`
中考说明：抛物线上点存在问题中的三角形的全等或相似主要考查确定对应边和对应角，在对应边和对应角不确定的情况下，需要分类讨论．分类可能按角分类也可能按边分类.
如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点.在抛物线上取一点，在y轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标是 .
,, , .
思路分析：以为顶点的三角形与全等，已知，
从图象可知，∴或.
当时，
情况一，，如图1；情况二，，如图2；
当时，
情况三，，如图3；情况四，，如图4.
如图，抛物线（）交轴于、两点，点坐标为（3，0），与轴交于点，以、为边作矩形交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴在边（不包括、两点）上平行移动，分别交轴于点， 交于点，交于点，交抛物线于点，若点的横坐标为，请用含 的代数式表示的长.
（3）在（2）的条件下，连结，则在上方的抛物线部分是否存在这样的点， 使得以、、为顶点的三角形和相似？若存在，求出此时的值，并直 接判断的形状；若不存在，请说明理由.
(2013凉山)
【解析】（1）∵，在抛物线上
∴解得：………………………………………（2分）
∴所求抛物线的解析式为：…………………………（3分）
（2）设直线AC的解析式为
∵在直线AC上
∴解得：
∴直线AC的解析式为：……………………（4分）
∴，………………（5分）
∵点P在M上方
∴
……………………………………（6分）
（3）①若，此时是直角三角形且
则即…………………………………………（7分）
又∵
∴
∴…………………………………………………………（8分）
∵
∴
∵，∴…………………………………………………………………………（9分）
②若此时是等腰三角形且
则即…………………………………………………………（10分）
由①得
∴
∴………………………………………………………………………（11分）
同理，
∴
∵，∴
综合所得：存在这样的点P使与相似
此时m的值为或1，为直角三角形或等腰三角形……………………（12分）
1.【存在问题中的角度---特殊角】
中考说明：单个特殊角一般指、、等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线与抛物线的交点.
【例3】⑴如图1，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，是否存在点使 得直线与轴的正半轴的夹角为，若存在，请求出点的坐标；不存在，说明 理由．
⑵如图2，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，点的坐标为，是否存在点使得直线分别与轴正半轴的夹角为或？若存在，请求出点的坐标；不存在，说明理由．
⑴方法一：如图3，过点作轴于点，
由已知得，为等腰直角三角形.
设点的坐标为，则，
故，则，∴（舍），，
∴点的坐标为．
方法二：∵，
∴直线是第一象限的角平分线，
故直线的解析式为，
点即为抛物线和直线的交点（点除外），
联立方程组，解得（舍），，
故点的坐标为．
⑵如图4，若直线与轴正半轴的夹角为，且直线与轴交于点.
∴为等腰直角三角形，，∴点的坐标为
由待定系数法可求直线的解析式为，联立方程组解得，
∴点的坐标为．
如图5，若直线与轴正半轴的夹角为，且直线与轴交于点.
∴，在中，，∴，∴点的坐标为
由待定系数法可求直线的解析式为，联立方程组得
，，故方程无实数根，故点不存在．
【例4】如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，点的坐标为，若点使，请求出点的坐标．
方法一：构造外弦图，如图1，过点作垂直轴于，在上取点，使得，过点作，过点作，与相交于点．
易证
∴，
∴点的坐标为
直线的解析式为
联立方程组解得（舍），
故点的坐标为．
方法二：如图2，以为斜边作等腰直角三角形，再构造弦图，求的坐标．
【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】
已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，点的坐标为．
⑴ 求点的坐标；
⑵ 如图1，连接，，并延长交于点，求的度数；
⑶ 如图2，已知点，点在轴下方的抛物线上，直线交线段于点， 当时，求点的坐标．
(2013十堰)
【解析】（1）把x=－1，y=0代入得
1＋2＋c=0， ∴c=－3
∴
∴顶点D的坐标为（1，－4）
（2）如图1，连结CD、CB,过D作DF⊥y轴于F点，
由得x1=－1，x2=3，∴B（3,0）．
当x=0时， ．
∴C（0,－3），∴OB=OC=3，
∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=
又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD=，
∴∠BCD=180°－∠OCB－∠FCD =90°．
∴∠BCD =∠COA．
∴，∴△DCB∽△AOC ，∴∠CBD=∠OCA．
又∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，∴∠E=∠OCB=45°．
(3)如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点．
∵∠PMA=45°，∴∠EMH =45°，∴∠MHE =90°，
∴∠PHB =90°，∴∠DBG+∠OPN=90°．
又∠ONP+∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP，
又∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB∽△PON，
∴，
∴ON=2，∴N（0，－2）．
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则由 解得k=－，b=－2，
∴．
设Q（m，n）且n<0，∴．
又Q（m，n）在上，∴，
∴，解得，
∴，
∴点Q的坐标为（2，－3）或（－，－）.
