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中考说明：从07到12年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等．
一、线段定值问题：
初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题简单的可分为以下几类：
动点到定点的距离等于定长，其实就是作圆（如图1）．
动点到定直线的距离等于定长，其实就是作平行线（如图2）．
动点到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）．
动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）
动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．
二、线段最值问题：
题型一：
已知，，其中，求的最值．如图，以点为圆心，线段为半径作圆，交于点、，当点与点重合时，取到最大值为；当点和点重合时，取到最小值为．
点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．
题型二：
在直线上找一点，使得其到直线同侧两点的距离之和最小，如图所示．作点（或）关于直线的对称点，再连接另一点与对称点，与的交点即为点．
题型三：
直线交于，是两直线间的一点，在直线上分别找一点，使得的周长最短．如图所示，作点关于的对称点，连接，与分别交于两点，即为所求．
题型四：
直线交于，是两直线间的两点，从点出发，先到上一点，再从点到上一点，再回到点，求作两点，使最小．如图所示，作两点分别关于直线的对称点，连接分别交于，即为所求．
点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．
题型五：
从点出发，先到直线上的一点，再在上移动一段固定的距离，再到点，求作点使移动的距离最短，如图所示．先将点向右平移到点，使等于的长，作点关于的对称点，连接，与直线的交点即为点，将点向左平移线段的长，即得到点．
题型六：
是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为的河上垂直建一座桥，使得从村庄经过桥到村庄所走的路程最短．如图所示，将点向垂直于河岸的方向向下平移距离，到点，连接交河岸于点，过点作垂直于河岸，交河岸的另一端为，即为所求．
点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．
题型七：
垂线段最短．
在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；
⑶在⑵的条件下，求到直线、、距离相等的点的坐标．
（北京中考）
⑴ 由题意可得解得
故抛物线的解析式为：．
⑵ 由可知抛物线的顶点坐标为，故，
由题意可知直线过原点和．
设直线的解析式为，则有解得．
故直线的解析式为．
⑶ 到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个．
由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC为等边三角形，四边形ABCO是菱形，且∠BCO=60°，连接AC交x轴于一点M，易证点M到OB、OC、BC的距离相等． 由点A在∠BCO的平分线上，故它到BC、CO的距离相等均为，同时不难计算出点A到OB的距离为，故点A也算其中一个． 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO全等的菱形（如图所示，其中△OBC为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB、OC、BC的距离相等．
此四个点的坐标分别为：
，，，．
在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，且经过，，直线与轴交于点．
⑴求出直线及抛物线的解析式．
⑵在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点，且＝２ ，点在点的上方，使得四边形的周长最小，若存在，求出两点的坐标，若不存在，请说明理由．
⑶现将直线绕点旋转与抛物线相交于另一点，请找出抛物线上所有满足到直线距离为的点． （延庆一模）
