`
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），在抛物线上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点，并求出以为直角边时点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），设为轴正半轴上的一个动点，请在抛物线上求一点，使得为等腰直角三角形.
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.
如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C.
⑴ 求点B的坐标 (用含m的代数式表示)；
⑵ D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；
⑶ 在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，
Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐
标.
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴交于点，设为抛物线上一个动点，则以点、、、为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由.
如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将△沿翻折后，点落在点处．
⑴求点、的坐标；
⑵求经过、、三点的抛物线的解析式；
⑶若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，
交抛物线于点．
①当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；
②当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
题型一 存在问题中的三角形 巩固练习
在如图的直角坐标系中，已知点，，将线段绕点按逆时针方 向旋转至．
⑴求点的坐标；
⑵若抛物线经过点．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点（点除外），使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二 存在问题中的四边形 巩固练习
如图，已知抛物线过点，，与轴交于另一点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；
⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
`
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
由等腰三角形两腰相等，线段可分别充当“腰”与“底”的角色，分别以、为圆心，以的长为半径画圆与对称轴的交点，以及线段的垂直平分线与对称轴的交点为点.
存在符合条件的点
由，，
∴
①当时，
②当时，
，
③当时，
连接，过作对称轴的垂线，
由勾股定理可得．
综上所述，符合条件的点的坐标为，，，.
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），在抛物线上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点，并求出以为直角边时点的坐标；若不存在，请说明理由．
由直角三角形一个角为直角，可充当直角边和斜边的角色，当为直角边，分别过、两点作线段的垂线，与抛物线的交点即为点；当为斜边，以为直径所画的圆与抛物线的交点即为点.
存在符合条件的点，所有符合条件的点如图所示：
由，可知，，
∴坐标为
由，易得，
的解析式为，联立可得
解得或（舍）
可得坐标为．
综上所述，以为直角边时点的坐标为，.
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），设为轴正半轴上的一个动点，请在抛物线上求一点，使得为等腰直角三角形.
线段可以充当“斜边”和“直角边”的角色．当为直角边时，又存在两种情况：或．因此，共有种情况．
⑴当为直角边时，或．
若，则与或重合，
∴，．
若，则，
分别作与的角平分线交抛物线于两点，
即为，直线与直线解析式分别为、，
分别与抛物线解析式联立，
可得坐标为，坐标为．
⑵当为斜边时，，点坐标同上．
综上所述，所求的点坐标为
，，，.
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.
如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C.
⑴ 求点B的坐标 (用含m的代数式表示)；
⑵ D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；
⑶ 在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，
Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐
标.
（2012海淀二模）
【解析】（1）∵，
∴抛物线的顶点B的坐标为.
（2）令，解得, .
∵ 抛物线与x轴负半轴交于点A，
∴ A (m, 0), 且m<0.
过点D作DF(x轴于F.
由 D为BO中点，DF//BC, 可得CF=FO=
∴ DF =
由抛物线的对称性得 AC = OC.
∴ AF : AO=3 : 4.
∵ DF //EO,
∴ △AFD∽△AOE.
∴
由E (0, 2)，B，得OE=2, DF=.
∴
∴ m = -6.
∴ 抛物线的解析式为.
（3）依题意，得A（-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).
可得直线OB的解析式为,直线BC为.
作点C关于直线BO的对称点C ((0，3)，
连接AC (交BO
于M，则M即为所求.
由A（-6，0），C( (0, 3)，可得
直线AC(的解析式为.
由 解得
∴ 点M的坐标为(-2, 2).
由点P在抛物线上，设P (t，).
(ⅰ)当AM为所求平行四边形的一边时.
(如右图，过M作MG( x轴于G,
过P1作P1H( BC于H,
则xG= xM =-2, xH= xB =-3.
由四边形AM P1Q1为平行四边形，
可证△AMG≌△P1Q1H .
可得P1H= AG=4.
∴ t -(-3)=4.
∴ t=1.
∴.
(如右图，同(方法可得 P2H=AG=4.
∴ -3- t =4.
∴ t=-7.
∴.
(ⅱ)当AM为所求平行四边形的对角线时,
如右图，过M作MH(BC于H,
过P3作P3G( x轴于G,
则xH= xB =-3，xG==t.
由四边形AP3MQ3为平行四边形，
可证△A P3G≌△MQ3H .
可得AG= MH =1.
∴ t -(-6)=1.
∴ t=-5.
∴.
综上，点P的坐标为、、.
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴交于点，设为抛物线上一个动点，则以点、、、为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由.
由梯形为一组对边平行，另一组对边不平行.可分别过、、作对边的平行线与抛物线相交，当过、两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去．
存在这样的点使得以点、、、为顶点的四边形是梯形．
当过、两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去.
当过作的平行线，与抛物线的交点即为，此时，
四边形与均为梯形，如图.
