江苏省苏州市2013-2019届高三上学期9月期初考试数学试题分类汇编：实际应用

（苏州2013届高三期初17.） （本题满分14分）如图所示，某建筑物内有一个直角型过道，两过道的宽均为2米，问长为6米的铁棒能否通过该直角型过道？请说明理由
/
（苏州2014届高三期初18．）（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线/排，在路南侧沿直线/排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将/与/接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于/的角为/．
（Ⅰ）求矩形区域ABCD内的排管费用W关于/的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角/．
（苏州2015届高三期初）18．（本小题满分16分）如图，有两条相交成60°角的直路XX(，YY(，交点是O，甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3，乙离O点1．后来甲沿XX(的方向，乙沿Y(Y的方向，同时用4的速度步行．
（1）起初两人的距离是多少？
（2）t 后两人的距离是多少？
（3）什么时候两人的距离最短？
（苏州2016届高三期初19. ）如图，相距 14km 的两个居民小区 M 和 N 位于河岸 （直线）的同侧，M 和 N 到河岸的距离分别为 10km 和 8km．现要在河的小区一侧选一地点 P，在 P 处建一个生活污水处理站，并从 P 分别排设到两个小区的直线水管 PM，PN 和垂直于河岸的水管 PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段水管长为 t km（0 < t < 8）．
（1）求污水处理站 P 到两小区水管的长度之和的最小值（用 t 表示）；
（2）试确定污水处理站 P 的位置，使所排三段水管的总长度最小，并分别求出此时污水处理站到两小区水管的长度．
（苏州2017届高三期初18．）（本小题满分16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．
（苏州2018届高三期初17.）(本小题满分14分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB, DC )和两个半圆构成，设AB = x m,且x≥80.
(1)若内圈周长为400 m,则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？
(2)若景观带的内圈所围成区域的面积为，则x取何值时，内圈周长最小？
（苏州2019届高三期初）17．（本题满分14分）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD及矩形的停车场EFGH，剩余的地方进行绿化．其中半圆的圆心为O，半径为r，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且∠BOG=，设．
(1)记市民活动广场及停车场的占地总面积为，求的表达式；
(2)当为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．
答案：根据图得：l（θ）=BP+AP=+ ，θ∈（0， ），铁棒不能水平通过该直角过道，
理由如下：l′（θ）=（ ）′+（ ）′
= ．
令l'（θ）=0得，θ= ．
当0＜θ＜ 时，l'（θ）＜0，l（θ）为减函数；
当 ＜θ＜ 时，l'（θ）＞0，l（θ）为增函数；
所以当θ= 时，l（θ）有最小值4 ，
因为4 ＜6，所以长为6米的铁棒不能水平通过该直角过道．
（苏州2014届高三期初18．）（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线/排，在路南侧沿直线/排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将/与/接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于/的角为/．
（Ⅰ）求矩形区域ABCD内的排管费用W关于/的函数关系式；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角/．
（苏州2015届高三期初）18．（本小题满分16分）如图，有两条相交成60°角的直路XX(，YY(，交点是O，甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3，乙离O点1．后来甲沿XX(的方向，乙沿Y(Y的方向，同时用4的速度步行．
（1）起初两人的距离是多少？
（2）t 后两人的距离是多少？
（3）什么时候两人的距离最短？
18．解：（1）由余弦定理，得起初两人的距离为
． ··············4分
（2）设t 后两人的距离为d(t)，则
当时，此时
··············8分
当时，此时
所以． ··············12分 （3）当（）时，两人的距离最短． ············16分
解（I）如图，以河岸所在直线为 x 轴，
以过 M 垂直于的直线为 y 轴建立直角坐标系，
则可得点M (0, 10)，点,
设点，
过作平行于 x 轴的直线，
作 关于 的对称点 ，
则，
所以
（）即为所求。
（2设三段水管总长为 L，则 由（ I ）知
（）
∴，
即方程在
上有解，故,,
解得,所以 L 的最小值为 21，此时对应的 (0, 8)，
故，的方程为，令得，
即，从而,
答：满足题意的 P 点距河岸 5km，距小区 M 到河岸的垂线5 km，此时污水处理站到小区 M和 N 的水管长度分别为 10km 和 6km..

解：（1）过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为．
在中，，则
在中，，··············4分
由题意易得 ························6分
因此， ················7分
·············9分
（2）
令， ，因为，所以 ，······12分
设锐角满足，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．··················14分
所以当 ，总造价最小，最小值为，此时，，，因此当米时，能使总造价最小．··16分
（1）设半圆的半径为r，可得2x+2πr=400，即x+πr=200，矩形ABCD的面积为S=2xr=x?πr≤?（）2=，当且仅当x=πr=100m时，矩形的面积取得最大值m2；（2）设半圆的半径为r，由题意可得πr2+2xr=，可得2x=-πr，即有内圈周长c=2x+2πr=+πr，由x≥80，可得-πr≥160，解得0<πr≤90，可得f（r）=+πr，f′（r）=π-，即有f（r）在（0，]上递减，即有πr=90，即x=80m时，周长c取得最小值340m．
17．（本题满分14分）
解：(1)∵半圆的半径为r，，∠OBC=90°．
∴在直角三角形OBC中，
，，∴．
∴． 2分
又∵∠BOG=，由半圆的对称性可知，∠HOA=，∴∠HOG=．
∴△HOG为等边三角形，∴HG=r，HE==．
∴． 4分
∴，其中．
7分
(2) ∵=． 9分
令，即，
解得：或(舍去)． 11分
令，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∴当时，取得最大值． 13分
答：当时，可使市民活动广场和停车场的面积总和最大． 14分