⑴ 设直线的解析式：
根据题意得：，解得．
直线的解析式为．∵抛物线的对称轴为
设抛物线的解析式为，
根据题意得，解得，
抛物线的解析式为．
⑵ ∵若四边形的周长最短，求出最短即可，
∵点抛物线上，∴ ，∴点关于直线的对称点是
∵，∴将点向下平移2个单位得到
∴直线交直线于点，
∵直线的解析式为，
∴，∵，∴．
⑶ 将直线绕点旋转与抛物线相交与另一点，
设到直线的距离为，
故应在与直线平行，且相距的上下两条平行直线和上．
由平行线的性质可得：两条平行直线与轴的交点到直线的距离也为．如图，设与轴交于点，过作于点，在中，
，，∴．
∴可以求得直线与轴交点坐标为
同理可求得直线与轴交点坐标为
∴两直线解析式；．
根据题意列出方程组：
⑴；⑵．
∴解得：；；；
∴满足条件的点有四个，它们分别是，，，．
已知抛物线经过点和点．
⑴求此抛物线解析式；
⑵点、分别是轴和轴上的动点，求四边形周长的最小值；
⑶过点作轴的垂线，垂足为点．点从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达点，再沿到达点，若点在对称轴上的运动速度是它在直线上运动速度的倍，试确定点的位置，使得点按照上述要求到达点所用的时间最短．（要求：简述确定点位置的方法，但不要求证明） （崇文一模）
⑴ 依题意：
解得
∴抛物线的解析式为．
⑵ 点关于轴的对称点的坐标是，
点关于轴的对称点的坐标是．由对称性可知
=
由勾股定理可求 ，．
所以，四边形周长的最小值是．
⑶ 确定点位置的方法：如图，过点作直线使对称轴与直线成角，
则与对称轴的交点为所求的点．
设对称轴与轴交于点，在中，由，，得．所以点的坐标是．
中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．
抛物线与轴交于点、（点在点右侧），与轴交于点，若点为第二象限抛物线上一动点，连接、，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标．
求三角形面积的问题通常要用割补法或等积变换等方法，本题较特殊，还可利用直线与抛物线相切来寻找面积最大时点的坐标．
解法一：过点作轴于点，
设
∴，，
∴
，
∴当时，最大，且最大值为．
此时，点坐标为．
解法二：过作轴交于点，
设坐标为，则，
∴，
由
∴，
当时，取到最大值，此时，．
解法三：过抛物线上一点作平行线，
当直线与抛物线有且只有一个公共点时，取到最大值，此点即为点，
设直线解析式为，
则方程，有两个相等实根，即，
可求，由此可求得方程的根，即可求出点坐标．
如图，抛物线与双曲线相交于点，. 已知点的坐标为，点在第一象限内，且. 过点作直线轴，交抛物线于另一点．
⑴求双曲线和抛物线的解析式；
⑵计算的面积；
⑶在抛物线上是否存在点，使的面积等于的面积．若存在，请你写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． （山东日照）
⑴ 把点的坐标，代入，
得：，∴．即双曲线的解析式为： ．
设点的坐标为，∵点在双曲线上，∴．…①
又∵，∴， 即．…②
又①，②得：，.
∵点在第一象限，∴，， ∴点的坐标为
把、点的坐标代入，得：解得；
∴抛物线的解析式为： ；
⑵ ∵轴，∴点的纵坐标，
代入，得方程，解得，（舍去）．
∴点的坐标为，且，
又以为底，则高为，∴的面积 ；
⑶ 存在点使的面积等于的面积.
可计算发现点不在直线下方.
过点作交抛物线于另一点 ．
因为直线相应的一次函数是：，且点的坐标为，，
所以直线相应的一次函数是：.
解方程组解得或（舍），所以点的坐标是.
已知顶点为的抛物线经过点.
⑴求抛物线的解析式；
⑵如图1，设分别是轴、轴上的两个动点，求四边形周长的最小值.
⑶在⑵中，当四边形的周长最小时，作直线.设点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图2所示构造等腰直角三角形.
①当与直线有公共点时，求的取值范围；
②在①的条件下，记与的公共部分的面积为.求关于的函数关系式，并求的最大值. （四川乐山）
⑴ 设以为顶点的二次函数解析式为
∵的图象经过点
∴解得
∴
即：
⑵ 如图，作点关于轴对称点，与轴交与
点，作点关于轴对称点，与轴交与点，连接.四边形的周长最小.
∵，，∴，
∴
⑶ ①如图
∵
∴直线的解析式为
∴直线与直线的交点
∵，点为的中点
∴
∵与直线有公共点，
∴，即.
