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在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．
已知是关于的一元二次方程的根．
⑴ 若，、为有理数，求的值．
⑵ 若，，求的值．
⑶ 若，，求的范围．
⑴ 把代入方程①得
∴，，∴
⑵ 方法一：把，代入方程①得
即
，即，∴
∴，∴，故．
方法二：把，代入方程①得
∴，，故．
⑶ 把，代入得
，即
∴
∴且．
这道例题和备选主要复习配方法和代入降次等方法.
已知关于的一元二次方程，，.
⑴ 若方程有实数根，试确定，之间的大小关系；
⑵ 若，且，求，的值；
⑶ 在⑵的条件下，二次函数的图象与轴的交点为、（点在点的左侧），与轴的交点为，顶点为.若点是四边形边上的点，试求的最大值.
⑴∵关于的一元二次方程有实数根,
∴有,.
∵.
∴,.
∴.
⑵ ∵，∴设.
解关于的一元二次方程，得 或.
当时，由得.
当时，由得（不合题意，舍去）.
∴(舍去)，.∴.
⑶ 当时，二次函数与轴的交点为、与轴交点坐标为，顶点坐标为.设，则.
画出函数和的图象，若直线平行移动时，可以发现当 直线经过点时符合题意，此时最大的值等于.
已知关于的方程①有实根．
⑴ 求的取值范围；
⑵ 在⑴的条件下，若是不大于5的整数，且方程①的根为整数，求满足条件的的值；
⑶ 求证：无论取何值，抛物线必经过一个定点；
⑷ 一次函数经过⑶中的定点，且无论取何值，与
均只有一个交点，求的值．
⑴ ①当时，原方程化为，则，有实根；
②当时，，∴．
综上所述，的取值范围是．
⑵ 由条件可知且为整数，∴
当时，方程无整数根；
当时，，
∵，，∴，∴或或，
又是整数，∴或，但时方程无整数根，
∴．
⑶ ，由题意可知
，则，此时，
∴无论取何值，抛物线必经过定点．
⑷ 由⑶可知，一次函数经过点，∴，即，
∴直线化为，
联立得，消整理得，
解得，，
∵只有一个交点，∴，∴．
一元二次方程的两根是抛物线与轴的两个交点的横坐标．
⑴ 求的值．
⑵ 若抛物线过点且，求抛物线的解析式；
⑶ 在⑵的条件下，若反比例函数的图象与抛物线的图象在第一象限内的交点为，点的横坐标满足，试求实数的取值范围．
⑴ 原方程可化为，且，
∴，
∴
⑵ 把，，代入得
，解得，∵，∴
二次函数的解析式为．
⑶ 由函数图象和函数性质可知：当时，
对，随着增大而增大，对，随着的增大而减小．因为为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
所以当时，由反比例函数图象在二次函数上方得
即，解得．
同理，当时，由二次函数数图象在反比例上方得，
即，解得．所以的取值范围为．
已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
⑴ 求抛物线与x轴的交点坐标；
⑵ 当a=1时，求△ABC的面积；
⑶ 是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证 明；如果不存在，请说明理由.
（2013昌平二模）
【解析】（1）由=0，得，．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．
（2）当a=1时，得A（1，0）、B（2，1）、C（3，3），
分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有
= - -
=（个单位面积）
（3）如： ．
∵，，
，
又∵3（）=
=．
∴．
已知抛物线．
⑴ 求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点；
⑵ 在抛物线上有一点P（m，n），n<0，OP=，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的 正弦值为，求该抛物线的解析式；
⑶ 将⑵中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图 形M，当直线与图形M有四个交点时，求b的取值范围.
(2013昌平一模)
【解析】⑴ 当y=0时，得.
∵.
∵，
∴.
∴无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点.
⑵ 如图，过点P作PA⊥x轴于A,则∠OAP=90°，
依题意得：.
∴.
∵n<0,
∴.
∵P在抛物线上，
∴.
∴.
∴抛物线解析式为.
⑶ 当y=0时，.
∴，
∴抛物线与x轴相交于点
当直线y = - x + b经过点C（-2，0）时，b = -2.
