江苏省苏州市2013-2019届高三上学期9月期初考试数学试题分类汇编：导函数

十二 导函数
（苏州2017届高三期初5）曲线在处的切线方程是 ▲ ．
（苏州2016届高三期初12. ）已知函数，若直线 :与曲线相切，则
（苏州2015届高三期初）11．函数的图像经过四个象限的充要条件是 ．
（苏州2015届高三期初）13．已知函数（）的图象与轴相切，若直线与分别交的图象于四点，且四边形的面积为25，则正实数的值为 ．
（苏州2013届高三期初19.）（本题满分16分）设函数f(x) ＝lnx＋x2－2ax＋a2，aR.
（I）若a=0，求函数f(x)在［1，e］上的最小值；
（II）若函数f(x)在［,2］上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（III）求函数f（x）的极值点，
（苏州2014届高三期初20．）（本小题满分16分）对于函数/，若在定义域内存在实数x，满足/，则称/为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数/，试判断/是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若/是定义在区间/上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若/为定义域/上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
（苏州2015届高三期初）20．（本小题满分16分）设函数.
（1）若函数有且仅有两个零点x1，x2（x1（2）当时，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点.
（I） 证明：为钝角三角形；
（II）试判断是否可能为等腰三角形，并说明理由.
（苏州2016届高三期初20.） 已知函数,（其中为参数）
（1）求函数的单调区间;
（2）若对任意都有成立,求实数的取值集合；
（苏州2017届高三期初20．）已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
（苏州2018届高三期初20.） (本小题满分16分）已知函数f（x） = (ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数，a G R.
(1)若是函数的导函数，当a>0时，解关于x的不等式>ex；
(2)若在[-1,1]上是单调增函数，求a的取值范围；
(3)当a = 0时，求整数k的所有值，使方程在[k,k+1]上有解.
（苏州2019届高三期初）20．（本小题满分16分）若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．
(1)判断函数是否为“恒切函数”；
(2)若函数()是“恒切函数”，求实数m，n满足的关系式；
(3)若函数是“恒切函数”，求证：．
答案：十二 导函数



解：/为“局部奇函数”等价于关于x的方程/有解．
（Ⅰ）当/时，
方程/即/有解/，
所以/为“局部奇函数”． …… 3分
（Ⅱ）当/时，/可化为/，
因为/的定义域为/，所以方程/在/上有解．………… 5分
令/，则/．
设/，则/，
当/时，/，故/在/上为减函数，
当/时，/，故/在/上为增函数． ……… 7分
所以/时，/．
所以/，即/． ……… 9分
（Ⅲ）当/时，/可化为
/．
/，则/，
从而/在/有解即可保证/为“局部奇函数”．……… 11分
令/，
1° 当/，/在/有解，
由/，即/，解得/；…… 13分
2° 当/时，/在/有解等价于
/解得/． ……… 15分
（说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为/． ……… 16分
解：（1）显然a≠0，x1，x2是直线y=与曲线y=g(x)=两交点的横坐标．2分
由==0，得x=1．列表：
x
(-∞，1)
1
(1，+∞)
+
0
-
g(x)
↗
g(x)max=
↘
此外注意到：
当x<0时，g(x)<0；
当x∈[0，1]及x∈(1，+∞)时，g(x)的取值范围分别为[0，]和(0，)．
于是题设等价于0<（2）当时，恒成立，此时函数在上单调递增.
····················8分
（I）设（其中），且由题意得，
由函数单调性可知，故
即为钝角，所以为钝角三角形.····················11分
（II）假设为等腰三角形，由（I）可知，必有.
即，
化简可得 ，即，故.
····················14分
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，与题设矛盾，所以假设不成立.故不可能为等腰三角形.
解：（）
当时，，在上是增函数，
当时，
负
正
减
增
增区间是，减区间是.
综上所述, 当时, 增区间是,
当时,增区间是，减区间是.
（2）由题意得：
当时，，在上是增函数，
当时，，故不合题意
当时，
负
正
减
增
，
令，，
1
正
负
增
极大值
0
减
所以，而此题要求
所以，实数的取值集合是.
解（1），令，则，
当时，在上单调递增，
的最小值为； …1分
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
的最小值为.
综上，当时，；当时，. ………3分
（2）,对于任意的，不妨取，则,
则由可得，
变形得恒成立， …5分
令，
则在上单调递增，
故在恒成立， …7分
在恒成立.
，当且仅当时取，
. …10分
（3），
.
，，使得成立.
令，则， …12分
令，则由 可得或（舍）
当时，则在上单调递减；
当时，则在上单调递增.
在上恒成立.
在上单调递增.
，即. …15分
实数的最大值为. …16分
解：（1）f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex>ex，
又∵ex>0,,a＞0，所以不等式可化为ax2+（2a+1）x+1>1，
∴x>0或x<-
（2）f′（x）=[ax2+（2a+1）x+1]ex，①当a=0时，f′（x）=（x+1）ex，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；②当a≠0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因为△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，因此f（x）有极大值又有极小值．若a＞0，因为g（-1）g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．若a＜0，可知x1＞0＞x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，所以必须满足g(1)≥0,g(?1)≥0;即3a+2≥0，?a≥0
，所以?≤a≤0．综上可知，a的取值范围是[?，0]．
（3）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于ex--1=0，令h（x）=ex--1，因为h′（x）=ex+＞0对于x≠0恒成立，所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，h（-3）=e-3-＜0，h（-2）=e-2＞0，所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，所以整数t的所有值为{-3，1}．
解：(1)函数为“恒切函数”，设切点为．
则，∴． 2分
对于函数，．
设切点为，∴， 3分
解得：．∴是“恒切函数”． 4分
(2)若函数()是“恒切函数”，设切点为．
∵，∴， 5分
解得：，即． 7分
∴实数m，n满足的关系式为：． 8分
(3) 函数是“恒切函数”，设切点为．
∵，∴，
∴． 10分
考查方程的解，设．
∵，令，解得：．
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
∴． 12分
当时
∵，．
∴在上有唯一零点．
又∵=，∴． 14分
当时
∵，∴在上有唯一零点0，∴．
15分
综上可知：． 16分