`
动点问题：一般指由于点的运动，引起线段的变化和图形的变化，一般考查线段特殊时或图形特殊时，求动点的位置或运动时间．
已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点的坐标为，点是直线上的一动点，直线与轴交于点.问：
⑴ 当点运动到何位置时，直线平分矩形的面积，请简要说明理由，并求出此时直线的函数解析式；
⑵ 当点沿直线移动时，是否存在使与相似的点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
如图，是边长为的等边三角形，动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为.
⑴ 当为何值时，两个动点第一次相遇．
⑵ 从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，点、、为顶点的三角形的面积为．
动直线问题：一般指由于直线的平移，引起图形变化，在运动过程中，考查图形的特殊状态，图形的面积和周长等图形的基本特征．
如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
⑴ 求点到的距离；
⑵ 点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
当点在线段上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出
的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
图形的相对运动问题：一般涉及两类问题，①两个形状固定的图形相对运动，在运动的过程中，求两图形重叠部分的面积．②在运动的过程中，图形的形状随着运动时间在变化，可考查点的重合问题，线的共线问题和图形重叠面积．
如图，已知直线：与直线：相交于点,、分别交轴于、两点．矩形的顶点、分别在直线、上，顶点、都在轴上，且点与点重合．
⑴ 求的面积；
⑵ 求矩形的边与的长；
⑶ 若矩形从点出发，沿轴的反方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
如图，在梯形中，，，，，点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接．若设运动时间为．解答下列问题：
⑴ 当为何值时，？
⑵ 设的面积为，求与之间的函数关系式；
⑶ 是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由;
⑷ 连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．
题型一 动点问题 巩固练习
如图，在正方形中，，动点自点出发沿
方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折
线以每秒的速度运动，到达点时运动同时
停止，设的面积为，运动时间为，则下列
图象中能大致反映与之间的函数关系的是（ ）
题型二 动直线问题 巩固练习
某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度（米/秒）与时间（秒）的关系如图， ，，．
⑴ 求该同学骑自行车上学途中的速度与时间
的函数关系式；
⑵ 计算该同学从家到学校的路程（提示：在和
段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点
时刻的速度，路程＝平均速度×时间）.
题型三 图形相对运动问题 巩固练习
如图，在中，，，的面积为，点为边上的 任意一点（不与、重合），过点作，交 于点．设的长度为，以为折线将翻 折，所得的与梯形重叠部分的面积记为．
⑴ 用表示的面积；
⑵ 求出与的函数关系式；
⑶ 当取何值时，的值最大？最大值是多少？
`
动点问题：一般指由于点的运动，引起线段的变化和图形的变化，一般考查线段特殊时或图形特殊时，求动点的位置或运动时间．
已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点的坐标为，点是直线上的一动点，直线与轴交于点.问：
⑴ 当点运动到何位置时，直线平分矩形的面积，请简要说明理由，并求出此时直线的函数解析式；
⑵ 当点沿直线移动时，是否存在使与相似的点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
⑴ 连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积．
由已知可得此时点的坐标为．
设直线的函数解析式为．
则有 解得，．
所以，直线的函数解析式为：．
⑵ 存在点使得与相似．
不妨设直线与轴的正半轴交于点．
因为，若与相似，则有或．
当时，即，解得．所以点满足条件．
当时，即，解得．所以点满足条件．
由对称性知，点,．
∵过点、的直线与过点、的直线平行，∴舍去.
综上所述，满足使与相似的点有个，分别为、、．
如图，是边长为的等边三角形，动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为.
⑴ 当为何值时，两个动点第一次相遇．
⑵ 从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，点、、为顶点的三角形的面积为．
⑴ 当为时，两个动点第一次相遇．
⑵ 是边长为的等边三角形，∴，
有种情况：
①如图1，当点在上时，点在上时.
过作于，
，，，∴，
由三角形面积公式得：，
解得：，（舍去）；
②如图2，当点在上时，点在上时.
过作于，
，，∴，
由三角形面积公式得：，
解得：或，
当时，在上，舍去，
∴；
③如图3，当点在上时，点在上时.
，，，
，
∴ ，
此方程无解；
∴的值是，.
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是能进行分类讨论求出的值．此题难度较大．
动直线问题：一般指由于直线的平移，引起图形变化，在运动过程中，考查图形的特殊状态，图形的面积和周长等图形的基本特征．
如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
⑴ 求点到的距离；
⑵ 点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
当点在线段上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出
的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
⑴ 如图1，过点作于点
∵为的中点，
∴
在中，∴
∴
即点到的距离为
⑵ ①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．
∵∴
∵∴，
同理
如图2，过点作于，∵
∴
∴
∴则
在中，
∴的周长
②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则
类似①，∴
∵是等边三角形，∴
此时，
当时，如图4，这时
此时，
当时，如图5，
则又
∴
因此点与重合，为直角三角形．
∴
此时，
综上所述，当或或时，为等腰三角形．
图形的相对运动问题：一般涉及两类问题，①两个形状固定的图形相对运动，在运动的过程中，求两图形重叠部分的面积．②在运动的过程中，图形的形状随着运动时间在变化，可考查点的重合问题，线的共线问题和图形重叠面积．
如图，已知直线：与直线：相交于点,、分别交轴于、两点．矩形的顶点、分别在直线、上，顶点、都在轴上，且点与点重合．
⑴ 求的面积；
⑵ 求矩形的边与的长；
⑶ 若矩形从点出发，沿轴的反方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
⑴ 解：由得.∴点坐标为由得.∴点坐标为∴
由解得∴点的坐标为
∴
⑵ ∵点在上且,∴
∴点坐标为,又∵点在上且,∴,∴
∴点坐标为∴,
⑶ ①当时，如图⑴，矩形与重叠部分为五边形（时，为
四边形）．过作于，则
∴即∴∵
∴,即，∴.
