/
营救小美
/
/
/
/
“飞镖”模型
“8”字模型
如图，，，，试求的角度．
（二分期中）
⑴如图1，则= .
⑵如图2，则 ．
图1 图2
⑴如图1，求= .
⑵如图2，求 ．
/
图1 图2
已知：如图,，，分别平分和．
⑴ 求的大小；
⑵ 当,为任意角时，探索与,间的数量关系，
并对你的结论加以证明．
如图，和中，，又有．
⑴求的度数；
⑵判断与的位置关系，并对你的结论加以证明．
（四中期中考试）
/
“飞镖”模型
“8”字模型
如图，求证： .
如图，、是四边形的对角线，且、相交于点．求证：
⑴ ．
⑵ ．
/
三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，位于线段上，位于线段上．
⑴ 说明为什么．
⑵ 说明为什么．
⑶ 与，哪一个更大？
证明你的答案；
⑷ 与，哪一个更大？证明你
的答案．
/
题型一 三角形的两大模型之角度关系 巩固练习
【练习1】如图∠A=30°，求∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
【练习2】如图，在中，是它的一个外角，为边上一点，延长到，连接，
求证：.
【练习3】如图，已知D是△ABC的BC边延长线上一点，DF⊥AB，交AB于F，交AC于，∠A=40°， ∠D=30°，求∠ACB的度数.
/
【练习4】 将图1中线段上一点（点、除外）向下拖动，依次可得图2、图3、图4．分
别探究图2、图3、图4中、、、、（）之间有什么关系？
/→/→/→/ 图1 图2 图3 图4
题型二 三角形两大模型之边的关系 巩固练习
【练习5】如图，在四边形中，.问成立吗？为什么？
/
营救小美
/
/
/
/
“飞镖”模型
“8”字模型
注：老师可视学生情况适当复习三角形内外角和以及三角形三边关系，建议先讲学案上的练习题.
如图，，，，试求的角度．
（二分期中）
本题要求的度数，由于图中没有出现三角形，故不能直接应用三角形内角和定理或外角性质解题．需在原有图形上添加辅助线，构造出三角形．
/ / / /
法一：延长交于．
∵是的一个外角，
∴．
又是的一个外角，
∴．
法二：连接并延长至，
∵是的一个外角，
是的一个外角
∴
∴
法三：连接，
∵
∴
又∵
∴
此题有众多求解方法这里只给出比较重要的三种方法.
⑴如图1，则= .
⑵如图2，则 ．
图1 图2
⑴本题既可按“8字模型”来考虑，也可按照飞镖模型来做，也可以应用外角定理来解决，此题可以锻炼学生一题多解，熟练灵活的应用.
①如图1，连接，应用“8字模型”
，.
② 如图2，应用飞镖模型
∵
∵
∴
③如图3，应用外角定理
∵
又∵
∴
/
⑵210° 利用两次飞镖模型.
⑴如图1，求= .
⑵如图2，求 ．
/
图1 图2
本题既可以利用“8字模型”；也可以利用三角形内外角和定理.
法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6 ①
∠C+∠D=∠4+∠6 ②
∠E+∠F=∠4+∠5 ③
①+②+③=2（∠4+∠5+∠6）
∵．
∴．
法二：∵， ①
， ②
． ③
而，，，
且． ④
∴①+②+③④得，
法三：连接，
∴
⑵.连接利用两次飞镖模型.
已知：如图,，，分别平分和．
⑴ 求的大小；
⑵ 当,为任意角时，探索与,间的数量关系，
并对你的结论加以证明．
（西城测试）
观察图形，找已知角与所求角之间的关系，发现、在两个不同的三角形，用三角形内外角的关系把、与联系起来，即可求出，并探索出三角关系．
⑴ 根据三角形内角和定理，在和中，
，，
∴ ①
同理 ②
∵，，
∴①+②得，
即
⑵ 当、为任意角时，，
证明：根据三角形外角性质，可得：
，
，
∴
∴
又∵、分别平分、
∴，
∴
∴，即.
本题是河南省竞赛题，上海市竞赛题的变式，考查三角形内外角性质的综合应用，也有方程思想的运用，书写过程涉及等式较多，学生常感到困难．可让学生先在草稿上写出所得结论，再分析等量关系，连接起来，最后写出过程．
【探究对象】三角形中涉及到角平分线的倒角方法.
【探究目的】通过观察由角平分线构建的两个模型，从而熟练的解决相关的角平分线倒角问题.
【探究1】“飞镖”模型中的角平分线
1、中和的角平分线交于P，探究和之间的关系.
