`
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.
在平面直角坐标系中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．
（1）请直接写出B、C的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵点A（，0），
∴OA=1，
由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，
∴OC=OA?tan60°=1×=，
OB=OC? tan60°=×=3，
∴点B（3，0），C（0，），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,()
则，
解得
所以，抛物线的解析式为y=x2+x+；
（2）①∵△OCE∽△OBC，
∴
即
解得OE=1，
所以，AE=OA+OE=1+1=2，
即x=2时，△OCE∽△OBC；
②存在．理由如下：
抛物线的对称轴为x==，
所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，
∵OA=OE，OC⊥x轴，∠BAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°，
又∠DEF=60°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BAC=∠FEB，
∴EF//AC，
由A（﹣1，0），C（0，）可得直线AC的解析式为y=x+，
∵点E（1，0），
∴直线EF的解析式为y=x﹣，
联立
解得（舍去），
∴点M的坐标为（2，），
EM=，
分三种情况讨论△PEM是等腰三角形，
当PE=EM时，PE=2，
所以，点的坐标为（1，2）或
当PE=PM时，∵∠FEB=60°，
作EM的中垂线
∴∠PEF=90°﹣60°=30°，
PE=EM÷cos30°=×2÷=，
所以，点的坐标为（1，），
当PM=EM时，PE=2EM?cos30°=2×2×=2，
所以，点的坐标为（1，2），
综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，﹣2）或（1，）或（1，2），使△PEM是等腰三角形．
抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上任意一
点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，
求点D的坐标；
（3）当直线l过点，M为直线l上的
动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角
形有且只有三个时，求直线l的解析式.
(1)由，得抛物线与x轴的交点坐标为.对称轴是直线x=-1.
(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等.过点B做AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点.设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H.
由BD//AC，得
∴,∴,点D的坐标为.∵AC//BD，AG=BG，∴HG=DG
而,∴
(3)过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即两个点M
以AB为直径的圆如果与直线l相交，那么就有两个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了.
连结GM，那么GM⊥l
在Rt△EGM中，GM=3,GE=5,∴EM=4
在Rt△中，AE=8,,∴
∴点的坐标为（-4,6），过、E的直线l为
根据对称性，直线l还可以为
如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴相交于点．是抛物线在轴上方的一个动点（点、、不在同一条直线上）．分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，连接点、．
⑴ 求点，的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形；
⑵ 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由；
⑶ 若将“是抛物线在轴上方的一个动点（点、、不在同一条直线上）”改 为“是抛物线在轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角 三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．
(2013大连)
【解析】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4，令y=0，
即﹣x2+x﹣4=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0）．
如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点F．
∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF=∠MBE．
在△AMF与△BME中，
，
∴△AMF≌△BME（ASA），
∴ME=MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点，
∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形．
（2）答：能．
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，
∴对称轴是直线x=3，M（3，0）；
令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）．
△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，
而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，
不符合题意，故此种情况不存在；
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；
③若EM⊥DM，如答图2所示：
设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA．
在△ADM与△NEM中，
∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA．
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣（x﹣3）2+，故对称轴是直线x=3，
∴M（3，0），MN=MA=2，
∴N（3，2）．
设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴，解得k=2，b=﹣4，∴y=2x﹣4．
将y=2x﹣4代入抛物线解析式得：2x﹣4=﹣x2+x﹣4，
解得：x=0或x=，
当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x﹣4=3．
∴P（，3）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）．
（3）答：能．
如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N．
与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．
∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB．
在△DMN与△EMB中，
∴△DMN≌△EMB（ASA），
∴MN=MB．
∴N（3，﹣2）．
设直线PC解析式为y=kx+b，∵点N（3，﹣2），C（0，﹣4）在抛物线上，
∴，解得k=，b=﹣4，∴y=x﹣4．
将y=x﹣4代入抛物线解析式得：x﹣4=﹣x2+x﹣4，
解得：x=0或x=，
当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x﹣4=．
∴P（，）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）．
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，-4)，C(2，0)
三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断
有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
直接写出相应的点Q的坐标.
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有
解得
∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4
(2)过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.
则AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4 .
