`
在两条对角线的长度以及其夹角给定的所有四边形中，求出周长最小
的四边形的形状.
【分析】求四边形四条边和最小，尝试通过平移使四条边共顶点.此题中边AD、
CD不动，尝试平移AB、BC
【解析】如图1，过D作//AB且=AB，过D作//BC且=BC
则四边形、四边形、四边形都是平行四
边形
而，∴平行四边形完全确定
对角线和之长都是定值
∴四边形ABCD周长AB+BC+CD+AD=
（当及分别三点共线时取等号）即四边形ABCD周长最小（如图2）
设和的交点为,过A、C分别作平行于及的直线，交点为
（不必在BD上），∴//且=，=，∴平行四边形
是所求的周长最小的四边形.(如图3)
已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对 称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
(1) 求证：BF∥AC；
(2) 若AC边的中点为M，求证：；
(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与 BE相等的线段，并证明你的结论．
（2012西城一模）
图1 图2
【解析】（1）如图．
∵ 点B关于直线CH的对称点为D，
CH⊥AB于点H，
直线DE交直线CH于点F，
∴ BF=DF，DH=BH．
∴ ∠1=∠2．
又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，
∴ ∠A＝∠2．
∴ BF∥AC．
（2）取FD的中点N，连结HM、HN.
∵ H是BD的中点，N是FD的中点，
∴ HN∥BF．
由（1）得BF∥AC，
∴ HN∥AC，即HN∥EM．
∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，
AC边的中点为M，
∴ ．
∴ ∠A＝∠3．
∴ ∠EDA=∠3．
∴ NE∥HM．
∴ 四边形ENHM是平行四边形．
∴ HN=EM．
∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，
∴ ，即．
∴ ．
（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）
证明：连结CD．（如图）
∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，
∴ BC=CD，∠ABC＝∠5．
∵ AB＝BC，
∴ ，
AB＝CD．①
∵ ∠EDA=∠A，
∴ ，AE=DE．②
∴ ∠ABC＝∠6=∠5．
∵ ∠BDE是△ADE的外角，
∴ ．
∵ ，
∴ ∠A＝∠4．③
由①，②，③得 △ABE≌△DCE．
∴ BE= CE．
由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．
由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF．
∴ ∠CFE=∠ECF．
∴ EF=CE．
∴ BE=EF．
∴ BE=EF=CE．
已知：如图，AD=DC=BC，∠BCD=2∠BAD.
求证：∠ABC=120°－∠BAD．
【解析】
如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD 交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△EGM为等腰三角形；
（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
【解析】(1) 证△EGM为等腰三角形
（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为 BG=AF+FG ．
证明（2）：
过C作AB的平行线交AF的延长线于P，则PC⊥AC.
∵AP⊥BE，∴∠ABE=∠CAP，又∵AB=AC， ∴Rt⊿ABE≌Rt⊿CAP，、
∴∠AEB=∠CPA，∴BE=AP ①
在Rt△ABE和Rt△ACD中，∵AB=AC，,AE=AD,
∴Rt△ABE≌Rt△ACD ∴∠ABE=∠ACD
∵∠AEB、∠CMF（AC交FG于M）分别是∠ABE和∠ACD的余角，
∴∠AEB=∠CMF, ∴∠FMC=∠CPA.
∵∠ACB=45o, ∴∠FCP=90o-45o,
∴∠MCF=∠FCP，∵FC= FC，∴△MCF≌△PCF，
∴MF=PF ②
又∵∠AEB=∠CMF，
∴EG=MG ③
∴BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG
即BG=AF+FG
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．
(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______，
△PMN周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=，PB=，PC=1，求△ABC的面积；
(3) 若PA=，PB=，PC=，且，直接写出∠APB的度数．
（2013西城一模）
【解析】（1）=，△PMN周长的最小值为 3 ；
（2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图）
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC.
∴AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF.
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，
∠FCE=2∠ACB=180°.
∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线.
∴DE=BD=BP=，EF=CE+CF=2CP=2.
∵△ADF中，AD=AF=，∠DAF=120°，
∴∠ADF=∠AFD=30°.
∴DF=AD =.
∴.
∴∠DFE=90°.
∵，
∴.
∴.
（3）∠APB=150°.
说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图）
由（2）知∠DBE=，∠DAF=.
∵BD=BE=，AD=AF=，
∴∠DBM=，∠DAN=.
∴∠1=，∠3=.
∴DM =，DN=.
∴DE=DF=EF.
∴∠2=60°.
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.
目标班
若四边形是一个凸四边形，，，，求证：．
延长到点，使得，连接．
由等腰三角形知，.
∴，.
∴四边形是平行四边形.
∴，.
在中，，.
∴.
∴．
⑴如图，已知，，且，求．
如图，延长到点，使，连接,由题设知
，
于是
∴
∴，
故．
∴，．
⑵ 点为内部一点，使得，，且，求．
如图，延长至点，使得，则，
又，
则．
因此，是一个等边三角形，是上的中垂线，即．
故．
请阅读下列材料：
问题：如图1，在四边形中，是边的中点，且，试判断与之间的大小关系．
小雪同学的思路是：作点关于的对称点，连接，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：
⑴ 写出上面问题中与之间的大小关系；
⑵ 如图2，若将的度数改为，原问题中的其他条件不变，证明：
；
⑶ 如图3，若，，求的最大值．
⑴ ；
⑵ 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接．
由轴对称的性质可知，，
∴，，
，
∴，∴，
∴，当共线的时
候等号成立，
即．
⑶ 由⑵的结论可得到，
∴，
∴的最大值为．
目标123班
如图，梯形中，，以两腰，为一边分别向两边作正方形和
，作的垂直平分线交线段于点．求证：点为的中点．
过、分别作的垂线，交于、．
如图，是之中点，过作交于，作交于，作交于，作交于．
在和中，
有．
，
所以有．
又由，
知．
从而得．
同理可知，而得
，即有．
显然，，，又，
所以．从而有
．
应知，四边形是平行四边形，其对角线互相平分，所以是的中点．
点评：过作平行线的实质就是将两个正方形进行平移，使这两个正方形的一个点重合．
取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形对折，折痕为，如图①；
第二步：再把点叠在折痕线上，折痕为，点在上的对应点为，得
，如图②
第三步：沿线折叠得折痕，如图③；
利用展开图④探究：
⑴ 是什么三角形？证明你的结论.