目标班
已知：抛物线与轴交于点、，与轴交于点．直线与抛物线交于点、（在的左侧），与抛物线的对称轴交于点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵当时，求的大小；
⑶若在直线下方的抛物线上存在点，使得，且满足条件的点只有两个，则的值为 ．（第⑶问不要求写解答过程）
（海淀期末）
⑴ 依题意，设抛物线的解析式为．
∵抛物线与轴交于点，
∴．解得．
∴抛物线的解析式为
，即．
⑵ 由⑴可得抛物线的对称轴为．
∵，
∴直线的解析式为．
∵直线与抛物线交于点、，与抛物线的对称轴交于点，
∴、两点的坐标分别为，．
设抛物线的对称轴与轴的交点为．
可得
∴、、三点在以为圆心，半径为5的圆上．
∴．
⑶ ．
⑶小问：无论直线平移到什么位置，只要与抛物线有两个交点，那么点关于对称轴的对称点一定满足，因此要使满足的点只有两个．则、、三点确定的圆一定经过抛物线的顶点，即四边形是正方形，那么只要求出顶点坐标及点坐标即可．
如图，已知抛物线的顶点A在双曲线上, 直线y=mx+b经过点A, 与y轴交于点B, 与x轴交于点C.
⑴确定直线AB的解析式;
⑵将直线AB绕点O顺时针旋转90(, 与x轴交于点D, 与y轴交于点E, 求sin∠BDE
的值;
⑶过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G , 点M在直线BG上, 且到抛物线的对
称轴的距离为6. 设点N在直线BG上, 请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=45(的点N的坐标.
（海淀二模）
⑴
∴A(1, -m2+5m -3).
∵点A在双曲线上,
∴xy=3.
-m2+5m-3=3.
解得 m=2, m=3(不合题意, 舍去).
∴ m=2, A(1, 3).
∵直线y=mx+b经过点A,
∴3=2×1+b. b=1.
故直线AB的解析式为 y=2x+1
⑵ 由y=2x+1, 可得B(0, 1), C(, 0).
将直线AB绕点O顺时针旋转90°,
得点B的对应点为D (1, 0),
点C的对应点为E (0, ).
可得直线DE的解析式为
由 得两直线交点为F()
可得DE⊥BC, BD=, BF=,
∴ sin∠BDE=.
N1(5, 1), N2(-3, 1).
如图，已知抛物线y= (b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
(1)点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；
⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
(1)点B的坐标为（b，0），点C的坐标为
(2)假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．
设点P坐标为（x,y），连接OP，
则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB=
∴x+4y=16,
过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E．
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴∠EPD=90°，
∵△PCB是等腰直角三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠EPC=∠DPB，
∴△PEC≌△PDB，
∴PE=PD，即x=y,
由,解得：
由△PEC≌△PDB得，EC=DB，即，
解得：，符合题意，
∴P点坐标为（,）
(3)由，得A（1,0），OA=1
①如图3，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，
那么△OQC≌△QOA
当,即时，△BQA∽△QOA，
所以
解得，所以符合题意的点Q为
②如图4，以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q，那么因此
△OCQ∽△QOA
当时，△BQA∽△QOA，此时
所以C、Q、B三点共线，因此
即，解得QA=4,此时Q（1,4）
目标123班
二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，在二次函数的图象上是否存在点，使锐角？若存在，请你求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
探索的点必须满足两个条件：①为锐角；
②．借助探索问题五的思想方法寻找临界点（）．
存在点，使得锐角．
取点关于轴的对称点．连结并延长交抛物线于点，过作轴交抛物线于点．显然当点在、之间或在、之间的抛物线上时，锐角．
∴（，0），（0，），（1，0）．
∴直线的解析式为：．
联立得：或
∴点的横坐标为5．
由抛物线的对称性知：、关于对称轴对称，
∴点的横坐标为2．
∵当点在、之间或在、之间的抛物线上时，
锐角．
∴或．
⑴ 由点及线的问题转化思想．
⑵ 本例还可变形为：探索点，使的内心在轴左侧？内心在第三象限？
抛物线过点，，交轴正半轴于点，在抛物线上（在点的右侧）是否存在一点，使得？若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