∴S = S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO
= ( m+4) (﹣n)＋(﹣n＋4) (﹣m) －×4×4
= ﹣2n-2m-8
= ﹣2(m2＋m－4) -2m-8
= ﹣m2-4m (－4< m < 0)
∴S最大值 = 4
(3)满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：
如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
∵△AOB≌△OCD，∴A（1,2）C（2,1）
可得c=0，∴，
解得
∴抛物线解析式为
（2）设点P的横坐标为t，∵PN//CD，∴△OPN∽△OCD，可
得PN=
∴∵点M在抛物线上，∴M
如图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，
∴点P的坐标为
∴存在点P，使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=
∴点Q的坐标为．
解法一：
设AB与OC相交于点J，
∵△RQ ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，
∴
∴
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=
=
由于
∴在线段AC上存在点A′，能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将△沿翻折后，点落在点处．
⑴求点、的坐标；
⑵求经过、、三点的抛物线的解析式；
⑶若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，
交抛物线于点．
①当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；
②当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
（昌平一模）
⑴ 如图所示，∵点关于轴的对称点为，与轴交于点，
∴⊥轴于，，．
∴．
∴，
由题意可知 ， ．
过点作轴于，轴于，∴．
在中，，．
由矩形得．
∵点在第四象限，∴．
⑵ 设经过、、三点的抛物线的解析式为．
依题意得
解得
∴此抛物线的解析式为．
⑶ ∵，
∴点为抛物线的顶点．
∴直线为抛物线的对称轴，交于，
由题意可知 ，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
∴．
①当点在上时，四边形为等腰梯形．
∵，与不平行，
∴四边形为梯形．
要使梯形为等腰梯形，只需满足．
∵，
∴点在上．
由、求得直线的解析式为．
又∵点在抛物线上，∴．
解得（与点重合，舍）．
∴点横坐标为．
由、求得直线的解析式为．
∵点在上，
∴ ，∴．
②当点在上时，四边形为平行四边形，
点在点的上方，且，
解得，（与点重合，舍）
此时点坐标为．
综上所述，当时，为等腰梯形；
当时，为平行四边形．
目标班
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为．
⑴求出抛物线的解析式及、两点的坐标；
⑵在轴下方的抛物线上是否存在点，使四边形的面积为．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由(使用图1)；
⑶点在轴上，点在抛物线上，要使、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标(使用图2)． （四川内江）
图1 图2
⑴ 由得，又，所以抛物线的解析式为
由得或，所以，
⑵ 假设存在符合条件的点，设
作轴于点，则，，，得
化简得，解得或
故存在符合条件的点，为或.
⑶ 当平行等于时，，当在轴右侧时，的横坐标为，当在轴 左侧时，的横坐标为；
当与互相平分时，过的中点，可得的横坐标为.
故的坐标为或或.
在平面直角坐标系中，如图1，将个边长为的正方形并排组成矩形，相邻两边和分别落在轴和轴的正半轴上，设抛物线过矩形顶点、.
⑴当时，如果，试求的值；
⑵当时，如图2，在矩形上方作一边长为1的正方形，使在线段上，如果两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
⑶将矩形绕点顺时针旋转，使得点落到轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点，①试求出当时的值；②直接写出关于的关系式.
（浙江金华）
⑴ 由题意可知，抛物线对称轴为直线，
∴，解得；
⑵ 设所求抛物线解析式为，
由对称性可知抛物线经过点和点
∴ 解得
∴所求抛物线解析式为；
⑶ ①当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为，
过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，
∴, 设OD=t，则CD=3t，
∵， ∴，
∴，∴，
又 B（，0），∴把B 、C坐标代入抛物线解析式
解得:a=；
②.
目标123班
已知抛物线．
⑴试说明：无论为何实数，该抛物线与轴总有两个不同的交点；
⑵如图，当该抛物线的对称轴为直线时，抛物线的顶点为点，直线与抛物线交于、两点，并与它的对称轴交于点．
①抛物线上是否存在一点使得四边形是正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②平移直线，交直线于点，交抛物线于点，通过怎样的平移能使得、、、为顶点的四边形是平行四边形．
（湖南衡阳）
⑴ ===，
∵不管为何实数，总有，∴，∴无论为何实数，该抛物线与轴总有两个不同的交点．
⑵ ∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴，
抛物线的解析式为=，顶点C坐标为，
解方程组，解得或，
所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），
∵时y=x－1=3－1=2，∴D的坐标为（3，2），
设抛物线的对称轴与轴的交点为E，
则E的坐标为（3，0），所以AE= DE=CE=2，
假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，
则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P的坐标为，
故抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形．
（Ⅰ）设直线CD向右平移个单位（＞0），
可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
则直线的解析式为x=3，
直线与直线y=x－1交于点M（3，2），
又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），
∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，
∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），，
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，
∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），，
(Ⅱ) 设直线CD向左平移个单位（＞0），
可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
则直线的解析式为x=3，直线与直线y=x－1交于点M（3，2），
又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，－2），
∴D通过向下平移4个单位得到C．
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．
（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N，
∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），
（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N，
∴N坐标为（3，），
又N在抛物线上，∴，
解得，（不合题意，舍去），
综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
已知抛物线与轴交于点，它的顶点为，点、关于原点的对称点分别是点、.若点、、、中任何三点都不在一直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线.