②如图：
点，当时，，得：，
当时，
当时，．
当时，
当时，．故的最大值为．
目标班
如图：抛物线经过、、三点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵已知（在线段上），有一动点从点沿线段以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点以某一速度从点沿线段移动，经过秒的移动，线段被垂直平分，求的值；
⑶在⑵的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
⑴ 解法一：设抛物线的解析式为
因为在抛物线上，
所以，解得
所以抛物线解析式为
解法二：设抛物线的解析式为，
依题意得：且，解得，
所以所求的抛物线的解析式为．
⑵ 连接，在中，
所以，，
因为垂直平分，所以，
，所以
因为，
所以，，
所以，
所以．，
所以，，
即，，所以，
，所以的值是．
⑶ 答对称轴上存在一点，使的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为
所以，两点关于直线对称
连接交直线于点，则的值最小
过点作轴于，所以
，，
，即，所以，，
所以，所以
设直线的解析式为
则，由此得，所以直线的解析式为．
联立，由此得，所以，
则在对称轴上存在点，使的值最小．
如图，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），与轴交于点，
线段向上平移个单位得到对应线段，抛物线上一动点（点在平行四边形中），是否存在点，使得的值最大．
几何法：当点为直线与抛物线的切点时，取到最大值．同时取到最小值．
代数法：设点的坐标为，然后用表示，再求最大值．
若和相切．
消得，解得，代入求得．
目标123班
已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线：对称.
⑴求、两点坐标，并证明点在直线上；
⑵求二次函数解析式；
⑶过点作直线∥交直线于点，、分别为直线和直线上的两个动点，连接、、，求和的最小值.
（福建福州中考）
⑴ 依题意,得
解得,
∵点在点右侧
∴点坐标为,点坐标为
∵直线:
当时,
∴点在直线上
⑵ ∵点、关于
直线:对称
∴
过顶点作交于点
则,, ∴顶点
把 代入二次函数解析式,解得
∴二次函数解析式为
⑶ 直线的解析式为
直线的解析式为
由 解得
即,则
∵点、关于直线对称
∴的最小值是,过作轴于D点.
过点作直线的对称点,连接,交直线于
则,,
∴的长是的最小值
∵∥
∴
在 由勾股定理得
∴的最小值为.
如图：抛物线经过、、三点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵已知（在线段上），有一动点从点沿线段以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点以某一速度从点沿线段移动，经过秒的移动，线段被垂直平分，求的值；
⑶在⑵的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
⑴ 解法一：设抛物线的解析式为
因为在抛物线上，
所以，解得
所以抛物线解析式为
解法二：设抛物线的解析式为，
依题意得：且，解得，
所以所求的抛物线的解析式为．
⑵ 连接，在中，
所以，，
因为垂直平分，所以，，所以
因为，所以，，
所以，所以．，
所以，，即，，
所以，
，所以的值是．
⑶ 答对称轴上存在一点，使的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为
所以，两点关于直线对称
连接交直线于点，则的值最小
过点作轴于，所以
，，
，即，所以，，
所以，所以
设直线的解析式为
则，由此得，
所以直线的解析式为．
联立，由此得，所以，
则在对称轴上存在点，使的值最小．
题型一 存在问题中的距离 巩固练习
在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，直线
交轴于点，且过点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵在x轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标；
⑶将抛物线左右平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值．
（顺义二模）
⑴ 依题意，得
解得
∴抛物线的解析式是．
⑵ 依题意，得 ，．
作点关于轴的对称点，求直线的解析式为，直线与轴的交点即为点．因此，点坐标为．
⑶ 左右平移抛物线，因为线段和均是定值，
所以要使四边形的周长最小，只要使的值最小；
因为，因此将点向右平移个单位得，
作点关于轴的对称点，点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、代入解析式，得
解得
∴直线的解析式为．
∴直线与轴的交点即为点，可求，因此．
所以当四边形的周长最小时，
抛物线的解析式为，即．
∵ ．
∴四边形的周长最小值为．
题型二 存在问题中的面积 巩固练习
如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，把直线 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于、两点.
⑴求的值；
⑵求过、、 三点的抛物线的解析式；
⑶若点是抛物线上的一个动点，是否存在点，使凸四边形的面积是四边形 面积的?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
（内蒙古乌兰察布中考）
⑴ 设反比例函数的解析式为：，把
代入解析式中求得.
当时，，所以；
点的坐标为.
⑵ 设直线的解析式为，把
代入解析式中求得，则有，
设直线的解析式为，把代入解析式中求得，
则有，
所以、
设抛物线的解析式为，由题意知
解得
所以
⑶ 由求出，四边形面积
=，
四边形的面积
因为初中只研究凸四边形，
经分析点在直线的上方，四边形的面积
则
所以，求出，即点的纵坐标是，
把代人中得出，
所以或.
