江苏省苏州市2013-2019届高三上学期9月期初考试数学试题分类汇编：二卷选做部分

【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
苏州2013届高三期初21
A.选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E , ∠BAC的平分线与BC
交于点D。求证：ED2＝EB·EC.
/
证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，所以∠CAE=∠CBA．又因为AD是DBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．又EA2=EC?EB，所以ED2=EB?EC．/
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M＝的特征值和特征向量．
解：f（λ）=（λ+1）（λ-6）-8=λ2-5λ-14=（λ-7）（λ+2）由f（λ）=0可得：λ1=7，λ2=-2． （4分）由(7+1)x-4y=0和-2x+(7-6)y=0可得x=1，y=2，所以属于λ1=7的一个特征向量为由(2+1)x-4y=0和-2x+(2-6)y=0，可得x=4，y=-1，所以属于λ1=-2的一个特征向量为． （10分）
C，选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos(θ+)=和sin2θ=4cosθ直线l与曲线C交于点.A,B,C，求线段AB的长．
直线l的极坐标方程是ρcos（θ+）=，即?ρcosθ-ρsinθ=
化为直角坐标方程为 x-y-3=0．曲线C的极坐标方程ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ，化为直角坐标方程为 y2=4x，联立得到x2-10x+9=0,解得x1=9，x2=1
AB=8
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若｜x－1｜≤1，｜y－2｜≤1，求｜x－y＋1｜的最大值
解法一：∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，∴|x-y+1|=|（x-1）-（y-2）|≤|x-1|+|y-2|≤1+1=2，（当且仅当 x=2，y=3，或x=0，y=1时取等号），故|x-y+1|的最大值为2．解法二：∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，∴-1≤x-1≤1?且-1≤y-2≤1，即-1≤x-1≤1?且-1≤2-y≤1．相加可得-2≤x-y+1≤2，即|x-y+1|≤2，故|x-y+1|的最大值为2．
苏州2014届高三期初21
A．选修4—1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
已知：如图，点A，P，B在⊙O上，/， PC平分/，交⊙O于点C．求证：/为等腰直角三角形．
证明：由/得/为直径，所以/．
由/，得/，同理/．
又因为PC平分/，所以/．
所以/，故/．
从而，/为等腰直角三角形．
B．选修4—2：矩阵与变换
（本小题满分10分）已知矩阵A =/，B =/，求矩阵/．
解：设矩阵A的逆矩阵为/，则//=/，
即/=/，
故/，从而A的逆矩阵为/=/．
所以/=//=/．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
已知曲线C的极坐标方程为/，曲线/的极坐标方程为/．试求曲线C和/的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．
解：由/得曲线C的直角坐标方程为/．
由/得曲线/的直角坐标方程为/．
曲线C表示以/为圆心，5为半径的圆；曲线/表示以/为圆心，2为半径的圆．
因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3，
所以圆C和圆/的位置关系是内含．
D．选修4—5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设实数a，b满足///，求证：/．
证明：作差得/
＝/＝/
＝/．
因为///，所以a，b不同时为0，故/，/，
所以/，即有/．
苏州2015届高三期初
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，D是弧的中点，于，AC与DE、BD分别相交于M、N,求证：．
解：是的中点，
∴∠DAC=∠ABD,从而∠DAC=∠ADE, ∴AM=DM ················5分
又∠DNM=∠DAE=∠BDE ∴DM=MN
∴ AM=MN ············10分
B．选修4—2：矩阵与变换
已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．
解：设A=NM，则A， ··············3分
设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线上的对应的点为，
则 ， 即∴ ··6分
又点在曲线上，∴ ，即．········10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
如图，边长为2的正六边形ABCDEO，以OC为极轴建立极坐标系，求CD边所在直线的极坐标方程．
解：设过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系.
则且直线的倾斜角为，
直角坐标方程为：. ···············5分
所以边所在直线的极坐标方程为：
（或 或）
D．选修4—5：不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：.
证明：因为x，y，z均为正数．所以/，
同理可得/，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得/．
苏州2016届高三期初
A．选修 4—1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）
已知：如图，点 A，P，B 在⊙O 上，,
PC 平分，交⊙O 于点 C．
求证： 为等腰直角三角形．
证明：∵PC 平分，∴,
又∵,
∴∴为等腰三角形,
∵,∴是圆的直径，∴,∴为等腰直角三角形
B．选修 4—2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）求矩阵的特征值和特征向量.