【解析】本题中的四边形“飞镖”模型，可知
又
.
2、凸四边形中和的平分线交于点，
探究与,间的数量关系.
【解析】四边形构成“飞镖”模型，，在四边形中，，，，
所以整理得，.
3、凹四边形中和的平分线交于点，探究
与,间的数量关系.
【解析】
【探究2】 “8”字模型中的角平分线
4、中的外角和的角平分线交于P点，
探究和之间的关系
【解析】由本题中的“8”字模型得出，，可得.
5、凸四边形中的角平分线和的外角的角平分线相交于点，探究与,间的数量关系.
【解析】
6、凹四边形中的角平分线和的外角的角平分线相交于点，探究与,间的数量关系.
【解析】本题中存在“8”字模型和“飞镖”模型，
.
如图，和中，，又有．
⑴求的度数；
⑵判断与的位置关系，并对你的结论加以证明．
（四中期中考试）
/
⑴ ∵ ∴ 又∵ ∴.
⑵ ，证明如下： 由飞镖模型可知：，
又由⑴知， ∴， ∴.
注：飞镖模型的结论不能直接使用，学生要先证明.
/
“飞镖”模型
“8”字模型
如图，求证： .
如图延长,交于点
则由飞镖模型得
在中， (三角形两边之和大于第三边)
∴
即
∴.
如图，、是四边形的对角线，且、相交于点．求证：
⑴ ．
⑵ ．
⑴ 在中，，
在中，，两不等式相加得:
∴
即
⑵ 应用上题的结论：，，
∴．
/
三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，位于线段上，位于线段上．
⑴ 说明为什么．
⑵ 说明为什么．
⑶ 与，哪一个更大？证明你
的答案；
⑷ 与，哪一个更大？证明你的答案．
⑴ 由三角形不等式，．
⑵ 由三角形不等式，．因此，
．
⑶ 由三角形不等式，，，以及，将三个不等式相加，得．
⑷由⑵可知．类似可得，以及．将这三个不等式相加，
可得，即
．
【教师备选】
【备选1】如图，计算
【解析】提示：连接、，
转化为和四边形的内角和之和，结果为
【备选2】如下图所示，中，，在上，，，求
的度数．
【解析】设，．则，，
由外角定理得，，
即，则．
又，（江苏省中考题）
∴，
∴，∴．
/
训练1.如图，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向．求的度数．
、、三边的连线构成，所求是的一个内角，先求出和，利用三角形内角和定理即可求出．
法一：因为处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向．处在 处的北偏东方向．
∴，，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴.
法二：∵
∴
∴
∵是的外角
∴.
训练2. 如图中的几个图形是五角星和它的变形
/
图① 图② 图③
⑴图①中是一个五角星，求;
⑵图①中点向下移到上，五个角的和有无变化？（即)
如图②，说明你的结论的正确性.
⑶把图②中点向上移动到上，五个角的和
（即）有无变化，如图③，说明你的结论的正确性.
⑴180°
⑵无变化
∵,
∴
=
=180°
⑶无变化
∵,
∴==180°.
训练3.如图，求六个角的和.
/
连接、,与的交点为
∵三角形内角和等于，
∴，
∵，∴
同理
∴
.
训练4.如图，在中，是上任意一点，是上任意一点．试说明： ．
/
要证明线段的不等关系，要把线段放到三角形中去，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出．
延长交于点，
∵，，
∴，
即．
/
题型一 三角形的两大模型之角度关系 巩固练习
【练习1】如图∠A=30°，求∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
∵∠B+∠E=∠2+∠A，∠C+∠D=∠1+∠A
∴
∴∠B+∠E+∠C+∠D=210°
【练习2】如图，在中，是它的一个外角，为边上一点，延长到，连接，
求证：.
∵是的一个外角
∴
又∵是的一个外角，
∴．
∴
【练习3】如图，已知D是△ABC的BC边延长线上一点，DF⊥AB，交AB于F，交AC于，∠A=40°， ∠D=30°，求∠ACB的度数.
80°
【练习4】 将图1中线段上一点（点、除外）向下拖动，依次可得图2、图3、图4．分
别探究图2、图3、图4中、、、、（）之间有什么关系？
/→/→/→/
图1 图2 图3 图4
探究图2、图3、图4可得：（或）
图2中：证明：
∵
∴
即
图3中：同上可证
图4中：同上可证
题型二 三角形两大模型之边的关系 巩固练习
【练习5】如图，在四边形中，.问成立吗？为什么？
/ /
成立.
连接,在中，(三角形任意两边之和大于第三边)，
而在中，(直角三角形斜边大于任意直角边)，
所以.