⑵ 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.
⑴是等边三角形
由平行线分线段定理知.
∴，.
又∵，∴.
而，∴.
在中，.
∴，.
∴是等边三角形.
⑵不一定
由以上推证可知，当矩形的长恰好等于等边的边时，
即矩形的宽长=时，正好能折出.
如果设矩形的长为，宽为，可知当时，按此法一定能折出等边三角形；
当时，按此法无法折出完整的等边三角形.
如图，在中，平分，于（），、相交于，连接
，且．
⑴求证：．
⑵写出、、之间的数量关系，并证明．
⑶写出和之间的大小关系，并证明．
⑴ ∵∴.
∵，
∴，.
又∵，∴，
∴.
方法一：
⑵ 结论：．
∵，故可在上取点，使，连接，如图1．
由⑴得，∴.
又∵平分.
∴.
在和中
∴.
∴，（或利用垂直平分线也可得）
∴.
又∵，∴.
∴，∴．
⑶ 结论：．
∵，故可在上取点，使，
连接、，交于，如图2．
由辅助线知垂直平分线段，
∴，.
在和中
∴，.
∴.
∴.
∴．
方法二：
⑵ 结论：．
延长到，使，连接，如图3．
∴.
∵，∴.
又∵平分.
∴.
∴，∴为等腰三角形.
∵.
∴．
⑶ 结论：．
∵，故可延长到，
使，连接、，交于点，如图4．由辅助线知垂直平分线段，
∴，.
在和中
，.
∴.
∴.
∴．
注意常见基本模型的灵活应用．
题型一 平移变换 巩固练习
⑴ 如图，三角形的底边长厘米，边上的高是厘米，
将该三角形以每秒厘米的速度沿高的方向向上平行移动秒，这时，
该三角形扫过的面积（阴影部分）．
⑵ 如图，线段沿着四个方向①②③④都平移个单位长度，线
段扫过的面积最大的是 ．（填序号）
⑴ 三角形扫过面积相当于矩形的面积，当然也可直接计
算为平方厘米．
⑵ ③．
题型二 轴对称变换 巩固练习
在四边形中，，相交于，且，，求证：
．
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、．
利用中垂线可知，.
易证，∴.
由“8”字形可得.
即.
⑴ 如图，把正六边形分成六个等边三角形，能由三角形①平移
得到三角形 ，由三角形①沿正六边形的一条对角线
翻折一次能得到三角形 （填编号）．
⑵ 如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A.向右平移格
B.以的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以为对
称轴作轴对称
C.绕的中点旋转，再以为对称轴作轴对称
D.以为对称轴作轴对称，再向右平移格
⑴ ③⑤；②④⑥．⑵ D．
如图是一张的方格纸片，每个小正方形边长为，点在
纸面的正面，点在纸片反面，现在一只蚂蚁从点出发经过
纸片的表面爬到点，那么它所经过的最短路程为 ，有
_______条最短路径．
如图，将纸片关于各边作对称．最短路程为，共有条最短路径．
`
在两条对角线的长度以及其夹角给定的所有四边形中，求出周长最小的四边形的形状.
已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对 称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
(1) 求证：BF∥AC；
(2) 若AC边的中点为M，求证：；
(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与 BE相等的线段，并证明你的结论．
（2012西城一模）
图1 图2
已知：如图，AD=DC=BC，∠BCD=2∠BAD. 求证：∠ABC=120°－∠BAD．
如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD 交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△EGM为等腰三角形；
（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．
(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______，
△PMN周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=，PB=，PC=1，求△ABC的面积；
(3) 若PA=，PB=，PC=，且，直接写出∠APB的度数．
（2013西城一模）
题型一 平移变换 巩固练习
⑴ 如图，三角形的底边长厘米，边上的高是厘米，
将该三角形以每秒厘米的速度沿高的方向向上平行移动秒，这时，
该三角形扫过的面积（阴影部分）．
⑵ 如图，线段沿着四个方向①②③④都平移个单位长度，线
段扫过的面积最大的是 ．（填序号）
题型二 轴对称变换 巩固练习
在四边形中，，相交于，且，，求证：
．
⑴ 如图，把正六边形分成六个等边三角形，能由三角形①平移
得到三角形 ，由三角形①沿正六边形的一条对角线
翻折一次能得到三角形 （填编号）．
⑵ 如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）
A.向右平移格
B.以的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以为对
称轴作轴对称
C.绕的中点旋转，再以为对称轴作轴对称
D.以为对称轴作轴对称，再向右平移格
如图是一张的方格纸片，每个小正方形边长为，点在
纸面的正面，点在纸片反面，现在一只蚂蚁从点出发经过
纸片的表面爬到点，那么它所经过的最短路程为 ，有
_______条最短路径．