解：特征多项式
，由f(λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝，将λ1＝7代入特征方程组，得，即y＝2x，可取为属于特征值λ1＝7的一个特征向量，
同理，λ2＝时，特征方程组是，即，所以可取为属于特征值λ2＝的一个特征向量．
综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝7，λ2＝；
属于λ1＝7的一个特征向量为，属于λ2＝的一个特征向量为.
C．选修 4—4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，求圆为参数上的点到直线(
为参数)的最小距离.
解：圆的方程是，直线方程是，
圆心到直线的距离是，所求最小距离是
D．选修 4—5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
解不等式：
解：∵，∴，∴或，
∴或，所以不等式的解集是或
苏州2017届高三期初
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点，若，，且，求．
/
解：弦切角又，
所以为等边三角形，由切割线定理有， ………5分
所以，，，
由相交弦定理有：，．…10分
B．选修4—2：矩阵与变换
已知为矩阵属于的一个特征向量，求实数，的值及．
解：由条件可知，
∴，解得． ……… 5分
因此，所以． …10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
自极点O任意作一条射线与直线相交于点M，在射线OM上取点P，使得，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．
解：设，M ，
∵，∴．
∵，∴．
则动点P的极坐标方程为．
∵极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘，
得．
∴．
D．选修4—5：不等式选讲
已知：R．求证：．
解：证明：因为|m|+|n|≥|m－n|，
所以．
又≥2，故≥3．
所以． 10分
苏州2018届高三期初
A.[选修4-1:几何证明选讲]
如图，圆O的直径A5 = 4, C为圆周上一点，BC = 2,过C作圆O的切线,过A作的垂线AD, AD分别与直线和圆O交于点D, E,求线段AE的长.
连接OC、BE、AC，则BE⊥AE.
∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形，
∴∠CBO＝∠COB＝60°，
又直线l切⊙O于C，
∴∠DCA＝∠CBO＝60°，
∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°，
而∠OAC＝∠ACO＝/∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°，
在Rt△BAE中，∠EBA＝30°，∴AE＝/AB＝4.
B.[选修4-2:矩阵与变换]
在平面直角坐标系xOy中，设点P(x,5)在矩阵对应的变换下得到点Q(y-2,y)，求M-1.
解：∵点（x，5）在矩阵M=对应变换作用下得到点（y-2，y），
∴=，
∴ x=-4,y=8
M-1==
[选修4 - 4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中，设直线过点A , B(3,0)，且直线与曲线C ： (a>0)有且只有一个公共点，求实数a的值.
解：依题意，点A（/，/）、B（3，0）的直角坐标为A（/，/），B（3，0），
从而直线l的普通方程为 x+/y-3=0．
曲线C：ρ=acosθ（a＞0）的直角坐标方程为?/+y2=/．
因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，
所以?/=/，解得a=2（负值已舍）．
[选修4 - 5:不等式选讲]
已知x, y, z均为正数，求证： .
证明：因为x，y，z都是为正数，所以+=(+)?≥?? ①同理可得
+≥????? ②
+≥??????? ③当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：
苏州2019届高三期初21
21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线分别与AB，AC交于点E，F．
求证：BC∥EF．
21A．选修4—1：几何证明选讲(本题满分10分)
证明：连接BD．
∵EF为⊙O的切线，∴∠BDE=∠BAD． 2分
∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAF，
则∠BDE=∠DAF． 4分
又∵∠CBD=∠DAF(同弧所对的圆周角相等) ． 6分
∴∠CBD=∠BDE． 8分
∴BC∥EF． 10分
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵的两个特征向量为，，若，求．
21B．选修4—2：矩阵与变换(本题满分10分)
解:设矩阵M的两个特征向量，相对应的特征值分别为，．
∴，解得：，，． 4分
又∵． 6分
∴． 10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为．以极点为平面直角坐标系的的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．直线l的参数方程是(t为参数) ．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求直线的倾斜角的值．
21C．选修4—4：坐标系与参数方程(本题满分10分)
解：(1)∵，∴．
又∵，∴． 4分
∴曲线C的直角坐标方程为：．
(2)设A，B两点对应的参数值为，
将(t为参数)代入方程整理可得：
．
由韦达定理可知：．
∴=． 6分
解得：． 8分
又∵，∴或． 10分
D．选修4—5：不等式选讲
已知正实数，y，z满足，求证：．
21D．选修4—5：不等式选讲(本题满分10分)
证明：∵，y，z为正实数，由基本不等式可得：
．
(当且仅当时，等号成立) 5分
由柯西不等式可得：
=．
(当且仅当时，等号成立) 10分