由的解析式为，与联立，
可得，．
如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将△沿翻折后，点落在点处．
⑴求点、的坐标；
⑵求经过、、三点的抛物线的解析式；
⑶若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，
交抛物线于点．
①当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；
②当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
（昌平一模）
⑴ 如图所示，∵点关于轴的对称点为，与轴交于点，
∴⊥轴于，，．
∴．
∴，
由题意可知 ， ．
过点作轴于，轴于，∴．
在中，，．
由矩形得．
∵点在第四象限，∴．
⑵ 设经过、、三点的抛物线的解析式为．
依题意得
解得
∴此抛物线的解析式为．
⑶ ∵，
∴点为抛物线的顶点．
∴直线为抛物线的对称轴，交于，
由题意可知 ，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
∴．
①当点在上时，四边形为等腰梯形．
∵，与不平行，
∴四边形为梯形．
要使梯形为等腰梯形，只需满足．
∵，
∴点在上．
由、求得直线的解析式为．
又∵点在抛物线上，∴．
解得（与点重合，舍）．
∴点横坐标为．
由、求得直线的解析式为．
∵点在上，
∴ ，∴．
②当点在上时，四边形为平行四边形，
点在点的上方，且，
解得，（与点重合，舍）
此时点坐标为．
综上所述，当时，为等腰梯形；
当时，为平行四边形．
如图1，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，
，抛物线经过，两点，抛物线的顶点为．
⑴求的值；
⑵点是直角三角形斜边上一动点（点、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；
⑶在⑵的条件下：
①求以点、、、为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，说明理由. （重庆市潼南）
⑴ 由已知得：，
∵二次函数的图象经过点，
∴ ;
解得：，
⑵ 如图：∵直线经过点，
∴直线的解析式为：
∵二次函数
∴设点，则
∴
其中的范围为.
∴当时，的最大值
∴点的坐标为.
⑶ ①如图：顺次连接点、、、得四边形．
可求出点的坐标，点的坐标为
②如图：过点作交抛物线于点,
设点
则有：解得:，
∴，
过点作交抛物线于，设
则有：
解得： ，（与点重合，舍去）
∴
综上所述：所有点的坐标：
，，.
能使组成以为直角边的直角三角形．
已知，在中，，，．若以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点在第一象限内．将沿折叠后，点落在第一象限内的点处．
⑴求点的坐标；
⑵若抛物线（）经过、两点，求此抛物线的解析式；
⑶若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过作轴的平行线，交抛物线于点．问：是否存在这样的点，使得四边形为等腰梯形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （大兴二模）
⑴ 过点作轴，垂足为
∵在中，
，，
∴，
由折叠知，，
∴，，
∴点坐标为
⑵ ∵抛物线（）
经过、两点
∴解得：
∴此抛物线的解析式为：
⑶ 存在满足条件的点．因为的顶点坐标为，即为点
轴，设垂足为，，因为，所以
∴，作，垂足为，，垂足为
把代入得：
∴ ，
同理：，
要使四边形为等腰梯形，只需
即，解得：，（舍）
∴点坐标为（，）
∴ 存在满足条件的点，使得四边形为等腰梯形，
此时点的坐标为（，）
另一方法：同例6，先确定上下底，在利用下底角相等，可发现线段与抛物线的交点即为点.
题型一 存在问题中的三角形 巩固练习
在如图的直角坐标系中，已知点，，将线段绕点按逆时针方 向旋转至．
⑴求点的坐标；
⑵若抛物线经过点．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点（点除外），使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
（重庆綦江）
⑴ 过点作轴，垂足为，
在和中，由已知有，,
而，∴，
又∵，且由已知有，
∴，∴，，
∴点的坐标为
⑵ ①∵抛物线经过点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为.
② i) 当为直角顶点时 ，延长至点，使,
则是以为直角边的等腰直角三角形,
如果点在抛物线上,则满足条件，过点作轴,
∵，，
∴，∴，,
∴可求得的坐标为，
经检验点在抛物线上，因此存在点满足条件；
ii）当点为直角顶点时，
过点作直线，在直线上分别取，
得到以为直角边的等腰直角和等腰直角，
作轴于点，同理可证
∴，，
可得点的坐标为，经检验点在抛物线上,
因此存在点满足条件．
同理可得点的坐标为，
经检验点不在抛物线上．
综上：抛物线上存在点，两点，使得和是以为直角边的等腰直角三角形．
题型二 存在问题中的四边形 巩固练习
如图，已知抛物线过点，，与轴交于另一点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；
⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（山东烟台）
⑴ 把，代入中，得
解得
∴抛物线的解析式为
⑵ 令，得
解得，
∴点
∵
∴为等腰直角三角形．
∴
过点作轴，垂足为．
∵，∴，
所以可设点
则有，∴，（舍）
所以点坐标为．
⑶ 由⑵知，
当为直角梯形一底时，由图象可知点不可能在抛物线上，
若为直角梯形一底，为直角梯形腰时，
∵，
∴直线的解析式为
∵直线，且
∴直线的解析式为
联立方程组得得
解得（舍），
∴，，即点
∴符合条件的点的坐标为．