∴
即
②当时，如图⑵所示，矩形与重叠部分为梯形，由①知，
∵,
∴即,∴
∴
即；
③当时，如图⑶所示，矩形与重叠部分为
由②知，
∴即
∴
【点评】本题属于大综合题目，主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系，还要善于分解，化整为零，各个击破．
如图，在梯形中，，，，，点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接．若设运动时间为．解答下列问题：
⑴ 当为何值时，？
⑵ 设的面积为，求与之间的函数关系式；
⑶ 是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由;
⑷ 连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．
⑴∵∴．而，，
∴，∴．∴当，.
⑵方法一：
∵平行且等于，∴四边形是平行四边形．
∴,．
∵，∴．∴．
∴．．∴．
过作，交于，过作，交于．
．
∵，
∴．又，，
，
⑶
若，则有，解得．
⑷在和中，.
∴．
∴在运动过程中，五边形的面积不变．
如图所示，是菱形的对角线上一动点，过垂直于的直线交菱形的边于、两点，设，，，的面积为，则关于的函数图象的大致形状是（ ）
C
如图，在中，，，是边的中点，交于 点，动点从点出发沿射线方向以每秒厘米的速度在线段上运动.同时， 动点从点出发沿射线方向在线段上运动，且始终保持.设运动时间 为秒.
⑴与相似吗？以图1为例说明理由；
⑵若，厘米.
① 求动点的运动速度；
② 设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式；
⑶探求、、三者之间的数量关系,以图2为例说明理由.
⑴与相似；
∵,. ∴ .
∴,.
∴.
⑵ ①∵，,,.
∴,.
∵ .
∴即：
∵点的运动速度是每秒厘米，
∴点运动速度是每秒厘米.
② ∵, .
∴ .
⑶ .
∴, ∴∵∴.
∵,∴.
如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点、 点重合），过点作直线交于点，再把沿着动直线对折，点 的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．
⑴ 求的度数；
⑵ 当取何值时，点落在矩形的边上？
⑶ ①求与之间的函数关系式；
②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？
⑴ 如图，∵四边形是矩形，∴，
又，，，∴，．
∴，∴．
∵，∴．
⑵ 如图1，由轴对称的性质可知，，
∴，．
由⑴知，∴，
∴，∴．
∵，∴，．
在中，根据题意得：，解得．
⑶ ①当点在矩形的内部或边上时，，
，
∵，∴当时，．
当在矩形的外部时（如图2），，
在中，∵，∴，
又∵，∴，
在中，∵，∴．
∴，
∵，
∴当时，．
综上所述，与之间的函数解析式是：．
②矩形面积，
当时，函数随自变量的增大而增大，
所以的最大值是，而，
而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：，解得，
因为，所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的．
图形的折叠及折后重叠部分的面积问题需注意以下几点：⑴折叠前后，折叠部分全等；⑵重叠部分形状是否发生变化，若发生变化找出分界点；⑶多数情况下要分类讨论，所以要把所有情况考虑全．
题型一 动点问题 巩固练习
如图，在正方形中，，动点自点出发沿
方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折
线以每秒的速度运动，到达点时运动同时
停止，设的面积为，运动时间为，则下列
图象中能大致反映与之间的函数关系的是（ ）
B
题型二 动直线问题 巩固练习
某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度（米/秒）与时间（秒）的关系如图， ，，．
⑴ 求该同学骑自行车上学途中的速度与时间
的函数关系式；
⑵ 计算该同学从家到学校的路程（提示：在和
段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点
时刻的速度，路程＝平均速度×时间）.
⑴
⑵ （米）
题型三 图形相对运动问题 巩固练习
如图，在中，，，的面积为，点为边上的 任意一点（不与、重合），过点作，交 于点．设的长度为，以为折线将翻 折，所得的与梯形重叠部分的面积记为．
⑴ 用表示的面积；
⑵ 求出与的函数关系式；
⑶ 当取何值时，的值最大？最大值是多少？
⑴ ∵，∴，，
∴，
∴，即
⑵ ∵，∴边所对的三角形的中位线长为，
∴当 时 ．
当时，点落在三角形的外部，其重叠部分为梯形．
∵，∴边上的高．
由已知求得，∴，
由知，
.
∴．
⑶ 在函数中，
∵，∴当时最大为．
在函数中，当时，最大为．
∵，∴当时，最大为．