探索条件是一个不等关系，这样的问题都可仿照探索五的思想方法，寻找临界点
（）
在抛物线上（在点的右侧）存在一点，使．
设交轴于点，
显然，，，
当时，，
∴，
∴，∴，∴，
∴直线：，
由，有．
∴当时，．
①将问题特殊化，利用相似三角形，探讨三个角满足等量关系时点的坐标，在根据函数及图象的性质，得到解答；②第⑵问拓展；在抛物线上（在点的右侧）是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，平行四边形的顶点，，，抛物线经过点、．
⑴求点的坐标．
⑵关于的方程有且只有一个解，求抛物线的解析式．
⑶在⑵的条件下，点为抛物线上一动点（不与、重合），过点作轴的垂线交线段于，若，直接写出点的横坐标．
⑴ ．
⑵ 把，代入中得
∴即
∴，（舍），
∴，抛物线的解析式为．
⑶ 或．
题型一 存在问题中的全等和相似构造 巩固练习
如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为．
⑴设点、为该二次函数的图象在轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点、，使？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．
⑵若直线交轴于点，且，求点的坐标.
（泰州中考改编）
⑴ 存在．
设抛物线顶点为，在中，易得，于是以点为圆心，
为半径作圆与抛物线在上方一定有交点、，如图1，连接，再作平分线交抛物线于，连接、，此时由“边角边”易得．
（或连接，再作平分线交抛物线于，连接、，此时由“边角边”易得）
⑵ ∵
∴，即，所以
故点的坐标为或.
题型二 存在问题中的角度 巩固练习
如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，点的坐标为.
⑴若点使得，求出点的坐标；
⑵若点使得直线与轴正方向的夹角最小，请求出点的坐标．
⑴ 设点的坐标为，
如图1，过点作轴于点,
，
∴，∴点的坐标为.
⑵ 如图2，直线经过点，
设的解析式为．
联立方程组，
当最小时，方程有唯一解，
，（舍），，
故直线的解析式为．
点的坐标为．
`
中考说明：抛物线上点存在问题中的三角形的全等或相似主要考查确定对应边和对应角，在对应边和对应角不确定的情况下，需要分类讨论．分类可能按角分类也可能按边分类.
如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点.在抛物线上取一点，在y轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标是 .
如图，抛物线（）交轴于、两点，点坐标为（3，0），与轴交于点，以、为边作矩形交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴在边（不包括、两点）上平行移动，分别交轴于点， 交于点，交于点，交抛物线于点，若点的横坐标为，请用含 的代数式表示的长.
（3）在（2）的条件下，连结，则在上方的抛物线部分是否存在这样的点， 使得以、、为顶点的三角形和相似？若存在，求出此时的值，并直 接判断的形状；若不存在，请说明理由.
(2013凉山)
1.【存在问题中的角度---特殊角】
中考说明：单个特殊角一般指、、等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线与抛物线的交点.
【例3】⑴如图1，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，是否存在点使 得直线与轴的正半轴的夹角为，若存在，请求出点的坐标；不存在，说明 理由．
⑵如图2，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，点的坐标为，是否存在点使得直线分别与轴正半轴的夹角为或？若存在，请求出点的坐标；不存在，说明理由．
【例4】如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，点的坐标为，若点使，请求出点的坐标．
【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】
已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，点的坐标为．
⑴ 求点的坐标；
⑵ 如图1，连接，，并延长交于点，求的度数；
⑶ 如图2，已知点，点在轴下方的抛物线上，直线交线段于点， 当时，求点的坐标．
(2013十堰)
题型一 存在问题中的全等和相似构造 巩固练习
如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为．
⑴设点、为该二次函数的图象在轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点、，使？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．
⑵若直线交轴于点，且，求点的坐标.
（泰州中考改编）
题型二 存在问题中的角度 巩固练习
如图，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，点的坐标为.
⑴若点使得，求出点的坐标；
⑵若点使得直线与轴正方向的夹角最小，请求出点的坐标．