又因为在直线的上方，
所以.
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中考说明：从07到12年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等．
一、线段定值问题：
初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题简单的可分为以下几类：
动点到定点的距离等于定长，其实就是作圆（如图1）．
动点到定直线的距离等于定长，其实就是作平行线（如图2）．
动点到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）．
动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）
动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．
二、线段最值问题：
题型一：
已知，，其中，求的最值．如图，以点为圆心，线段为半径作圆，交于点、，当点与点重合时，取到最大值为；当点和点重合时，取到最小值为．
点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．
题型二：
在直线上找一点，使得其到直线同侧两点的距离之和最小，如图所示．作点（或）关于直线的对称点，再连接另一点与对称点，与的交点即为点．
题型三：
直线交于，是两直线间的一点，在直线上分别找一点，使得的周长最短．如图所示，作点关于的对称点，连接，与分别交于两点，即为所求．
题型四：
直线交于，是两直线间的两点，从点出发，先到上一点，再从点到上一点，再回到点，求作两点，使最小．如图所示，作两点分别关于直线的对称点，连接分别交于，即为所求．
点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．
题型五：
从点出发，先到直线上的一点，再在上移动一段固定的距离，再到点，求作点使移动的距离最短，如图所示．先将点向右平移到点，使等于的长，作点关于的对称点，连接，与直线的交点即为点，将点向左平移线段的长，即得到点．
题型六：
是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为的河上垂直建一座桥，使得从村庄经过桥到村庄所走的路程最短．如图所示，将点向垂直于河岸的方向向下平移距离，到点，连接交河岸于点，过点作垂直于河岸，交河岸的另一端为，即为所求．
点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．
题型七：
垂线段最短．
在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；
⑶在⑵的条件下，求到直线、、距离相等的点的坐标．
（北京中考）
在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，且经过，，直线与轴交于点．
⑴求出直线及抛物线的解析式．
⑵在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点，且＝２ ，点在点的上方，使得四边形的周长最小，若存在，求出两点的坐标，若不存在，请说明理由．
⑶现将直线绕点旋转与抛物线相交于另一点，请找出抛物线上所有满足到直线距离为的点． （延庆一模）
已知抛物线经过点和点．
⑴求此抛物线解析式；
⑵点、分别是轴和轴上的动点，求四边形周长的最小值；
⑶过点作轴的垂线，垂足为点．点从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达点，再沿到达点，若点在对称轴上的运动速度是它在直线上运动速度的倍，试确定点的位置，使得点按照上述要求到达点所用的时间最短．（要求：简述确定点位置的方法，但不要求证明） （崇文一模）
中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．
抛物线与轴交于点、（点在点右侧），与轴交于点，若点为第二象限抛物线上一动点，连接、，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标．
如图，抛物线与双曲线相交于点，. 已知点的坐标为，点在第一象限内，且. 过点作直线轴，交抛物线于另一点．
⑴求双曲线和抛物线的解析式；
⑵计算的面积；
⑶在抛物线上是否存在点，使的面积等于的面积．若存在，请你写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． （山东日照）
已知顶点为的抛物线经过点.
⑴求抛物线的解析式；
⑵如图1，设分别是轴、轴上的两个动点，求四边形周长的最小值.
⑶在⑵中，当四边形的周长最小时，作直线.设点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图2所示构造等腰直角三角形.
①当与直线有公共点时，求的取值范围；
②在①的条件下，记与的公共部分的面积为.求关于的函数关系式，并求的最大值. （四川乐山）
题型一 存在问题中的距离 巩固练习
在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，直线
交轴于点，且过点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵在x轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标；
⑶将抛物线左右平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值．
（顺义二模）
题型二 存在问题中的面积 巩固练习
如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，把直线 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于、两点.
⑴求的值；
⑵求过、、 三点的抛物线的解析式；
⑶若点是抛物线上的一个动点，是否存在点，使凸四边形的面积是四边形 面积的?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
