江苏省苏州市2013-2019届高三上学期9月期初考试数学试题分类汇编：二卷必做题

［必做题］第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
苏州2013届高三期初
22.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p>），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为·
（I）求p的值；
（II）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E.
/
23.已知/用数学归纳法证明：对任意/
23、证明：（1）当n =1时，b1=(1+1)(1+)=3，c1＝6（1－）＝3，所以b1≤c1成立。
（2）设当n＝k时，有bk≤ck成立，即
当n＝k＋1时，
＝6＝6＜6
即当n＝k＋1时，不等式也成立，
综合（1）（2）可知原不等式成立。
苏州2014届高三期初
22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系/中，已知曲线C上任意一点到点/的距离与到直线/的距离相等．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设/，/是x轴上的两点/，过点/分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点/，直线/与x轴交于点/，这样就称/确定了/．同样，可由/确定了/．现已知/，求/的值．
解：（Ⅰ）因为曲线C上任意一点到点/的距离与到直线/的距离相等，
根据抛物线定义知，曲线C是以点/为焦点，直线/为准线的抛物线，
故其方程为/． ……………… 4分
（Ⅱ）由题意知，/，/，则/，
故/：/． ……………… 6分
令/，得/，即/． ……………… 8分
同理，/， ……………… 9分
于是/． ……………… 10分
23．（本小题满分10分）设a，b为实数，我们称（a，b）为有序实数对．类似地，设A，B，C为集合，我们称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A，B，C满足/，且/，则我们称有序三元组（A，B，C）为最小相交（/表示集合S中的元素的个数）．
（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；
（Ⅱ）由集合/的子集构成的所有有序三元组中，令N为最小相交的有序三元组的个数，求N的值．
解：（Ⅰ）设/，/，/，则/，/，/，/，且/．
所以（A，B，C）是一个最小相交的有序三元组．
（Ⅱ）令/，如果（A，B，C）是由S的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的/，使得/，/，/（如图），要确定/共有/种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A，B，C中的某一个或不属于任何一个，则有/种确定方法．
所以最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数N=/．
苏州2015届高三期初
22．（本小题满分10分）
在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；
（2）在两次游戏中，记获奖次数为：① 求的分布列；② 求的数学期望．
22. 解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件．
① ． ·······················································2分
②． ··········································5分
（2）．
①的分布列为
0
1
2
·······················································8分
②的数学期望． ··············· ·························10分
（或：∵，∴ ，同样给分）
23．（本小题满分10分）已知，或1，，对于，表示和中相对应的元素不同的个数．
（1）令，存在个，使得，写出的值；
（2）令，若，求所有之和．
23．解：（1）； ··············· ·························4分
（2）由（1）可得使的共有个
∴= ··············· ····················6分
=
两式相加得 ··············· ························10分
苏州2016届高三期初
22．（本小题满分 10 分）
如图，在棱长为 3 的正方体中，．
（1）求两条异面直线 AC1与 D1E 所成角的余弦值；
（2）求直线 AC1与平面 BED1F 所成角的正弦值．
解：∵两两垂直，
∴以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
∵棱长为 3, ,
则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，
D1(0,0,3)，A1(3,0,3)，B1(3,3,3)，C1(0,3,3)，
E(3,0,2)，F(0,3,1)，
∴,
∴,
两条异面直线 AC1与 D1E 所成角的余弦值是
（2）设平面 BED1F的法向量是，又∵,，
,∴,
即，令，则，所以，又，
∴，
∴直线 AC1与平面 BED1F 所成角是，
它的正弦值是.
23．（本小题满分 10 分）
一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗均匀正方体骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关．问：
（1）某人在这项游戏中最多能过几关？
（2）他连过前三关的概率是多少？
解：（1）设他能过关，则第关要抛掷骰子次，最多点数和是，
由于，所以，他最多能过4关.
