`
在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．
⑴ 已知：，则代数式 ．
⑵ 已知和，且，则代数式的
值 ．
⑶ 已知，，则 ．
⑷ 已知，，则 ．
已知关于的一元二次方程，，.
⑴ 若方程有实数根，试确定，之间的大小关系；
⑵ 若，且，求，的值；
⑶ 在⑵的条件下，二次函数的图象与轴的交点为、（点在点的左侧），与轴的交点为，顶点为.若点是四边形与直线的交点，试求的最大值.
已知：关于x的一元二次方程（为实数）.
⑴ 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
⑵ 求证：抛物线总过轴上的一个定点；
⑶ 若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整 数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解 析式．
已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
⑴ 求抛物线与x轴的交点坐标；
⑵ 当a=1时，求△ABC的面积；
⑶ 是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证 明；如果不存在，请说明理由.
已知抛物线．
⑴ 求证：无论为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
⑵ 若为整数，当关于x的方程的两个有理数根都在与之间时 （不包括-1、），求的值．
⑶ 在⑵的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新图象，再将图象向上平移个单位，若图象 与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围 是 ．
抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负.
⑴ 求抛物线的解析式.
⑵ 直线（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.
⑶ 设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.
①求t的取值范围
②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在， 请说明理由.
已知二次函数在和时的函数值相等。
⑴ 求二次函数的解析式；
⑵ 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；
⑶ 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在 点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为， 同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移 后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
阅读题：
材料一：已知、为整数，，其中，求、．
解：∵且
∴或．
材料二：一元二次方程的解为，若
为有理数，则为完全平方数，
即（为自然数）．
根据上面材料及解题思路，解答下列各题：
⑴ 已知、为整数，，其中，则 ．
⑵ 已知关于的一元二次方程
的解为有理数，则整数
．
⑶ 如图，，点在射线上一动
点，其中，为正整数，若，
求的值．
已知抛物线y＝ax2＋x＋2.
(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式的值为正整数，求x的值；
(3)若是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
`
在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．
⑴ 已知：，则代数式 ．
⑵ 已知和，且，则代数式的
值 ．
⑶ 已知，，则 ．
⑷ 已知，，则 ．
⑴ 由可知，，故
．
⑵ ．
⑶ ．
⑷ ．
这道例题和备选主要复习配方法和代入降次等恒等变形方法.
已知关于的一元二次方程，，.
⑴ 若方程有实数根，试确定，之间的大小关系；
⑵ 若，且，求，的值；
⑶ 在⑵的条件下，二次函数的图象与轴的交点为、（点在点的左侧），与轴的交点为，顶点为.若点是四边形与直线的交点，试求的最大值.
⑴∵关于的一元二次方程有实数根,
∴有,.
∵.
∴,.
∴.
⑵ ∵，∴设.
解关于的一元二次方程，得 或.
当时，由得.
当时，由得（不合题意，舍去）.
∴(舍去)，.∴.
⑶ 当时，二次函数与轴的交点为、 与轴交点坐标为，顶点坐标为.画出函数和
的图象，若直线平行移动时，可以发现当直线经过点时符合题意， 此时最大的值等于.
已知：关于的一元二次方程（为实数）.
⑴ 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
⑵ 求证：抛物线总过轴上的一个定点；
⑶ 若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整 数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解 析式．
(2013东城二模)
【解析】⑴ .
∵方程有两个不相等的实数根，
∴.
∵，
∴m的取值范围是.
⑵ 证明：令得，.
∴.
∴，.
∴抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.
∴无论m取何值，抛物线总过定点（）.
⑶ ∵是整数 ∴只需是整数.
∵是整数，且,
∴.
当时，抛物线为．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为
.
已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
⑴ 求抛物线与x轴的交点坐标；
⑵ 当a=1时，求△ABC的面积；
⑶ 是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证 明；如果不存在，请说明理由.
（2013昌平二模）
【解析】（1）由=0，得，．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．
（2）当a=1时，得A（1，0）、B（2，1）、C（3，3），
分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有
= - -
=（个单位面积）
（3）如： ．
∵，，
，
又∵3（）=
=．
∴．
已知抛物线．
⑴ 求证：无论为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
⑵ 若为整数，当关于x的方程的两个有理数根都在与之间时 （不包括-1、），求的值．
⑶ 在⑵的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新图象，再将图象向上平移个单位，若图象 与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围 是 ．
（2013顺义二模）
【解析】⑴ ∵△=，
∴无论为任何实数，都有
∴抛物线与x轴总有两个交点．
⑵ 由题意可知：抛物线的开口向上，与y轴交于（0，-2）点，
∵方程的两根在-1与之间，
∴当x=-1和时，．
即
解得 ．
因为 m为整数，所以 m=-2，-1，0 ．
当 m=-2时， 方程的判别式△=28，根为无理数，不合题意.
