个三角形的三个外角的度数之比为，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
（人大附中期中考试）
⑷ 如图，和是的高，和交于，已知，，
则 ． (八十中期中考试）
如图，是的角平分线，，．试探究与有何关系？并对你的结论加以说明．
/
定 义
示 例 剖 析
三角形中的重要线段
①三角形的角平分线:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部.
线段为的角平分线
②三角形的中线:
在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心，而且它一定在三角形内部.
线段为边上的中线
③三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心.
锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；
钝角三角形的高中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点.
注: 老师可视学生情况自行补充另外两心.
线段为边上的高
如图，在钝角中：
⑴画的的角平分线，边上的中线，边上的高.
⑵画出此三角形的三条高线，并画出三角形的垂心。
⑴ 如果一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，则这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B．锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
⑵如右图，于点，于点，于
点，下列说法中不正确的是（ ）．
A．是的高
B．是的高
C．是的高
D．是的高
（北京四中期中考试）
⑶ 在中，是边上的高，若，，则的长是 ．
（北京八十中期中考试）
⑷ 在中,是直线边上的点,且,的面积是,则的面积是 .
⑸ 在等腰中，，一腰上中线将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底长为 ．
（人大附中期中考试）
⑹在内有一点，且点到三角形三边距离相等，已知三角形周长15，面积为30，则到三边的距离是_________________.
如图，由图1的沿折叠得到图2，图3，图4.
⑴ 如图2，猜想与的关系，
并说明理由；
⑵ 如图3，猜想和与的关系，
并说明理由；
⑶ 如图4，猜想和与的关系，无需说明理由．
图3 图4
如图，已知
⑴ 将边上一点（点、除外）向上移动，使平分，
平分，探究：与的关系．
⑵ 将边上一点（点、除外）向下移动，使平分 的外角，平分的外角．探究：与的关系．
⑶ 将边上一点（点、除外）向左上方移动，使平分的外角，平分，探究：与的关系．
/
题型一 三角形的边 巩固练习
如图所示，具有稳定性的有（ ）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
A.只有⑴⑵ B.只有⑶⑷ C.只有⑵⑶ D.⑴⑵⑶
若一个三角形的两边长分别是3和11，则周长的取值范围是 .
（北京27中期中考试）
已知等腰三角形的两边长分别为和，它的周长是 .
（北京二中分校期中考试）
题型二 三角形有关的角 巩固练习
如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点，若， 则 ．
/
题型三 三角形的角分线、中线、高 巩固练习
已知，在中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，则边、的长分别为
/
色盲检测
/
/
/
/
定 义
示例剖析
三角形的定义：
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性.
表示法及读法：
三角形用符号“”表示，顶点是、、的三角形记作“ ”，读作“三角形”．
的三边有时也用，，表示．
/
顶点的对边
（）
顶点的对边
（）
顶点的对边
（）
三角形的内角：
三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.
是三角形的内角
三角形的分类：
注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角. 三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）．
//
///
三角形三条边的关系
三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.
三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边.
即、、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段.
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．
/
,
,
教师总结：根据三角形三边关系的相关考点
考点一、已知两边求第三边的取值范围或边长
例1、用三条绳子打结成三角形（不考虑结头长），已知两根分别为3cm，7cm，求第三根长度有什么限制.
【解析】设第三根绳子长为xcm，有7-3 例2、已知三角形两边长为3cm，6cm，且第三边为奇数，求第三边的长度.
【解析】第三边为5cm或7cm
考点二、判断三条线段能否构成三角形
例3、以下列各组线段为边，能构成三角形的是（ ）
A.1cm,2cm,4cm B.8cm,6cm,4cm C.12cm,5cm,6cm D.8cm,6cm,2cm
【解析】B
考点三、确定三角形的个数问题
例4、长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任意取三根，能组成多少个三角形？
【解析】从四根木棒中取三根，共有四种取法，分别是：
①2cm、3cm、4cm ； ②2cm、3cm、5cm．
③3cm、4cm、5cm ； ④2cm、4cm、5cm．
其中①、③、④符合三角形三边关系，因此可以组成三个三角形.