（2）设事件An为“第n关过关成功”，则对立事件为“第n关过关失败”．第n关游戏中，基本事件总数为6n个．第1关：事件所包含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）．
所以，过此关的概率为P()=
第2关：事件所包含基本事件数为不等式的正整数解的个数，
有种，（亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1）计6种所以，过此关的概率为P()=
第3关：事件所包含基本事件数为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为 ，不能过关的概率是 ，能过关的概率=；
∴连过三关的概率= 。

苏州2017届高三期初
22．（本小题满分10分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在一次游戏中摸出3个白球的概率；
（2）在两次游戏中，记获奖次数为，求的数学期望．
22. 解：（1）记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件．
． ·················3分
故在一次游戏中摸出3个白球的概率． ··4分
（2）的所有可能取值为0，1，2
．
的分布列为
0
1
2
·················8分
故的数学期望． ··············· ·························10分
（或：∵，∴ ，同样给分）
23．（本小题满分10分）已知抛物线C的方程为，点在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1,1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR,BR分别交直线于
M,N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．
/
23．解：（1）将代入抛物线中，可得，所以抛物线方程为 ……3分
（2）设所在直线方程为，
与抛物线联立
得：
，所以 ……5分
设：，
由得，而
可得，同理
所以 ……8分
令，则
所以
此时，所在直线方程为： ……10分
苏州2018届高三期初
22.(本小题满分10分）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC =∠BAD = 90°,且 PA = AB = BC = AD = 1, PA 丄平面 ABCD.
(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值；
(2)棱PD上是否存在一点E满足∠CEA= 90°?若存在，求AE的长；
若不存在，说明理由.
考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【解答】（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
∴//=（1，0，﹣1），//=（1，1，﹣1），//=（﹣1，1，0）．
设平面PCD的法向量为
??
=（x，y，z），则
??
?/，且
??
?/=0，
∴/，不妨取z=2，得=
??
（1，1，2），
∴cos＜/＞=/=﹣//．
∴PB与平面PCD所成角的正弦值为//．
（2）设/，则E（0，2λ，1﹣λ），
则/，//，
由∠AEC=90°得，/?/，
即5λ2﹣4λ+1=0，方程无解，
∴棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．
/
23.(本小题满分10分）设集合 M = {-1,0,1}，集合 An= {(x1,x2，…,xn) | xi∈ M,i = 1,2,…,n}，集合An中满足条件 “1≤| x1|+| x2|+......+| xn|≤m2”的元素个数记为.
(1)求和的值；
(2)当 m < n时，求证：< 3n + 2m+1 - 2n+1.
解：（1）满足1≤| x1|+| x2|≤22 的个数=3*3-1=8
满足1≤| x1|+| x2|+| x3|+| x4|≤22的个数=3*3*3*3-1=26
(2)满足1≤| x1|+| x2|+......+| xn|≤m21≤| x1|+| x2|+......+| xn|只要保证不出现都选零这一种情况就行
| x1|+| x2|+......+| xn|总共有3n中可能
又因为| x1|+| x2|+......+| xn|≤n
①如果n②如果n>m2,则=3n-1-(+...+)=3n-1-(2n+1-2m+1)< 3n + 2m+1 - 2n+1
苏州2019届高三期初
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
已知直三棱柱，AB⊥AC，，，B1C⊥AC1．现以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示．
(1)求的长度；
(2)若，求二面角的正弦值．
22．（本小题满分10分）
解：(1)设AA1=t，则，，，．
∴，．
∵，∴，即，解得：．
∴． 3分
(2)∵，∴，又∵，．
∴，．
设是平面的法向量．
则，∴．
令，则，，∴是平面的一个法向量． 5分
∵直三棱柱，∴平面ABC，平面ABC ．
∴，又∵AB⊥AC，且．
∴平面AA1C，∴是平面AA1C的一个法向量． 7分
∴． 9分
∴．
∴二面角的正弦值为． 10分
23．（本小题满分10分）
设(，)，若在的展开式中，存在连续的三项的二项式系数依次成等差数列，则称具有性质P．
(1)求证：具有性质P；
(2)若存在，使得具有性质P，求n的最大值．
23．（本小题满分10分）
解：(1)∵的展开式中第2,3,4项的二项式系数分别为：
，，，∴，，成等差数列．
∴具有性质P． 3分
(2)假设具有性质P，则一定存在，，
使得，，成等差数列，∴．
∴．
化简可得：． 5分
∴．
∵，∴是完全平方数． 8分
∵，，∴n的最大值为：．
此时或． 10分