当 m=-1时， 方程的判别式△=25，根为，符合题意.
当 m=0时， 方程的判别式△=24，根为无理数，不合题意.
综上所述.
⑶ n的取值范围是．
抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负.
⑴ 求抛物线的解析式.
⑵ 直线（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.
⑶ 设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.
①求t的取值范围
②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在， 请说明理由.
(2013房山一模)
【解析】（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）
∴，解得.
∴抛物线的解析式为
（2）∵的图象过A（，m）和B（4，n）两点
∴ m=，n=3 ， ∴A（，）和B（4，3）
∵直线（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点
∴，解得.
∴直线的解析式为.
（3）①根据题意，解得t2
②根据题意E（t，），F（t+2，）
H（t，），G（t+2，），
∴EH=，FG=.
若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即=
解得t=，
∵t=满足t2.
∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.
已知二次函数在和时的函数值相等。
⑴ 求二次函数的解析式；
⑵ 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；
⑶ 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在 点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为， 同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移 后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
（2012北京）
【解析】⑴ 由题意可知依二次函数图象的对称轴为
则。
∴
∴
⑵ ∵因二次函数图象必经过点
∴
又一次函数的图象经过点
∴，∴
⑶ 由题意可知，点间的部分图象的解析式为，
则向左平移后得到的图象的解析式为
此时平移后的解析式为
由图象可知，平移后的直线与图象有公共点，
则两个临界的交点为与
则
∴
已知关于的方程，
⑴ 试证明：无论取何实数值，该方程总有实数根；
⑵ 若该方程的两个根分别是，其中，求的取值范围；
⑶ 在⑵的条件下，当为整数时，抛物线的图象记为，将关于轴对称得到的图象记为，一次函数与的图象共有3个交点，直接写出的值．
⑴ 方法一：，
无论取何值，都有，则，
∴无论取何实数值，该方程总有实数根．
方法二：将原方程因式分解得，
∴或，
∴无论取何实数值，该方程总有实数根．
⑵ ∵，，
∴由⑴得或，
解这两个不等式组得或．
⑶ 由⑵得，当为整数时，或，
代入解析式后可得（两个结果一样），
关于轴对称后的解析式为，
联立可解得，，，．
已知抛物线（为整数）经过点，顶点为，且与轴有两个不同的交点．
⑴ 判断点是否在线段上（为坐标原点），并说明理由；
⑵ 设该抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为、，且，是否存在实数，使
?若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
∵
∴抛物线的顶点的坐标为
直线对应的一次函数解析式为：
∵抛物线与轴有两个不同的交点
∴
又∵
∴且
⑴ 点不在线段上（为坐标原点），理由如下：
由，且，可分两种情况讨论，
①当时，，，点在第三象限，此时，点不在线段上．
②当时，，，点在第一象限，
∵
∴
∴点不在线段上
综上所述，点不在线段上．
⑵ 存在实数满足，下面求的取值范围．
令得，
则，为方程的两相异实根，且，
由，得，
∴即
∵，且，且
∴
根据实数运算的符号法则，可知，即
∴的取值范围为：．
某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现。销量w（kg）随销售单价x（元/ kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示
销售单价x（元/ kg）
……
70
75
80
85
90
……
销售量w（kg）
……
100
90
80
70
60
……
设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量－成本－投资）。
（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？
（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？
（1）w=－2x＋240。
（2）y与x的关系式为：
∵，
∴当x=85时，y的值最大为2450元。
（3）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，
∴第1个月还有3000－2450=550元的投资成本没有收回。
则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，
可得方程，解得x1=75，x2=95。
根据题意，x2=95不合题意应舍去。
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元。
阅读题：
材料一：已知、为整数，，其中，求、．
解：∵且
∴或．
材料二：一元二次方程的解为，若
为有理数，则为完全平方数，即（为自然数）．
根据上面材料及解题思路，解答下列各题：
⑴ 已知、为整数，，其中，则 ．
⑵ 已知关于的一元二次方程
的解为有理数，则整数
．
⑶ 如图，，点在射线上一动
点，其中，为正整数，若，
求的值．
⑴ ，．
⑵ ，．
⑶ ，，，．
已知抛物线y＝ax2＋x＋2.
(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式的值为正整数，求x的值；
(3)若是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
⑴当时，，∴.
∴抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线
(2)∵代数式的值为正整数，∴函数的值为正整数.
又因为函数的最大值为，∴的正整数值只能为1或2.
当时，，解得，
当时，，解得
∴的值为，，0或1.
（3）当时，即a.
经过点的抛物线的对称轴为,
经过点的抛物线的对称轴为
∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)
∴直线在直线的左侧
∴
∴