当直线y = - x + b与抛物线相切时，，
∴△ = .
∴ b = .
∴ 当＜b＜-2时，直线与图形M有四个交点.
已知关于的方程的两个实数根为，，且．
⑴ 试用含有、的代数式表示和；
⑵ 求证：；
⑶ 若以，为坐标的点在的三条边上运动，且顶点的坐标分别为，，．问是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
⑴ ∵、是方程的两根，
∴，且，．
∴，
；
⑵ ∵，又，∴；
⑶ 若使成立，只需，
① 当在边上运动时，由，，得，，而，
故在边上不存在满足条件的点．
② 当在边上运动时，由，，得，，
此时，，∵，
故在边上存在满足条件的点，坐标为
③ 当点在边上运动时，由，，得直线解析式，
∴．
又，求得
∵，，
故在边上存在满足条件的点，其坐标为
综上所述，当在三条边上运动时，存在点，，使成立．
目标班
已知二次函数，
⑴ 求证：无论取何实数值，抛物线与轴总有两个交点；
⑵ 设抛物线与两交点的横坐标分别为，试利用函数图象求关于的方程的解；
⑶ 条件同⑵，利用函数图象，求不等式的解集；
⑷ 条件同⑵若是关于的方程的一个根，求代数式的值；
⑸ 当时，关于的方程有两个不相等的正整数根，求证：无论取何值，关于的方程均有实根．
⑴ 证法一：令，即，
，
∴无论取何实数值，抛物线与轴总有两个交点．
证法二：令，即，
因式分解得，解得或，
∵无论可取何实数时，，
∴无论可取何实数时，抛物线与轴总有两个交点．
⑵ 由⑴可知，代入方程得，
整理得，可将方程看成函数与的交点，
由图象得原方程的解为．
⑶ 由⑴可知不等式可化为，可将不等式两边分别看成与，
由图象可得，不等式的解集为或．
⑷ 将代入方程得，∵是方程的根，∴，
原式，
∵，∴原式．
⑸ 当时，方程化为，
由因式分解得方程的根为，，
∵该方程有两个不相等的正整数根，∴，∴，∴为正整数.
当时，方程化为，∴，有实根；
当时，，
∵为正整数，∴，∴无论取何值，
综上所述，无论取何值，关于的方程均有实根．
已知关于的方程①的根是负实数，②有实根．
⑴ 求的取值范围；
⑵ 若两方程的根均为整数，求整数的值；
⑶ 求证：无论取何值，抛物线总经过一个定点；
⑷ 在⑵的条件下，若是两方程中较大的整数根，对于取任意实数，关于的方程
都有实根，求的最小值；
⑸ 在⑷的条件下，当取最小值时，抛物线与直线只有一个交
点，求的值．
⑴ 由题意可知：，方程①的根为，由得．
方程②中，当时，方程化为，即有实根，符合题意；
当时，，则可以取任意不等于2的实数．
综上所述，的取值范围是．
⑵ 由⑴可知，方程①的根为，由题意，或，则或；
当时，方程②的根为，满足题意，
当时，方程②因式分解得，
则，，∴，得或3
综上所述，的值为或．
⑶ 由⑵即可知，无论取何值，抛物线总经过定点．
或将解析式整理为，
∵与的取值无关，∴，解得，此时，
∴抛物线一定经过．
⑷ 由题意可知，∴方程可化为，
由题意，
∴不等式对于任意恒成立，
∵，∴的最小值为．
⑸ 由题意，抛物线解析式为，一次函数解析式为，
联立得，消得，
∵两图象只有一个交点，∴，整理得，
解得，．∴的值为或．
目标123班
已知一次函数，二次函数．
⑴ 根据表中给出的的值，计算对应的函数值、，并填在表格中：
⑵ 观察第⑴问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；
⑶ 试问，是否存在二次函数，其图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由．
⑴ 如下表：
-3
-2
-1
0
1
2
3
-6
-4
-2
0
2
4
6
5
2
1
2
5
10
⑵ 证明：，当自变量取任意实数时，均成立；
⑶ 解：由已知，二次函数的图象经过点，得．①
当时，，，
若对于自变量取任意实数时，成立，
则有，
∴②
由①，②，得，，
∴．
当时，有，即，
若二次函数对于一切实数，函数值大于或等于零，
必须，．即，．．
当时，有，即
若二次函数对于一切实数，函数值大于或等于零，
必须，．即，．
综上，，，．
∴存在二次函数，在实数范围内，对于的同一个值，均成立．
抛物线，，，．
⑴ 求证：；
⑵ 抛物线经过点，．判断的符号.