考点四、化简代数式问题
如例2、⑶⑷
考点五、三角形边的不等关系
如思维拓展，训练2
【引例】一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解析】根据三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和，可得第三边的取值范围是，在这一范围内满足第三边是整数的点分别是5、6、7、8、9，而三角形的周长要取最小值，即当第三边时，这个三角形周长最小，是3+5+7=15，故选B.
⑴下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．1cm，2cm，5cm B．4cm，5cm，9cm
C．5cm，8cm，15cm D．6cm，8cm，9cm
⑵下列线段能组成三角形的是 ．
① ② ③ ④
⑶已知三角形三边长分别为，则的取值范围是 。
⑷如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选
取一点，测得米，米，、间的距离不可
能是（ ）
A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米
⑸已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A． B． C． D．
（人大附中期中考试）
⑴ D ； ⑵ ②④； ⑶ ；⑷ A； ⑸ B；
⑴若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长满足，则这样的
三角形有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．11个 （北京二中分校期中考试）
⑵如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
（北京八中期中考试）
⑶、、为三角形的三边长，化简=_____.
⑷已知三角形三边长为a，b，c，且，求b的值.
⑴A；⑵A；⑶0
⑷
根据三边关系可化简为
/
定 义
示 例 剖 析
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于.
/
在中，
三角形的外角：
三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.
如图，是的外角.
三角形内角和定理的三个推论:
①推论1: 直角三角形的两个锐角互余.
②推论2: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
③推论3: 三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角.
如：外角
，
，
，
三角形的外角和：
每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和.
三角形的外角和等于.
注：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的.
∠1+∠2+∠3=360°
⑴三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不属于哪一类
（十一学校期中考试）
⑵中，若，则 ， .
（27中期中考试）
⑶若一个三角形的三个外角的度数之比为，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
（人大附中期中考试）
⑷ 如图，和是的高，和交于，已知，，
则 ． (八十中期中考试）
⑴ C；⑵ 72；36；⑶ C；⑷.
如图，是的角平分线，，．试探究与有何关系？并对你的结论加以说明．
,说明略.
/
定 义
示 例 剖 析
三角形中的重要线段
①三角形的角平分线:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部.
线段为的角平分线
②三角形的中线:
在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心，而且它一定在三角形内部.
线段为边上的中线
③三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心.
锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；
钝角三角形的高中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点.
注: 老师可视学生情况自行补充另外两心.
线段为边上的高
如图，在钝角中：
⑴画的的角平分线，边上的中线，边上的高.
⑵画出此三角形的三条高线，并画出三角形的垂心。
⑴如下左图，是的角平分线，是边上的中线，是边上的高
⑵如下右图，垂线段分别为边上的高。三条高线所在直线的交点为，即为垂心。
⑴ 如果一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，则这个三角形是（ ）
A. 直角三角形 B．锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
⑵如右图，于点，于点，于
点，下列说法中不正确的是（ ）．
A．是的高
B．是的高
C．是的高
D．是的高
（北京四中期中考试）
⑶ 在中，是边上的高，若，，则的长是 ．
（北京八十中期中考试）
⑷ 在中,是直线边上的点,且,的面积是,则的面积是 .
⑸ 在等腰中，，一腰上中线将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底长为 ．
（人大附中期中考试）
⑹在内有一点，且点到三角形三边距离相等，已知三角形周长15，面积为30，则到三边的距离是_________________.
⑴ A; ⑵ C; ⑶ 2或8; ⑷ 24或72; ⑸ 8或16；⑹4
如图，由图1的沿折叠得到图2，图3，图4.
⑴ 如图2，猜想与的关系，
并说明理由；
⑵ 如图3，猜想和与的关系，
并说明理由；
⑶ 如图4，猜想和与的关系，无需说明理由．
图3 图4
⑴ ;
证明：∵（三角形内角和），
，（平角度数）
∴（等量代换）
∴;
⑵ ,证明略;
⑶ .
如图，已知
⑴ 将边上一点（点、除外）向上移动，使平分，
平分，探究：与的关系．
⑵ 将边上一点（点、除外）向下移动，使平分 的外角，平分的外角．探究：与的关系．
⑶ 将边上一点（点、除外）向左上方移动，使平分的外角，平分，探究：与的关系．
⑴ 如图，探究可得：
∵平分，平分
∴，
又∵
∴
又∵
∴即
⑵ 如图，探究可得
∵和都是的外角，
∴，/
∴．
又∵，∴．
∵平分,平分，
∴．
又∵，
∴．
⑶ 如图，探究可得：
∵,
∴
又∵平分，平分
∴,
又∵
∴
即.