⑴如图1，求抛物线的伴随直线的解析式；
⑵如图2，若（）的伴随直线是，伴随四边形的面积为，求此抛物线的解析式；
⑶如图3，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形.
①用含的代数式表示的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标（用含的代数式）；若不存在，请说明理由.
（浙江台州）
⑴ 设直线的解析式为.由题意可得，
∴解得，
∴直线的解析式为.
⑵ 由伴随直线是，得：，，∴
由伴随四边形的面积为可得的面积为
∴ ，∵，∴
当时，，顶点为， 且过点
∴抛物线的解析式为.
⑶ ① 如图，作轴，
由题意可得，
∵抛物线的顶点在上，
∴，
在矩形中，
∴
即：
∴
∴(舍去)，
∴
∴ ,；
② 存在，有4个点：(，),( ，),( ，),( ，)
题型一 存在问题中的三角形 巩固练习
在如图的直角坐标系中，已知点，，将线段绕点按逆时针方 向旋转至．
⑴求点的坐标；
⑵若抛物线经过点．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点（点除外），使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
（重庆綦江）
⑴ 过点作轴，垂足为，
在和中，由已知有，,
而，∴，
又∵，且由已知有，
∴，∴，，
∴点的坐标为
⑵ ①∵抛物线经过点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为.
② i) 当为直角顶点时 ，延长至点，使,
则是以为直角边的等腰直角三角形,
如果点在抛物线上,则满足条件，过点作轴,
∵，，
∴，∴，,
∴可求得的坐标为，
经检验点在抛物线上，因此存在点满足条件；
ii）当点为直角顶点时，
过点作直线，在直线上分别取，
得到以为直角边的等腰直角和等腰直角，
作轴于点，同理可证
∴，，
可得点的坐标为，经检验点在抛物线上,
因此存在点满足条件．
同理可得点的坐标为，
经检验点不在抛物线上．
综上：抛物线上存在点，两点，使得和
是以为直角边的等腰直角三角形．
题型二 存在问题中的四边形 巩固练习
如图，已知抛物线过点，，与轴交于另一点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；
⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（山东烟台）
⑴ 把，代入中，得
解得
∴抛物线的解析式为
⑵ 令，得
解得，
∴点
∵
∴为等腰直角三角形．
∴
过点作轴，垂足为．
∵，∴，
所以可设点
则有，∴，（舍）
所以点坐标为．
⑶ 由⑵知，
当为直角梯形一底时，由图象可知点不可能在抛物线上，
若为直角梯形一底，为直角梯形腰时，
∵，
∴直线的解析式为
∵直线，且
∴直线的解析式为
联立方程组得得
解得（舍），
∴，，即点
∴符合条件的点的坐标为．
`
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.
在平面直角坐标系中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．
（1）请直接写出B、C的坐标：B 、C ；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上任意一
点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，
求点D的坐标；
（3）当直线l过点，M为直线l上的
动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角
形有且只有三个时，求直线l的解析式.
如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴相交于点．是抛物线在轴上方的一个动点（点、、不在同一条直线上）．分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，连接点、．
⑴ 求点，的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形；
⑵ 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由；
⑶ 若将“是抛物线在轴上方的一个动点（点、、不在同一条直线上）”改 为“是抛物线在轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角 三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．
(2013大连)
中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点—求点—定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，-4)，C(2，0)
三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断
有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
直接写出相应的点Q的坐标.
如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将△沿翻折后，点落在点处．
⑴求点、的坐标；
⑵求经过、、三点的抛物线的解析式；
⑶若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，
交抛物线于点．
①当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；
②当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
（昌平一模）
题型一 存在问题中的三角形 巩固练习
在如图的直角坐标系中，已知点，，将线段绕点按逆时针方 向旋转至．
⑴求点的坐标；
⑵若抛物线经过点．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点（点除外），使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
（重庆綦江）
题型二 存在问题中的四边形 巩固练习
如图，已知抛物线过点，，与轴交于另一点．
⑴求抛物线的解析式；
⑵若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；
⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（山东烟台）