⑴ ∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，．
∴ ．
⑵∵ 抛物线经过点，点，
∴
∵ ，，
∴ ，．
∴ ．
．
∴ ．
阅读题：
材料一：已知、为整数，，其中，求、．
解：∵且
∴或．
材料二：一元二次方程的解为，若
为有理数，则为完全平方数，（为自然数）．
根据上面材料及解题思路，解答下列各题：
⑴ 已知、为整数，，其中，则 ．
⑵ 已知关于的一元二次方程
的解为有理数，则整数
．
⑶ 如图，，点在射线上一动
点，其中，为整数，若，求
的值．
⑴ ，．
⑵ ，．
⑶ ，，，．
已知抛物线y＝ax2＋x＋2.
(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式的值为正整数，求x的值；
(3)若是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
⑴当时，，∴.
∴抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线
(2)∵代数式的值为正整数，∴函数的值为正整数.
又因为函数的最大值为，∴的正整数值只能为1或2.
当时，，解得，
当时，，解得
∴的值为，，0或1.
（3）当时，即a.
经过点的抛物线的对称轴为,
经过点的抛物线的对称轴为
∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)
∴直线在直线的左侧
∴
∴
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在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．
已知是关于的一元二次方程的根．
⑴ 若，、为有理数，求的值．
⑵ 若，，求的值．
⑶ 若，，求的范围．
已知关于的一元二次方程，，.
⑴ 若方程有实数根，试确定，之间的大小关系；
⑵ 若，且，求，的值；
⑶ 在⑵的条件下，二次函数的图象与轴的交点为、（点在点的左侧），与轴的交点为，顶点为.若点是四边形边上的点，试求的最大值.
已知关于的方程①有实根．
⑴ 求的取值范围；
⑵ 在⑴的条件下，若是不大于5的整数，且方程①的根为整数，求满足条件的的值；
⑶ 求证：无论取何值，抛物线必经过一个定点；
⑷ 一次函数经过⑶中的定点，且无论取何值，与
均只有一个交点，求的值．
一元二次方程的两根是抛物线与轴的两个交点的横坐标．
⑴ 求的值．
⑵ 若抛物线过点且，求抛物线的解析式；
⑶ 在⑵的条件下，若反比例函数的图象与抛物线的图象在第一象限内的交点为，点的横坐标满足，试求实数的取值范围．
已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
⑴ 求抛物线与x轴的交点坐标；
⑵ 当a=1时，求△ABC的面积；
⑶ 是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证 明；如果不存在，请说明理由.
已知抛物线．
⑴ 求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点；
⑵ 在抛物线上有一点P（m，n），n<0，OP=，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的 正弦值为，求该抛物线的解析式；
⑶ 将⑵中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图 形M，当直线与图形M有四个交点时，求b的取值范围.
已知关于的方程的两个实数根为，，且．
⑴ 试用含有、的代数式表示和；
⑵ 求证：；
⑶ 若以，为坐标的点在的三条边上运动，且顶点的坐标分别为，，．问是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
阅读题：
材料一：已知、为整数，，其中，求、．
解：∵且
∴或．
材料二：一元二次方程的解为，若
为有理数，则为完全平方数，（为自然数）．
根据上面材料及解题思路，解答下列各题：
⑴ 已知、为整数，，其中，则 ．
⑵ 已知关于的一元二次方程
的解为有理数，则整数
．
⑶ 如图，，点在射线上一动
点，其中，为整数，若，求
的值．
已知抛物线y＝ax2＋x＋2.
(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式的值为正整数，求x的值；
(3)若是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.