总结：三角形的两个内角的平分线相交所成的钝角等于加上第三个角的一半；
三角形的两个外角的平分线相交所成的锐角等于减去第三个角的一半；
三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角等于第三个内角的一半.
针对例8⑴进行变式.
【变式1】如图，若中，、的三等分线
交于，点，则
____________,______________.
【解析】，
【变式2】你能猜想出它的规律吗？等分时（内部有个点），_______________,
_____________________.
【解析】，
【探究对象】三角形中角的计算方法
【探究目的】通过研究三角形中常用的倒角方法，为以后其他的几何图形中的计算角度打好基础.
要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形中常见的角度关系.
1、内角和定理：在中，.
2、外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
3、直角三角形：直角三角形的两个锐角之和等于.
4、等腰三角形：已知等腰三角形的顶角为，则两底角为;已知等腰三
角形的一个底角为，则另一个底角也是,顶角为.
三角形中的角度计算主要分以下两种形式：1、方程法，2、推理代换法
方法一：方程法
【探究1】在中，，比大10°，求.
【解析】见比设，可设，，可得，由三角形内角和可知，，解得，.
方法二：推理代换法
【探究2】根据三角形内角和定理解决.
已知：如图，于，于，， ，，求的度数（北京师大附中试题）.
【解析】由，，，根据三角形内角和定理可知 ,
，，根据三角形内角和可得:，.
【探究3】体现了直角三角形两锐角互补和外角的性质
如图，已知于，，，求度数．
【解析】在中，两锐角互补，可知， ，再根据三角形外角的性质，可以得出
.
【探究4】已知，，平分，点是射线上的一个动点， 于．
如图①，若点，，点与点重合，则 ；
如图②，当点运动到线段上（与点、点不重合）时，与，的数量关系是 ．
/
⑶ 当点运动到线段延长线上时，请你在图③中画出图形，探究③中画出图形，探究⑵中的结论是否成立，并说明理由．（东城期末试题）
图③ 【解析】⑴
⑵先观察，在中，根据三角形内角和定理可以知道，，此时，把看作的内角，再根据内角和定理，，平分，，再根据内角和将用和表示出来，。也可以把看作的外角，根据三角形外角性质可以推出，最后同样可以得出.
(3)图略，结论同样成立.
总结：本题的依据是三角形内角和定理或三角形外角的性质.
/
⑴ 下列长度的线段能否组成三角形：、、()；
⑵ 下列长度的线段能否组成三角形：、、().
⑴，均小于，而.
因为，所以，它们可以构成三角形；
⑵ 有，，而，因为，
所以，即，它们可以组成三角形.
如图，为内一点，试说明．
图中有很多个三角形，在几个三角形中利用三边关系进行判断．
因为，，，
所以，
即．
所以．
已知：如图，点、分别在、上，、交于，.
⑴ ，，求的度数；
⑵ 若，则的度数 度．（直接写在横线上）
/
（北京市第一六一中学期中测验）
⑴76°；⑵78.
如图所示，已知，，，在上，
且满足，平分．
⑴ 求的度数；
⑵ 若平行移动，那么：的值是否随之发生
变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
⑶ 在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使
？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．
⑴ ；⑵ ；⑶ 存在，．
【点评】此题是一类重点题型，考查了学生的转化思想，题目难度较大，是角平分线与平行性质的综合，老师可提前给学生渗透这种思想，让学生掌握此类问题的解法．
/
题型一 三角形的边 巩固练习
如图所示，具有稳定性的有（ ）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
A.只有⑴⑵ B.只有⑶⑷ C.只有⑵⑶ D.⑴⑵⑶
C.
若一个三角形的两边长分别是3和11，则周长的取值范围是 .
（北京27中期中考试）
已知等腰三角形的两边长分别为和，它的周长是 .
（北京二中分校期中考试）
或18
题型二 三角形有关的角 巩固练习
如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点，若， 则 ．
/
题型三 三角形的角分线、中线、高 巩固练习
已知，在中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，则边、的长分别为
,或cm，cm.
